精品解析：辽宁省丹东市凤城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度下学期期末测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、=，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、是最简分式，所以C选项符合题意； D、=，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．熟记定义是解本题的关键． 3. 已知，，则多项式的值为（ ） A. 30 B. 11 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把多项式进行因式分解，再利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解，是解题的关键． 4. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 正六边形的每个内角度数是每个外角度数的（ ） A. 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出正六边形的每个内角度数，再根据相邻的内角和外角互补可得每个外角的度数，进而即可求解. 【详解】解：根据多边形内角和公式可得：正六边形每个内角的度数为即120°， ∴每个外角的度数为180°－120°＝60°， ∴120°＝2×60° 故正六边形的每个内角度数是每个外角度数的2倍 故选：A. 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和的问题，解题的关键是掌握正多边形内角和公式. 6. 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，提取公因式，化简计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 7. 如图，在中，，点在斜边上．如果经过旋转后与重合，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形内角和求出的度数，旋转得到，利用，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 8. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF＝DF，若BC＝8，则DF的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质得出DE的长度，然后根据EF＝DF，DE+EF=DF求出DF的长度． 【详解】解：∵D、E分别为AB和AC的中点， ∴DE=BC=4， ∵EF＝DF，DE+EF=DF， ∴DF=6， ∴选A． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，属于基础题型．理解中位线的性质是解决这个问题的关键． 9. 在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠可得：，，由点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，得，则，取中点F， 连接，证明是等边三角形，得，所以，可判定①正确；从而求得，继而求得，所以，即可由判定，即可判定②正确；由全等三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一性质得出DE垂直平分AB，可判定③正确；由含30度的直角三角形的性质得，再利用勾股定理得，即可由三角形面积公式求得，可判定④错误． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴ ∵点D恰好为BC边靠近点C的三等分点， ∴， ∴， 取中点F， 连接，如图， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故①正确； ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴ ∵ ∴ ∴DE垂直平分AB，故③正确； ∵，， ∴， 由勾股定理，得， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质．此题属三角形折叠问题，综合性较强，属中考压轴题． 10. 如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论． 【详解】解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴点到直线的距离为2， 连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短， 即：； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键． 12. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 13. “全民健身共筑健康中国”，王老师每天晚饭后会到体育馆的健康步道上慢走，他的路线图如图所示，从P点出发向东直走，右转一定的角度，再沿直线走，又向右转动相同的角度，如此反复，若王老师共走了后回到了P点，则他每次右转的度数为____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，求解多边形的边数是解题的关键． 根据题意先求解多边形的边数，再根据多边形的外角和多了可求解． 【详解】解：王老师走了1080米后可形成的多边形的边数为： ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于，如图， ∵平分, ， 故答案为：18． 15. 如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】题提示：过点作交延长线于点，连接，先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【详解】过点作交延长线于点，连接，如图， 根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解和解一元一次不等式组： （1）原式先提取公因式，再将剩下因式运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集即可 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：. 17. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中实数x，y满足． 【答案】（1）无解；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，正确掌握运算法则是解答本题的关键 （1）直接去分母，进而解方程，再检验得出答案； （2）根据二次根式有意义的条件分别求出，根据分式的混合运算法则把原式公共利益，把的值代入计算即可 【详解】解：（1） 去分母得，， 去括号得，， 解得，， 检验：把代入公分母得：， 即是原分式方程的增根； 所以，原方程无解， （2）要使有意义，则，即， 要使有意义，则，即， ∴， ∴， . 把，代入，原式. 18. 如图，锐角△ABC中，AB＝8，AC＝5． （1）请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接CD，求△ACD周长． 【答案】(1)答案见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，则周长． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）是的垂直平分线， ， ，， 周长． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 19. 已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合． （1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：____________，使得点，与的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； （2）如图2，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______ 【答案】（1），见解析 （2）6． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定补充条件，再画图并证明即可； （2）分两种情况讨论：当M在A的左边时，证明四边形为菱形即可；当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，此时与已知条件不相符． 【小问1详解】 解：如图，补充条件：，四边形为平行四边形； 证明如下： ∵四边形平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， 又点M在直线上，且， 如图，当点M在点A左侧时，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴； 当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，与已知条件不符，所以此种情况不存在， 综上，的长为6． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记基本几何图形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到，画出； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的 （3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为________； （4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当_______时，． 【答案】（1）详情见详解； （2）详情见详解； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C向上平移6个单位得到的对应点，然后顺次连接即可作出图形； （2）分别作出A，B，C的关于的对称点，然后顺次连接即可作出图形； （3）顺次连接交点P即是对称中心，； （4）作C关于轴的对称点 ，得出三点共线，从而得出，即可解答； 【小问1详解】 分别作出A，B，C向上平移6个单位得到的对应点，然后顺次连接 【小问2详解】 分别作出A，B，C的关于的对称点，然后顺次连接 【小问3详解】 顺次连接交点P即是对称中心， 【小问4详解】 作C关于轴的对称点 ，则 即三点共线， 时； 【点睛】本题考查平移变换作图，中心对称图形以及将军饮马问题，掌握平移变换作图，中心对称图形以及将军饮马问题是解题的关键． 21. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； （1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） （3）请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程解是____________； ③不等式的解集为________． 【答案】（1）-1，1 （2）见解析 （3）①>-1，②4或-6，③-5<x<3 【解析】 【分析】（1）把x=-3，3分别代入y=|x+1|-3即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）根据函数图像和性质解决． 【小问1详解】 解：当x=-3时，y=|-3+1|-3=-1，则m=-1，当x=3时，y=|3+1|-3=1，则n=1. 故答案为：-1，1． 【小问2详解】 函数图像如图所示， 【小问3详解】 ①当自变量x>-1时，函数y随x的增大而增大； ②当自变量x的值为4或-6时，y=2； ③解不等式|x+1|<4的结果为-5<x<3． 故答案为：>-1，4或-6，-5<x<3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键． 22. 公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的每个头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%． A，B两种型号头盔的进货和销售价格表如下： A型型号的头盔 B型型号的头盔 进货价格（元/个） 110 140 销售价格（元/个） 今年的销售价格 240 （1）求今年A型型号的头盔每个销售价多少元； （2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？ 【答案】（1）今年A型型号的头盔每个销售价为150元 （2）进A型号17个，B型号的33个获利最多 【解析】 【分析】（1）设今年6月A型号每个销售价为x元，则去年每个为元，根据“今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔个，根据“B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍”列出一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，设这批头盔获利为w元，得出w与m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质，即可得出答案； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：设今年6月A型号每个销售价为x元，则去年每个为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是分式方程的解，也符合题意， 答：今年A型型号的头盔每个销售价为150元． 【小问2详解】 设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔个， 由题意得：， 解得：， 设这批头盔获利为w元， ， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵，且m为整数， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：进A型号17个，B型号的33个获利最多． 23. 【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______ 【答案】（1）60；（2）；；（3），理由见解析；拓展应用：或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点F作交延长线于点，设交于点N，通过证明，进而得出，再证明，可得，仅为求解即可； （3）分别根据思路1和2进行推理证明即可； 拓展应用：先根据面积之间的关系得出，继而得出，分别在图3和图2中进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； （2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展应用： ∵， ∴当为面积的时，， 由（3）思路2得，， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，； 如图2,， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度下学期期末测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “琴棋书画”棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则多项式的值为（ ） A. 30 B. 11 C. 1 D. 4. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 5. 正六边形的每个内角度数是每个外角度数的（ ） A. 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍 6. 计算 的结果为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在中，，点在斜边上．如果经过旋转后与重合，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF＝DF，若BC＝8，则DF的长为（ ） A 6 B. 8 C. 4 D. 9. 在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，，直线与直线之间距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为，则的值为______． 12. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 13. “全民健身共筑健康中国”，王老师每天晚饭后会到体育馆的健康步道上慢走，他的路线图如图所示，从P点出发向东直走，右转一定的角度，再沿直线走，又向右转动相同的角度，如此反复，若王老师共走了后回到了P点，则他每次右转的度数为____________． 14. 如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是______． 15. 如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为______． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：． （2）解不等式组： 17. （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中实数x，y满足． 18. 如图，锐角△ABC中，AB＝8，AC＝5． （1）请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接CD，求△ACD周长． 19. 已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合． （1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：____________，使得点，与的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； （2）如图2，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______ 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到，画出； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的 （3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为________； （4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当_______时，． 21. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； （1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 0 n 2 3 … 表格中m的值为__________，n的值为___________． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图） （3）请观察函数的图像，直接写出如下结论； ①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大； ②方程的解是____________； ③不等式的解集为________． 22. 公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的每个头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%． A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下： A型型号的头盔 B型型号的头盔 进货价格（元/个） 110 140 销售价格（元/个） 今年的销售价格 240 （1）求今年A型型号的头盔每个销售价多少元； （2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？ 23. 【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积时，的值为______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$