精品解析：黑龙江省大庆市二十三中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

大庆市第二十三中学中初二下数学期末考试卷 考试时间： 120分钟， 总分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 88 2. 以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. 9、12、15 C. D. 3、4、5 3. 已知：是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数据的平均数是2，则数据，，…，的平均数是（ ） A. 2 B. 102 C. 104 D. 98 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，， ，， 则的大小为（ ）． A. 17° B. 73° C. 63° D. 62° 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 9. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 4或8 10. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则a，b的取值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图①，四边形ABCD中，BCAD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 第II卷 （非选择题） 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 如果有意义，那么x的取值范围是_________． 14. 将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位，所得函数表达式______． 15. 下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有____________个． 16. 若一次函数的图像过，则的值为_________________． 17. 如图，在中，于点D，若，则=___________． 18. 已知方程组，则的值为________． 19. 已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 _____． 20. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是___________个． 三、解答题（共60分） 21. 计算 （1） （2）解下列方程组 22. 据悉，2022年，我国载人航天空间站工程进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务．为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分）．评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）所抽取作品成绩的众数为______，中位数为______，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为_______； （3）已知该校收到书画作品共900份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中画出关于y轴的对称图形，并写出； （2）的面积为________； （3）若点P在y轴上，则的最小为__________． 24. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 25. 如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标． 26. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 27. 为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元只） 售价（元只） 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50 （1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？ （2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？ 28. 已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上． (1)如图1，点O在直线AB与CD的内部，试猜想∠BEO，∠EOF，∠DFO之间的关系，并说明理由． (2)若点O在直线AB与CD的外部,如图2,(1)中的结论还成立吗?若不成立，∠BEO，∠EOF，∠DFO之间又有怎么样的关系?并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第二十三中学中初二下数学期末考试卷 考试时间： 120分钟， 总分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的概念进行判断即可选出正确答案．本题考查无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【详解】解：选项A： 0是有理数，故本选项不符合题意； 选项B： 是有理数，故本选项不符合题意； 选项C：是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意； 选项D： 88是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. 9、12、15 C. D. 3、4、5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知：是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知数的次数是1是解题的关键．根据二元一次方程的未知数的次数是1即可得出答案． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ，， ， 故选：A 4. 已知数据的平均数是2，则数据，，…，的平均数是（ ） A. 2 B. 102 C. 104 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义得到,故可求出，，…，的和进行求解. 【详解】∵数据的平均数是2 ∴ ∴，，…，的和为2（）+100n=104n 故数据，，…，的平均数104n÷n=104， 故选C. 【点睛】此题主要考查平均数的求解，解题的关键是熟知平均数的性质. 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，关于坐标轴对称的点的特征是关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为相反数，利用规律即可得到答案． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点C的坐标是． 故选：A 【点睛】此题考查了点的平移规律和关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练掌握相关规律是解题的关键． 6. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 7. 如图，， ，， 则的大小为（ ）． A. 17° B. 73° C. 63° D. 62° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠ABC=28°，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴∠C=∠ABC=28°， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理，求角的度数，要善于利用三角形外角定理简化运算过程． 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解． 【详解】解：将点代入得： ∴交点坐标为： 由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为 故选：B 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可． 9. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（ ） A. 6 B. 4 C. 8 D. 4或8 【答案】B 【解析】 【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解． 【详解】解：①4是底边时，腰长为， 此时，三角形的三边分别为4、6、6，能组成三角形； ②4是腰长时，底边为， 此时，三角形的三边分别为8、4、4，不能组成三角形， 综上所述，底边为4． 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形． 10. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数而言，随的增大而减小， ，结论①正确； 一次函数与轴的交点位于轴负半轴， ，结论②错误； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则，结论③错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 11. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则a，b的取值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同．将此方程组的解代入含有a、b的另两个方程，就得关于a、b的二元一次方程组，解之即得a、b的值． 【详解】解：由题意，组成新方程组 解得， 把x＝3，y＝1分别代入ax＋by＝－1和2ax＋3by＝3，得 ， 解这个方程组，得， 故选：A． 【点睛】此题考查了同解方程组，解二元一次方程组，正确理解同解方程组的题意列得方程组进行解答是解题的关键． 12. 如图①，四边形ABCD中，BCAD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AD于点E，根据函数图象，得出AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，再根据题意，得出四边形ABCE是长方形，再根据长方形的定义，得出、的长，再根据勾股定理，得出的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E， 由图②可知，点P从A到B运动的路程是3，即；当点P与点B重合时，△ADP的面积是，由B到C运动的路程为3，即， ∴， 解得：， 又∵，，， ∴，， ∴四边形ABCE是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴点P从开始到停止运动的总路程为：． 故选：D 【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息、动点问题的函数图象、勾股定理，解本题的关键在理解题意，能从函数图象中找到准确的信息，利用数形结合思想进行解答． 第II卷 （非选择题） 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 如果有意义，那么x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 14. 