精品解析：辽宁省阜新市彰武县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度（下）八年级数学质量测试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡上．） 1. 不等式2x+1＞x+2解集是（ ） A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D. x≤1 2. 多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　） A. 2（x+y）2 B. 2（x﹣y）2 C. 2（x+y）（x﹣y） D. 2（y+x）（y﹣x） 3. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，的垂直平分线交于D，如果，，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 8. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3Cm的纸带边沿上，另一个顶 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3）， 则三角板的最大边的长为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 10. △ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P为线段AB上一动点，D为BC上中点，则PC+PD的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题：（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上）． 11. 分解因式：_____． 12. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 13. 一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是______． 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 15. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 __________． 三、解答题（本大题有七道题，其中16题8分，17题8分，18题8分，19题9分，20题10分，21题10分，22题10分，23题12分，共75分；把解答过程在答题卡上） 16. 解分式方程：． 17. 解不等式组： ，并把它解集在数轴上表示出来 18. 先化简，再求值：，其中满足方程． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2． （1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2； （2）计算线段AC从开始变换到A1 C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算） 20. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE． （1）图中平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积． 21. 阅读下列解题过程： 已知a，b，c为的三边，且满足，试判断的形状． 解：∵，① ∴，② ∴③ ∴直角三角形． （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）写出正确的解题过程． 22. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ （3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________． 23. 如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． （1）如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论； （2）如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）八年级数学质量测试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填在答题卡上．） 1. 不等式2x+1＞x+2的解集是（ ） A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D. x≤1 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 解：移项得，2x﹣x＞2﹣1， 合并同类项得，x＞1， 故选A 点评：本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 2. 多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　） A. 2（x+y）2 B. 2（x﹣y）2 C. 2（x+y）（x﹣y） D. 2（y+x）（y﹣x） 【答案】C 【解析】 【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可． 【详解】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 3. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：中心对称图形是旋转180度与它本身重合，B是旋转120度与它本身重合，所以不是中心对称图形，故选B． 考点：中心对称图形的识别 4. 如图，中，的垂直平分线交于D，如果，，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质； 根据线段垂直平分线的性质得到，然后求出的周长为即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：D． 5. 要使分式有意义，那么的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 分式有意义，的取值范围， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分母不为，掌握不等式的解法是解题的关键． 6. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是熟记不等式的性质，正确应用． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，ADBC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，ADBC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵AD=2AB=2CD，CD=DE， ∴AD=2DE， ∴AE=DE=3， ∴DC=AB=DE=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC． 8. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3Cm的纸带边沿上，另一个顶 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3）， 则三角板的最大边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 【详解】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=， 故选：D． 9. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 10. △ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P为线段AB上一动点，D为BC上中点，则PC+PD的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作D关于AB的对称点F，连接CF交AB于P， 则CF的长度=PC+PD的最小值，连接PD，BF， 则AB垂直平分DF， ∴PF=PD，BD=BF=BC=1，∠FBP=∠DBP， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC， ∴∠ACB=45°， ∴∠CBF=90°， ∴CF2=BC2+BF2=5， ∴CF=， ∴PC+PD的最小值是. 故选C. 点睛：本题考查轴对称最短问题、等腰直角三角形的性质解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧动点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，是两条线段之和转化为一条线段. 二、填空题：（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上）． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 【答案】x＜ 【解析】 【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集． 【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m， 解得m， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜ 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13. 一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数是n，先求出多边形的内角和，再根据内角和公式得出关于n的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：一个多边形的内角和与外角和的比是， 这个多边形的内角和为， 设这个多边形边数是n， 则， 解得：， 即边数为10， 故答案为： 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于，边数为n的多边形的内角和公式为 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 【答案】2 【解析】 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵∠AOP=∠BOP=15°， ∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°， 而PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， ∴PE=PC=×4=2， ∴PD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质． 15. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设与交于点，连接，首先利用勾股定理解得的值，再根据旋转的性质可得为等边三角形，易得，，进而可知为的垂直平分线，然后求得，的值，即可获得答案． 【详解】解：设与交于点，连接，如图， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴等边三角形， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴，， ∴平分，平分， ∴，， ∴，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题有七道题，其中16题8分，17题8分，18题8分，19题9分，20题10分，21题10分，22题10分，23题12分，共75分；把解答过程在答题卡上） 16. 解分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 17. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】. 【解析】 【详解】分析： 按照解一元一次不等式组的一般步骤进行解答，并把解集规范的表示在数轴上即可. 详解： 解不等式得：； 解不等式得：； ∴原不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如下图所示： 点睛：熟记“一元一次不等式组的解法和不等式组的解集在数轴上的表示方法”是解答本题的关键. 18. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】． 【解析】 【分析】把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值． 【详解】解： = = = = ∵，∴， ∴原式=． 【点睛】考点：分式的化简求值． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2． （1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2； （2）计算线段AC从开始变换到A1 C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算） 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可； （2）根据图形平移及旋转的性质可知，将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位AC扫过的面积是以3为底以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积，根据平行四边形的面积及扇形面积公式进行解答即可． 解：（1）如图所示： （2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格， ∴AC==2， ∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位AC扫过的面积是以3为底以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为45°的扇形的面积， ∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=4×2+3×2+﹣=14+π． 点评：本题考查的是旋转变换及平移变换，扇形的面积公式，熟知图形旋转、平移不变性的特点是解答此题的关键． 20. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE． （1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若△AEF的面积是3，求四边形BCFD的面积． 【答案】（1）平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，（2）12． 【解析】 【分析】（1）由E为AC的中点，可得AE=CE，再由条件EF="DE" 可得四边形ADCF是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得△CEF的面积和△CED的面积都等于△AEF的面积为3，从而可得四边形BCFD的面积为12． 【详解】（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC， 理由是：∵E为AC的中点， ∴AE=CE， ∵DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD∥CF，AD=CF， ∵D为AB的中点， ∴AD=BD， ∴BD=CF，BD∥CF， ∴四边形BDFC是平行四边形． （2）由（1）知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形， ∴S△CEF=S△CED=S△AEF=3， ∴平行四边形BCFD的面积是12． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． 21. 阅读下列解题过程： 已知a，b，c为的三边，且满足，试判断的形状． 解：∵，① ∴，② ∴③ ∴直角三角形． （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）写出正确的解题过程． 【答案】（1）③ （2）正确的解题过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，因式分解的应用： （1）观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的，原因是忽略了． （2）先把原式变形为，进而得到或，由此可得结论． 【小问1详解】 解：观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的，原因是忽略了． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 22. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ （3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________． 【答案】（1）9万元 （2）共有5种进货方案，方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆 （3）0.5 【解析】 【分析】（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，根据题意，得：，求解即可； （2）设购进A款汽车辆．根据题意，得：，解不等式即可的方案； （3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：即可求解； 【小问1详解】 解：（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元， 根据题意，得：，解得：． 经检验，时，，所以是是原方程的根且符合题意． 答：今年2月份A款汽车每辆售价9万元； 【小问2详解】 设购进A款汽车辆．根据题意，得： ． 解得：． ∵的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案， 方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆． 方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆． 方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆． 方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆． 方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆； 小问3详解】 设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得： ． 当时，（2）中所有方案获利相同． 故答案是：0.5． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键． 23. 如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． （1）如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断形状，请直接写出结论； （2）如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 【答案】（1）为等腰三角形； （2）是直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形； （2）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行的性质证明即可． 【小问1详解】 解：等腰三角形；证明如下： 如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：为直角三角形，证明如下： 如图，连接，取的中点H，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴， 同理，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $