精品解析：福建省福州市长乐区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末阶段反馈练习 八年级数学 （全卷共4页．满分：150分．考试时间：120分钟） 友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：37，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 37 B. 37.5 C. 39 D. 36 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在矩形中，对角线交于点O．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 16 6. 若是整数，则正整数n最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 24 7. 在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（ ） A. 3：4：5 B. 1：1： C. 5：12：13 D. 1：：2 8. 小明原来五次100米跑步成绩（单位：s）的平均数与方差分别为13.6，1.3，经过一段时间的训练后，再次对小明现在的五次100米跑步成绩进行统计分析，发现他的成绩比原来更快更稳定了，那么现在的平均数与方差可能是（ ） A. 12.3，1.2 B. 14.5，1.2 C. 12.3，1.4 D. 14.5，1.4 9. 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则应是的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 38.0 桌子高度 75.0 71.8 那么课桌的高度与椅子高度之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是________． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 13. 八（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量的是________．（填“平均数”“众数”或“中位数”） 14. 命题“矩形的对角线相等”的逆命题是___________________________． 15. 如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为________． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 一根竹子高丈，折断后竹子顶端落在离竹子低端尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，丈尺）． 20. 小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程和所用时间之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 ；上述过程中，小西所走的路程为 m； （2）若小西休息后爬山的平均速度是，求a的值． 21. 某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经过试验发现，若每件按20元的价格销售时，每月能卖360件；若每件按25元价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为． （1）求k与b的值； （2）为了使每月该商品获得利润1920元，该商品应定为每件多少元？ 22. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．某校为弘扬科学精神，普及科学知识，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中，开展了科普知识竞赛．八（1）班的林老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班本次参加竞赛的同学共有 人； （2）补全条形统计图； （3）八（1）班同学本次竞赛成绩的平均分是 分； （4）八（1）班的小红同学请假未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分．加入她的成绩后，请你对八（1）班总体成绩的变化情况进行评价．（请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明） 23. 阅读下列材料并完成相应任务． 四边形中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设，与不平行，E，F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点 ∴（依据） ∵F是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴； 方法二：如图3，连接，取的中点M，连接． … 任务： （1）填空：材料中的依据是指 ； （2）将方法二的证明过程补充完整； （3）如图4，在五边形中，，，，．F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于点A，B，直线：交y轴于点C，且与直线交于点D，P是线段上的一动点，连接交于E． （1）求长； （2）若时，求证：P是的中点； （3）若，求直线的解析式． 25. 如图，在正方形中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），点E在DP上，，延长BE交CD于点F． （1）求度数； （2）连接． ①当时，求证：A，E，C三点在同一直线上； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末阶段反馈练习 八年级数学 （全卷共4页．满分：150分．考试时间：120分钟） 友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴, 故选：A 2. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：37，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 37 B. 37.5 C. 39 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，37，38，39 ∴中位数：． 故选：B． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法、乘法、除法及二次根式的性质逐一判断即可．即可得到答案. 【详解】A．2和不能合并，原式计算错误，故该选项不符合题意； B．，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算正确，故该选项不符合题意； D．，原式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况，根据平方数为非负数得到一元二次方程没有实数根，正确理解平方数的意义是解题的关键 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：D 5. 如图，在矩形中，对角线交于点O．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质得到，由此判定是等边三角形，由此得到，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ 故选：B 6. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键． 先分解质因数，再根据为整数和为正整数得出答案即可． 【详解】解：， 是整数， 正整数的最小值是6． 故选：C． 7. 在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（ ） A. 3：4：5 B. 1：1： C. 5：12：13 D. 1：：2 【答案】D 【解析】 【详解】如图，设30°角所对的直角边BC＝a， 则AB＝2BC＝2a， ∴AC＝＝a， ∴三边之比为a：a：2a＝1：：2 故选：D． 8. 小明原来五次100米跑步成绩（单位：s）的平均数与方差分别为13.6，1.3，经过一段时间的训练后，再次对小明现在的五次100米跑步成绩进行统计分析，发现他的成绩比原来更快更稳定了，那么现在的平均数与方差可能是（ ） A. 12.3，1.2 B. 14.5，1.2 C. 12.3，1.4 D. 14.5，1.4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数与方差，根据现在的成绩比原来更快更稳定可得平均数小于13.6，方差小于1.3，由此得到答案． 【详解】解：∵他的成绩比原来更快更稳定了， ∴平均数小于，方差小于， 故选A． 9. 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则应是的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 38.0 桌子高度 75.0 71.8 那么课桌的高度与椅子高度之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式． 【分析】设y与x函数关系为，根据表格可得： 解得： 所以可得：． 故选：A． 10. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质即可解答． 【详解】 故答案为：2024． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13. 八（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量的是________．（填“平均数”“众数”或“中位数”） 【答案】众数 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑统计量是众数， 答案为众数． 14. 命题“矩形的对角线相等”的逆命题是___________________________． 