第六讲 用一元二次方程解决问题 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

用一元二次方程解决问题 【同步知识梳理】 1、 销售（利润）问题 解决利润问题的公式： 利润公式：利润=（一件商品的利润）（销售量） 利润率公式：成本（1±利润率）=售价 例：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 2、 增长率问题 增长率常用公式：a（1±x）n=b a：原来的； x：增长率； n：次数； b：现在的 给出单次变化后的量→直接套用公式 给出多次变化后的总量→套用公式后求和 例2、凤凰百货商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到件．设二、三这两个月月平均增长率不变．求二、三这两个月的月平均增长率； 3、面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 例3、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　． 例4、如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设米，则可列方程_____________    4、传播问题 病毒传播常用公式： （1+x）n=患病总人数 x：一次传播的人数； n：次数 例5、一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 5、循环问题 单循环公式： 双循环公式：n（n-1） 哪些是单循环，哪些是双循环？ 单循环：握手、世界杯比赛、多边形对角线的条数（）等 双循环：交换礼品、友谊赛、制作火车票等 例6、第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两只球队之间比赛一场，共安排了56场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【精题精练精讲】 题型一：销售（利润）问题 1．某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元． (2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）． (3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少． 2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？ 3．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ 题型二：增长率问题 1．某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．深圳“华为”1月份产值200亿元，现计划扩大生产，使2、3两月份的产值都比前一个月增长相同的百分数，这样第一季度的总产值就达到了1400亿元．设这个百分数为，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 3．铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨． (1)求8，9月份产量的平均增长率； (2)若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值． 题型三：面积问题 1．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修起三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路的宽为 ．    2．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用  总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米． (1)求的长度(用含x的代数式表示)． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 3．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 题型四：传播问题 1．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 2．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉”这是武汉女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵式的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则的值为 ． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 题型五：循环问题 1．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 2．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（　　） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 3．八年级班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片张，则同去春游的人数是（  ） A． B． C． D．6 题型六：其他问题 1．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 2．如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； (2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 3．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【能力拓展训练】 1.某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高0.5元，每周就会少售出1件． （1）若以每件盈利10元的价钱出售，则每天能盈利_____________元． （2）若商家想保证每天的销售利润为384元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每件工艺品的售价应定为多少元？ ①解：方法一：设每件工艺品涨价x元，由题意得方程:___________________________． 方法二：设每件工艺品售价为x元，由题意得方程：___________________________． ②请你选择一种方法完成解答． 2．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货． （1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？ 【课后知识应用】 1．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 3．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有 支球队． 4．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 5．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋． (1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元） 6．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． (1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； (2)如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 7．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 用一元二次方程解决问题 【同步知识梳理】 1、 销售（利润）问题 解决利润问题的公式： 利润公式：利润=（一件商品的利润）（销售量） 利润率公式：成本（1±利润率）=售价 例：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，则商场日销售量增加___________件，当天可获利___________元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 解：（1）销售量增加：件， 当天盈利：（元）． 故答案为：6；1692． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元． 故答案为，； （3）根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ∴． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 2、 增长率问题 增长率常用公式：a（1±x）n=b a：原来的； x：增长率； n：次数； b：现在的 给出单次变化后的量→直接套用公式 给出多次变化后的总量→套用公式后求和 例2、凤凰百货商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到件．设二、三这两个月月平均增长率不变．求二、三这两个月的月平均增长率； 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 3、面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 例3、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 （12-x）（8-x）=77 　． 例4、如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设米，则可列方程_____________    【答案】 4、传播问题 病毒传播常用公式： （1+x）n=患病总人数 x：一次传播的人数； n：次数 例5、一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 解：设每轮传染中平均一个人传染x人， 根据题意可得方程， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一个人传染11人， 故答案为：11． 