精品解析：辽宁省阜新市太平区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度（下）学业质量检测 八年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ） A. 武汉地铁 B. 重庆地铁 C. 成都地铁 D. 深圳地铁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、该图案不是中心对称图形，故A不符合题意； B、该图案不是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图案不是中心对称图形，故C不符合题意； D、图形是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变可得，再解即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知该性质是解题的关键． 3. 已知关于的不等式组有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况确定参数是解答题的关键． 先分别求出每一个不等式的解集，进而确定不等式组的解集，最后根据不等式组有5个整数解即可解答． 【详解】解：解不等式，可得：， 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为： ∵不等式组有5个整数解， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是对多项式进行变形，故本选项不符合题意； B、，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，属于整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、，是因式分解，选项正确，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，即被开方数为非负数以及分母不为0，据此进行作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故选：C． 6. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质，把，分别换成，是解题关键．把原分式中的和分别换为和，然后进行化简，再与原分式进行比较即可得出结论． 【详解】解：分式中的和都扩大倍时， 原分式变为：， 即把分式中的和都扩大倍，那么分式的值不变． 故选A． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点，， ； 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴EB＝EC＝12， ∵∠B＝30°，∠EDB＝90°， ∴DE＝EB＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9. 2024年龙年春晚吉祥物“龙辰辰”引爆购买热潮，导致“一辰难求”．某工厂承接了 30万只吉祥物的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前 5 天完成任务．设原计划每天生产x万只吉祥物，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系列方程是解题关键．设原计划每天生产x万只吉祥物，实际每天生产万只吉祥物，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x万只吉祥物，实际每天生产万只吉祥物， 由题意可得： 故选：D． 10. 如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 12.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则．可知当点与点重合，点于点重合时，取得最小值，最小值为线段的长，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由作图过程可知，为的平分线， ， 垂直平分， ，，． 当点与点重合，点于点重合时，，为最小值． 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为9.6． 故选：A． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，按照解一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又 分式方程的解是非负数 且 m的取值范围是：且 【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 13. 一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和都为， ∴该多边形为边形， ∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条， 故答案为：． 14. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条“之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形是解决本题的关键．把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形， 道路的宽为2米，，， ，， 矩形的面积为：，即绿化的面积为． 故答案：． 15. 如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】】解：∵，，， ∴，， ∴将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环， ∵， ∴ 故答案：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键． （1）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解即可； （2）先提内参因式，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法；先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的正整数解． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴所有整数解的和为． 18. 化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式或当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得，再取或代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ∵， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，坐标与图形变化——平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）依据点的坐标为，即可画出平移后的； （2）依据绕点O按顺时针方向旋转，即可得到； （3）两对对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心的位置． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为． 20. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 21. 如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键． （1）先根据，得出，根据角平分线的定义得出，则，推出，即可求证四边形是平行四边形； （2）通过证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，则，最后根据的面积，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，°， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 22. 为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ （2）若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 【答案】（1）乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米 （2）至少应安排甲工程队清理10天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式． （1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，根据“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解， （2）设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，根据“本次清理工作的总费用不高于60万元”，列出关系式，即可求解， 【小问1详解】 解：设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米， 由题意可得：， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴（米）， 答：乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米； 【小问2详解】 解：设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天， 由题意可得：， ∴， ∴至少应安排甲工程队清理10天． 23. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． （1）【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析；②，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． 【小问2详解】 ①如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． 【小问3详解】 解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）学业质量检测 八年级数学试卷 （本试题23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ） A. 武汉地铁 B. 重庆地铁 C. 成都地铁 D. 深圳地铁 2. 如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 已知关于的不等式组有5个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 2024年龙年春晚吉祥物“龙辰辰”引爆购买热潮，导致“一辰难求”．某工厂承接了 30万只吉祥物的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前 5 天完成任务．设原计划每天生产x万只吉祥物，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 12.8 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是__________． 12. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_________． 13. 一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 _____． 14. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为______． 15. 如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 分解因式． （1） （2） 17. 解不等式组，并求出所有整数解的和． 18. 化简求值：先化简，再从，中选择一个合适的数代入并求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 20. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求四边形的面积． 22. 为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ （2）若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 23. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． （1）感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段旋转过程中，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$