【答案】如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 【解析】 【详解】命题“矩形的对角线相等”的逆命题是“如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”． 故答案为：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 15. 如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正六边形的性质．注意解此题的关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形． 根据题意和正六边形的性质得出是等边三角形，再根据正六边形的边长得出，同理可证出，再根据，求出，从而得出扩建后菱形区域的周长． 【详解】如解图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，同理可证：， ∴， ∴扩建后菱形区域的周长为． 故答案为：24． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到原点的距离，根据勾股定理即可得出线段长，在由完全平方公式求出最小值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∴ ∵， ∴， 即线段长的最小值为． 故答案为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的除法，二次根式的化简，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键． 先计算二次根式的除法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据配方法求解即可． 【详解】解∶ ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 19. 一根竹子高丈，折断后竹子顶端落在离竹子低端尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，丈尺）． 【答案】折断处离地面的高度为尺 【解析】 【详解】解：设杆子折断处离地面尺， 则斜边长为尺， ∴ ∴． 答：折断处离地面的高度为尺． 20. 小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程和所用时间之间的函数关系如图所示． （1）小西中途休息用了 ；上述过程中，小西所走的路程为 m； （2）若小西休息后爬山的平均速度是，求a的值． 【答案】（1）5，450 （2） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，弄清各段图象所表示的意义，利用数形结合的思想进行分析解答． （1）根据函数图象中的数据，小西在第10分钟时开始休息，第15分钟时结束休息，故休息用了5分钟，有图象可知所走的路程是多少； （2）由题意根据函数图象中的数据和题干条件，可以计算出a的值． 【小问1详解】 由图象可得：小明中途休息用了，上述过程中，小明所走的路程为， 故答案为：5，450； 【小问2详解】 由题意可得：， 解得，， 即a的值是25． 21. 某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经过试验发现，若每件按20元的价格销售时，每月能卖360件；若每件按25元价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为． （1）求k与b的值； （2）为了使每月该商品获得利润1920元，该商品应定为每件多少元？ 【答案】（1），； （2）24 元 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式，正确列出函数关系式是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）写出利润与售价x的函数关系式，当利润是1920元时，就得到关于x的方程，从而求解． 【小问1详解】 解：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为， 根据题意得： 解得； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设利润M，则M与x的函数关系式是：． 即， 当时，即， 解方程得：． 即为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元． 22. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．某校为弘扬科学精神，普及科学知识，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中，开展了科普知识竞赛．八（1）班的林老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班本次参加竞赛的同学共有 人； （2）补全条形统计图； （3）八（1）班同学本次竞赛成绩的平均分是 分； （4）八（1）班的小红同学请假未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分．加入她的成绩后，请你对八（1）班总体成绩的变化情况进行评价．（请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明） 【答案】（1）50； （2）见解析 （3）80； （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查数据的整理与描述，条形统计图与扇形统计图，理解中位数，众数，平均数，方差的计算方法是正确求解的前提． （1）根据90分的人数和所占的百分比可得本次参加竞赛的同学总人数； （2）根据总人数和条形统计图上的数据即可求出70分的人数和100分的人数，画出图即可； （3）根据加权平均数的定义进行计算即可； （4）求出众数，平均数，中位数，方差，选取两个进行比较说明即可． 【小问1详解】 解：八（1）班本次参加竞赛的同学共有（人）； 【小问2详解】 解：70分的人数为：（人）， 100分的人数为：（人）， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：八（1）班同学本次竞赛成绩的平均分为：（分） 【小问4详解】 解：由题可得：数据的中位数为80分，小红成绩加入后中位数不变； 众数为80分，小红成绩加入后众数不变； 平均数为80分，小红成绩加入后平均数不变； 方差为 ， 小红成绩加入后为，人数为51人，故方差变小． 23. 阅读下列材料并完成相应的任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设，与不平行，E，F分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点 ∴（依据） ∵F是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴； 方法二：如图3，连接，取的中点M，连接． … 任务： （1）填空：材料中的依据是指 ； （2）将方法二的证明过程补充完整； （3）如图4，在五边形中，，，，．F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是 ． 【答案】（1）三角形的中位线定理 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理， （1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可； （2）根据三角形的中位线定理，得到，，，结合三角形的三边关系进行即可得出结论； （3）连接，勾股定理求出的长， 【小问1详解】 解：如图2，连接并延长至点G，使，连接 ∵E是的中点， ∴（三角形的中位线定理）； 故答案为：三角形的中位线定理； 【小问2详解】 如图3，连接，取的中点，连接． 点，点分别是和的中点， ，且． 同理：，且． ． 在中，． 即． 【小问3详解】 连接， ∵，， ∴， 由（1）中结论可知：， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于点A，B，直线：交y轴于点C，且与直线交于点D，P是线段上一动点，连接交于E． （1）求的长； （2）若时，求证：P是的中点； （3）若，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出点，点的坐标，即可求解； （2）先求出点的坐标，根据，求出点的横坐标，代入，即可求出点P的坐标，根据中点坐标公式即可得出结论； （3）由，得到，进而推出，再根据，进而得到点P的坐标，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：直线：交y轴于点B， ， 直线：交y轴于点C， ， ； 【小问2详解】 证明：联立，解得：， ， ， ， ， ， ， ， P是的中点； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，两直线的交点问题，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 25. 如图，在正方形中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），点E在DP上，，延长BE交CD于点F． （1）求的度数； （2）连接． ①当时，求证：A，E，C三点在同一直线上； ②当时，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，则，所以，则，所以 ； （2）①由得到，根据平行线的性质得到，推出，进而得到，即可得到结论A，E，C三点在同一直线上； ②作作于点G，于点H，则 ，而 ，所以，则 ，可证明，得，可证明，则，因为，得出，可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A，E，C三点在同一直线上； ②如图1，作于点G，于点H，则 ， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$