将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位，所得函数表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一次函数图象“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位，所得函数表达式为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移规律，即“上加下减，左加右减”，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有____________个． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边的中线和底边上的高重合，故原命题错误，不符合题意； ②等腰三角形两腰上的高相等，正确，符合题意； ③等腰三角形的最短边不一定是底边，故原命题错误，不符合题意； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确，符合题意； ⑤等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原命题错误，不符合题意， 错误的有3个， 故答案为：3 16. 若一次函数的图像过，则的值为_________________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入函数求出，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：一次函数的图象过， ， ， ． 故答案为：2025． 17. 如图，在中，于点D，若，则=___________． 【答案】##9厘米 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证得得到是解题的关键．由条件可证明，则可求得，可求得答案． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 18. 已知方程组，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的简便运算，熟练掌握通过方程相减直接构造出所求代数式（）的方法是解题的关键． 本题可通过观察方程组中两个方程的特点，用第一个方程减去第二个方程，直接得到的值，无需单独求出和． 【详解】解： ①②得： 故答案为： ． 19. 已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查点到两坐标轴的距离特征，熟练掌握点到两坐标轴的距离特征是解题的关键； 点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出的值，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数， ∴分以下两种情考虑： ①横纵坐标相等时，即当时，解得， ∴点的坐标是； ②横纵坐标互为相反数时，即当时，解得， ∴点的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 故答案为：或． 20. 如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是___________个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，，利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，当则可对④进行判断． 【详解】解：， ，即， ，所以③正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 平分，所以①正确； 平分， ， ， ，所以②正确； 当时，， ， ， ， 而， ， ， ．故④错误． 故正确的结论有3个． 故答案为：3 三、解答题（共60分） 21. 计算 （1） （2）解下列方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握运算法则以及加减消元法是解题的关键． （1）根据零指数幂的意义，二次根式的性质，绝对值的代数意义即可求解； （2）利用加减消元法即可求解． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 ， ②①得，， 解得：， 将代入②中得：， 解得：， 二元一次方程组的解为． 22. 据悉，2022年，我国载人航天空间站工程进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务．为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分）．评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）所抽取作品成绩的众数为______，中位数为______，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为_______； （3）已知该校收到书画作品共900份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）8分、8分， （3）660份 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用10分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再求出得8分的作品的份数,然后补全条形统计图即可； （2）根据众数、中位数求法即可求得众数和中位数，然后再求得6分所在的比例，最后用6分所在的比例即可解答； （3）运用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：（人） 得8分的作品数为：（份） 【小问2详解】 解：∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分， ∴所抽取作品成绩的众数为8分， ∵共抽取了120份作品，其中成绩排在第60与61名的作品均为8分， ∴所抽取作品成绩的中位数为8分， ∵6分所占的比例为 ∴扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为． 故答案为：8分、8分，． 【小问3详解】 解：（份）． ∴估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有660份. 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运、众数、中位数等知识点，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中画出关于y轴的对称图形，并写出； （2）的面积为________； （3）若点P在y轴上，则的最小为__________． 【答案】（1）图见解析，-5,3 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的关于y轴的对称点，，,顺次连接即可得到所求作图形． （2）利用长方形的面积减三个直角三角形的面积即可． （3）利用轴对称的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标是， 的坐标是， 故答案为：， 【小问2详解】 的面积 ． 故答案为：9． 【小问3详解】 点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，此时的值最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称把最短问题转化为两点之间线段最短． 24. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 25. 如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）(6，4) 【解析】 【分析】（1）先写出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）设C，则根据三角形面积公式得×3×＝6，然后解方程求出t，从而得到C点坐标． 【小问1详解】 ∵OA＝3，OB＝4， ∴A(3，0)，B(0，-4)， 把A(3，0)，B(0，-4)分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x-4； 【小问2详解】 设C， ∵△AOC的面积为6， ∴×3×＝6， 解得t＝6， ∴点C的坐标为(6，4)． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 26. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：，点D是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可求，可求解． 【详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27. 为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元只） 售价（元只） 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50 （1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？ （2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？ 【答案】（1）商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只 （2）商场共计获利1300元 【解析】 【分析】（ 1）设商场购进甲种节能灯只，购进乙种节能灯只，根据幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2 ）根据总利润每只甲种节能灯的利润购进数量每只乙种节能灯的利润购进数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设商场购进甲种节能灯只，购进乙种节能灯只， 根据题意得：， 解得：． 答：商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只． 【小问2详解】 （元． 答：商场共计获利1300元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组求解． 28. 已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上． (1)如图1，点O在直线AB与CD的内部，试猜想∠BEO，∠EOF，∠DFO之间的关系，并说明理由． (2)若点O在直线AB与CD的外部,如图2,(1)中的结论还成立吗?若不成立，∠BEO，∠EOF，∠DFO之间又有怎么样的关系?并说明理由． 【答案】（1）∠EOF=∠BEO+∠DFO，见解析；（2）不成立；∠DFO=∠BEO+∠EOF，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）过O作OG∥AB，由平行线的性质可得到∠EOF=∠BEO+∠DFO； （2）设OF交AB于点H，由平行线的性质结合外角的性质可得到∠DFO=∠BEO+∠EOF． 【详解】(1)∠EOF=∠BEO+∠DFO，理由如下： 如图1,过O作OG∥AB， ∵AB∥CD， ∴OG∥CD， ∴∠BEO=∠EOG，∠DFO=∠FOG， ∴∠EOF=∠EOG+∠FOG=∠BEO+∠DFO； (2)不成立，此时∠DFO=∠BEO+∠EOF，理由如下： 如图2，设OF交AB于点H， ∵AB∥CD， ∴∠DFO=∠BHO， 又∵∠BHO=∠BEO+∠EOF， ∴∠DFO=∠BEO+∠EOF. 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $