专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，，则该函数最大值为 . 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【经典例题二 次函数的图象分析与判断】 【例2】（2024高一下·浙江·专题练习）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（22-23高一上·全国·课后作业）二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A．图象的对称轴是直线x=1 B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3 C．当x>1时，y随x的增大而减小 D．当-1<x<3时，y<0 2．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知二次函数，当 时，函数图象的顶点在y轴上,当 时，函数图象的顶点在x轴上；当 时，函数图象经过原点. 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数. (1)若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值； (2)求不等式的解集. 【经典例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例3】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（21-22高三下·全国·阶段练习）函数在（    ）单调递增. A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【经典例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 1．（2017高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）一元二次不等式的一般形式为 或 ，其中为常数且. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题五 解不含参数的一元二次不等式】 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一·江苏·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）    A． B．或 C． D．或 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）不等式的解集为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）关于的方程的解存在且为非正数，求实数的取值范围． 【经典例题六 解含有参数的一元二次不等式】 【例3】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（18-19高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 2．（16-17高一·江苏·阶段练习）若，则不等式的解集是 . 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【经典例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知关于的不等式的解集是则（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一·全国·课后作业）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（22-23高一上·江苏盐城·期中）设，不等式的解集是，则 3．（2023高三·全国·专题练习）不等式有解，求a. 【经典例题八 一元二次方程根的分布问题】 【例5】（20-21高一上·江苏·课后作业）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【经典例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例9】（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【经典例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例10】（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【经典例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例11】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例12】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 1．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）若关于的不等式组解集不为空集，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【经典例题十三 一元二次不等式的实际应用】 【例13】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【经典例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 【例14】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知在上递减的函数，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 【经典例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 【例15】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期末）若函数的值域为，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 8．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 9．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 10．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 11．（19-20高一下·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 12．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知二次函数的部分对应值如下： 1 2 4 6 0 14 则关于的不等式的解集为 . 13．（22-23高一上·福建福州·期中）已知的必要不充分条件是或，则实数的最大值为 . 14．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ． 15．（2020高三·江苏·专题练习）已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为 . 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 19．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 20．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 求二次函数的值域或最值 题型二 二次函数的图象分析与判断 题型三 判断二次函数的单调性和求解单调区间 题型四 一元二次不等式的概念及辨析 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 题型十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十二 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十三 一元二次不等式的实际应用 题型十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围 题型十五 根据二次函数的最值或值域求参数 知识点一：一元二次不等式的有关概念 1、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） 2、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点二：四个二次的关系 2.1一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点三：一元二次不等式的解法 1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3：根据不等式，写出解集. 知识点四：解分式不等式 4.11、分式不等式 4.1.1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 4.1.2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【经典例题一 求二次函数的值域或最值】 【例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知 ，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为表示对称轴为，开口向下的抛物线， 所以当时取最大值， 故选：C 1.（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性判断求解. 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 2．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）已知函数，，则该函数最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】因为， 则当时，取得最大值为. 故答案为： 3．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 【经典例题二 次函数的图象分析与判断】 【例2】（2024高一下·浙江·专题练习）抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答． 【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小， 把点代入得，把点代入得， 则的范围介于两者之间，故 ． 故选：D. 1.（22-23高一上·全国·课后作业）二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A．图象的对称轴是直线x=1 B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3 C．当x>1时，y随x的增大而减小 D．当-1<x<3时，y<0 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象结合其性质判断． 【详解】由图象知函数图象与轴的两个交点的横坐标分别是和3，因此B正确； 又，因此A正确； 时，图象向右下，，y随x的增大而减小，C正确； 在时，图象在轴上方，，D错误． 故选：D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·开学考试）已知二次函数，当 时，函数图象的顶点在y轴上,当 时，函数图象的顶点在x轴上；当 时，函数图象经过原点. 【答案】 或 /1.5 【分析】当二次函数的对称轴为时，函数图象的顶点在y轴上，求出对称轴即可得第一空答案；当顶点的纵坐标为0时，函数图象的顶点在x轴上，求出函数的顶点坐标，令纵坐标为0，求解即可得第二空答案；当，时，函数图象经过原点，代入求解即可得第三空答案. 【详解】解：由题意可知二次函数的对称轴为：， 所以当对称轴为：，即时，函数图象的顶点在y轴上； 因为二次函数的顶点坐标为：, 所以当，即，或时，函数图象的顶点在x轴上； 当时，，所以当，即时，函数图象经过原点. 故答案为：；或； 3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知二次函数. (1)若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）由题意可得方程的两根为1和5，利用根与系数的关系即可求得答案； （2）解一元二次不等式即可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象与直线相交于A，B两点， A点的横坐标为1，B点的横坐标为5， 故方程的两根为1和5， 即的两根为1和5， 故， 解得， 此时为，满足， 故m的值为. （2）不等式即， 解得或， 即不等式解集为. 【经典例题三 判断二次函数的单调性和求解单调区间】 【例3】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 1.（21-22高三下·全国·阶段练习）函数在（    ）单调递增. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，由此作出函数的大致图象，可得答案. 【详解】依题意，, 作出函数的大致图象如图所示； 观察可知，函数在，上单调递增，在上单调递减， 故选:D. 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则二次函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据二次不等式的解集与根的关系可得且开口向下，进而根据二次函数的对称轴求得单调递增区间. 【详解】因为关于x的不等式的解集为，故，且，，故，. 故二次函数，开口向下，对称轴为， 故函数的单调增区间为. 故答案为： 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）代入，根据二次函数的性质，得出单调区间，进而结合端点处的函数值，即可得出最值； （2）求出函数的对称轴，分类讨论对称轴与区间的关系，得出函数的单调性，进而得出函数的最小值. 【详解】（1）当时，. ∵的对称轴为， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为． （2）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当，即时，在上单调递减， ∴． 综上，. 【经典例题四 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（2021高一·上海·专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 1．（2017高二·安徽·学业考试）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式. 【详解】不等式的解集为或. 故选：A. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）一元二次不等式的一般形式为 或 ，其中为常数且. 【答案】 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列不等式是否是一元二次不等式？ (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)是 (2)答案见解析 (3)不是 (4)不是 【分析】根据一元二次不等式的概念判断即可. 【详解】（1）是一元二次不等式. （2）时，为一元一次不等式.； 不等于0时，是一元二次不等式 （3）是二元二次不等式. （4）是一元一次不等式. 【经典例题五 解不含参数的一元二次不等式】 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即得. 【详解】不等式，化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 1．（22-23高一·江苏·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据二次函数图象及性质，结合一元二次函数与一元二次不等式的解集的关系即可求解. 【详解】由二次函数图象知：，二次函数的零点为和， 所以一元二次方程的两根为或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】， 解得或， 故答案为：或 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）关于的方程的解存在且为非正数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】方程化为，依据为非正数，得，解分式不等式转化为一元二次不等式组解出实数的取值范围． 【详解】关于的方程的解存在，时方程无解， k不等于3时，得． 因为为非正数，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【经典例题六 解含有参数的一元二次不等式】 【例3】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 1．（18-19高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可. 【详解】由 可得或 则不等式的解集是 故选：D 2．（16-17高一·江苏·阶段练习）若，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，对不等式变形，即可求解. 【详解】解：因为，变形为， 又，所以解得或. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析. 【分析】由题设，讨论、分别求出对应解集. 【详解】由， 当时，解得或，解集为； 当时，解得或，解集为； 【经典例题七 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知关于的不等式的解集是则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解． 【详解】由题意和1是方程的两根，所以，，， ∴． 故选：B． 1．（21-22高一·全国·课后作业）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一元二次不等式的解集为，即，求解关于实数的不等式即可. 【详解】解：由于关于x的一元二次不等式的解集为， 所以，解得． 故选：B． 2．（22-23高一上·江苏盐城·期中）设，不等式的解集是，则 【答案】7 【分析】根据韦达定理列方程组即可解决. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以1，3为方程的两个根， 所以，即，， 所以 故答案为：7 3．（2023高三·全国·专题练习）不等式有解，求a. 【答案】 【分析】根据一元二次方程有解有，即可求参数范围. 【详解】关于的不等式有解， ，解得. 【经典例题八 一元二次方程根的分布问题】 【例5】（20-21高一上·江苏·课后作业）一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由一元二次方程的根为,可得，再结合韦达定理可得结果. 【详解】因为为方程的根， 所以， 由韦达定理，得. 所以. 故选:B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程以及韦达定理的应用，属于基础题. 1．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知方程． (1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围； (2)求证：无论取何实数，关于的方程必有互异实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，判别式即可求解； （2）根据一元二次方程有互异实数根,根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）已知关于的方程有实根， ∴， 整理得，∴或． 所以的取值范围为． （2）∵， ∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根． 又根据韦达定理两根之积为， 故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根． 【经典例题九 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 【例9】（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围. 【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个， 所以方程有两个实根，即， 解得或（舍去）， 当时，又，， 所以要使集合有且只有一个元素，则有， 解得，故． 故选：． 1．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为. (1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； (2)若为非零实数，解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得的解集为，利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系可得，；的解集为，利用一元二次不等式恒成立可得，进而解不等式，结合题意即可求解； （2）由（1），结合含参一元二次不等式的求法，对a、b进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，不等式的解集为， 故的解集为且的解集为， 所以的根为，，故，化简得，， 又的解集为，即恒成立， 所以，解得， 不等式等价于，即， 所以，由题意得，解得， 综上所述，的取值范围为. （2）若，由（1）得原不等式可化为，即， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； 若，原不等式等价于的解集为且的解集为， 所以方程的根为2和3， 则，，所以，， 不等式恒成立，故，解得， 不等式，解得或， 综上所述，当时，解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【经典例题十 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例10】（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 2．（2013高一·全国·竞赛）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数对于任意恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得恒有两个不等的实根，对恒成立，求解即可. 【详解】因为恒有两个相异的不动点， 所以恒有两个不等的实根， 对恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【经典例题十一 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例11】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C 1．（2023高一·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，把问题转化为，构造，利用单调性求得最值，即可求解范围. 【详解】当时，由得，则. 令，则根据对勾函数单调性知，在上是减函数， 所以时，则，所以的取值范围是. 故选：A. 2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 【答案】 【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立，所以， 所以在上恒成立， 又， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，故a的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【详解】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 【经典例题十二 一元二次不等式在某区间上有解问题】 【例12】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 1．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）若关于的不等式组解集不为空集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意有，要满足题意只需，解不等式即可得到答案. 【详解】依题意有，要使不等式组的解集不是空集， 应有，即，解得， 实数的取值范围是， 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 【经典例题十三 一元二次不等式的实际应用】 【例13】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 1．（20-21高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 2．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 【经典例题十四 已知二次函数单调区间求参数值或范围】 【例14】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 1．（21-22高一上·四川成都·阶段练习）已知在上递减的函数，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性和题意可得．根据二次函数的对称性可知要使对任意的，，都有，只要即，列出不等式，解不等式，即可求出结果． 【详解】由于函数的图象的对称轴为， 所以函数的递减区间为 又函数在区间上单调递减， 所以， 所以， 由二次函数的对称性可知，在区间上， 故要使对任意的，，都有，只要，即，可得，解得． 又，所以． 故选：B． 2．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数，若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围为 ；当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先确定函数的对称轴方程，然后由对称轴与区间的位置关系，列出不等关系，求解即可；不等关系对恒成立，构造函数，利用二次函数的性质求出，即可得到的取值范围. 【详解】函数的对称轴方程为， 因为函数在上是单调函数， 所以或，解得或， 所以，实数a的取值范围为； 由题意，当时，不等式对恒成立， 即 对恒成立， 令 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时， ， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：； 3．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数（为实数），若且对任意实数均有成立， (1)求的解析式； (2)设在时是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由得，再由二次函数恒成立得，代入得，从而求得，由此得解； （2）利用二次函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）由题意，得，即， 又对任意实数均有成立， 所以，则，即， 所以，故. 所以 （2）由（1）可知， 则， 则的对称轴为，开口向上， 由于在上是单调函数， 故或，即或. 即实数的取值范围是. 【经典例题十五 根据二次函数的最值或值域求参数】 【例15】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分类讨论与，求解范围. 【详解】由的定义域为， 对称轴为, 当时，在单调递减，则，， 而函数的值域为，则，解得，故， 当时，在单调递减，在单调递增， 则，， ，故，解得， 故， 综上所述，的取值范围为， 故选：A 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知实数为常数，且，函数，甲同学：的解集为：乙同学：的解集为；丙同学：存在最小值.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解. 【详解】若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则二次函数开口向上即； 因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江·期末）若函数的值域为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据函数的值域为得到所以，代入到利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，得 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值； (3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）由（1）得二次函数的对称轴为，分类讨论，求出当、、时函数的最大值，求出对应的m值即可； （3）由（1）得，易知当时符合题意，分类讨论当、时函数的单调性，列出不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则，故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． （3）， 当时，在R上递增，符合题意； 当时，则，此时函数在上递增，在上递减， 则或或，解得； 当时，，则函数在上递增，在上递减， 则或或，解得， 综上所述，的取值范围为或或. 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设的解集为，从而得，进而得到且，又，为方程的两个根，可得，由此得到关于的不等式组，解之即可得解.． 【详解】因为， 不妨设的解集为，则由得， 所以， 又，，所以且， 因为的解集为，所以是，即的两个根， 故，即， 此时由，得，则， 因为，显然，且开口向上，对称轴为， 所以，则， 又，解得，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设的解集为，进而得到且，从而得解. 5．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合一元二次不等式解集的形式，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以且，得，故A错误； 对于B，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故B正确； 对于C，，故C正确. 对于D，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】A选项：一元二次不等式的解集的形式可以确定，B选项：用韦达定理求出的关系，进而求出的解集；CD选项：用与，与的关系确定的符号，以及求出不等式的解集. 【详解】因为的解集为， 则的两个根为与2，且，故A正确； 由韦达定理得：，所以. 不等式化简为：，且，解得：， 所以不等式的解集是，故B正确； 因为，则，故C错误； 不等式即为， 且，可得：，解得：或， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD. 8．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】AB 【分析】利用二次不等式的解集与首项系数的关系可判断A选项；利用韦达定理可判断BC选项；化简所求不等式，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为不等式的解集为或，则，A对； 对于BC选项，由题意可知，、是关于的二次方程的两根， 则，，可得，， 所以，，B对C错； 对于D选项，由可得，即， 即，解得， 故不等式的解集为，D错. 故选：AB. 9．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 10．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D. 【详解】关于x的不等式的解集为或， 所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确； 因为是方程的根，所以，解得， 所以也即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为或，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键. 11．（19-20高一下·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据函数的图象即可得到不等式的解集. 【详解】由图知：不等式的解集是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，属于简单题. 12．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知二次函数的部分对应值如下： 1 2 4 6 0 14 则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用已知条件求出具体二次函数，再解不等式即可. 【详解】由已知得必过,代入函数中得，，， 解得，，，故， 令，解得， 即关于的不等式的解集为. 故答案为： 13．（22-23高一上·福建福州·期中）已知的必要不充分条件是或，则实数的最大值为 . 【答案】1 【分析】首先解不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若，关于的不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式化为，讨论的取值范围，确定不等式的解集，根据题意确定解集中仅有的四个整数，由此列出关于的相应的不等式，求得的取值范围. 【详解】由，可得， 当，即时，不等式的解集为， 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，又，所以， ②当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾，不符合题意； ③当时，即，不等式的解集为，不符合题意； ④当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当整数解为时，，且，无解， 当整数解为时， 且，解得， 当整数解为时，且，无解； 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 15．（2020高三·江苏·专题练习）已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为 . 【答案】 【分析】由＝a2＋4＞0，得f(x)有两个不同的零点，又函数f(x)在上恰有一个零点，得f(－2)f(－1)＜0，解出a的范围及a∈Z可得a值，然后解不等式f（x）＞1可得答案. 【详解】已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，所以a≠0，由＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点. 且函数f(x)在上恰有一个零点，所以f(－2)f(－1)＜0，即(6a＋5)(2a＋3)＜0.解得－＜a＜－.又a∈Z，所以a＝－1. 此时二次函数f(x)＝－x2－x+1，由f(x)＞1，即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0. 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质、图象及二次不等式的解法，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是． 17．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析. 【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可. 【详解】解：原不等式可化为． ①若，即，此时原不等式的解集为或； ②若，即，此时原不等式的解集为； ③若，即，此时原不等式的解集为或． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． 【答案】， 【分析】利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可． 【详解】由的解集为，知的两根为，2， 所以解得所求不等式为， 变形为，即， 所以不等式的解集为． 19．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 20．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件及一元二次方程根的关系即可求解； （2）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则，结合分类讨论即可求解； （3）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则即可求解. 【详解】（1）方程等价于． 若选①，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. 若选②，原问题等价于,解得． 所以实数a的取值范围为. 若选③，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. （2）当时，等价于． ①当，即时，； ②当，即或时， 当时，； 当时，． ③，即时， 当时，或； 当时，或． 当时，． 综上，当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，． （3）等价于． 因为解集中整数解恰有2023个，则． 因为，所以． 则2023个整数解为0，，，． 即． 即． 又，所以，解得． 又，所以． 所以，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$