5、循环问题 单循环公式： 双循环公式：n（n-1） 哪些是单循环，哪些是双循环？ 单循环：握手、世界杯比赛、多边形对角线的条数（）等 双循环：交换礼品、友谊赛、制作火车票等 例6、第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两只球队之间比赛一场，共安排了56场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 解：设比赛组织者邀请了x个队参赛，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 【精题精练精讲】 题型一：销售（利润）问题 1．某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克元时，则销售量为______；月销售利润为_____元． (2)若设销售单价为每千克元，则销售量为______；月销售利润为_____元（用含的代数式表示）． (3)若商品想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售单价应为多少． 【答案】(1)450，6750(2)，(3)80元 【详解】（1）解：， (元)， 故答案为：450，6750； （2）解：销售量为：； 月销售利润为：(元)， 故答案为：，； （3）解：商品想在月销售成本不超过元的情况下，即销售量不超过， 设此时售价为x元， 则， 解得，， 当时，销售量为：，符合题意， 当时，销售量为：，不符合题意， 故销售单价应为80元． 2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？ 【答案】要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株 【详解】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元．由题意，得． 化简、整理，得． 解这个方程，得，． 经检验，，都是方程的解，且符合题意． 答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株． 3．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ 【答案】20元 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到较多的实惠， ． 答：每件应降价20元． 题型二：增长率问题 1．某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 2．深圳“华为”1月份产值200亿元，现计划扩大生产，使2、3两月份的产值都比前一个月增长相同的百分数，这样第一季度的总产值就达到了1400亿元．设这个百分数为，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设这个百分数为， 由题意得：， 故选：D． 3．铝加工是巩义经济的支柱产业之一，巩义某铝板厂通过技术改造升级，使铝板生产规模不断扩大．该厂7月份生产铝板1.92万吨，9月份生产铝板3万吨． (1)求8，9月份产量的平均增长率； (2)若9月份每吨铝板的利润为2000元，10月份每吨铝板的利润比9月增加，10月份铝板产量比上月增加，则10月份铝板项目月利润达到7920万元．求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设8，9月份产量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得或（舍去）， 答：，9月份产量的平均增长率为； （2）解：由已知得， 解得：或（舍去）， 答：的值为10． 题型三：面积问题 1．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修起三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路的宽为 ．    【答案】2 【详解】解：：设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 故答案为：2． 2．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用  总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米． (1)求的长度(用含x的代数式表示)． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【答案】(1)米(2)米． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴即长度为米． （2）解：由题意知， 解得， 又∵，且 ∴， ∴米． 3．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米； (2)不能围成花圃，理由见解析． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为米； （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃； 题型四：传播问题 1．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 【答案】(1)；(2)不会，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意可知： 第一轮传染后患病的人数人， （2）解：设在每轮传染中一人将平均传给人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生． 2．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉”这是武汉女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵式的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意得：1+n+n2＝111， 整理得：n 2+n－110＝0， 解得：n1＝10，n2＝﹣11（不符合题意，舍去） 故答案为：10． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有 台被染上病毒，2轮后就有 台被感染病毒，依题意，得 ， 解得 ，（舍去）． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 由此规律，经过3轮后，有台电脑被感染． 由于 ， 所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 题型五：循环问题 1．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得， ． 故选：C． 2．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（　　） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 【答案】B 【详解】设小组有x人，根据题意，得 x(x-1)=30， 整理，得 ， 解方程，得 (舍去)， 故选B． 3．八年级班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片张，则同去春游的人数是（  ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：设同去春游的人数是人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 故选：． 题型六：其他问题 1．读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【答案】周瑜去世的年龄为36岁． 【详解】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得； 10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世的年龄为36岁． 2．如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； (2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒(2)秒或秒 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的 ，， ， 解得： ∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的． （2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为， ①当时， 当点在点上方时，则，即， 过点作于点， 则，，， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴， ∴， 解得（舍），． 当点在点下方时，则，即， 过点作于点， 则，，， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴， ∴， 解得，（舍）． ②当时，则 ∵，， ∴， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴ 有， 得方程：， ， 此方程无实根． 综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为． 3．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值为6 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【能力拓展训练】 1.某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高0.5元，每周就会少售出1件． （1）若以每件盈利10元的价钱出售，则每天能盈利_____________元． （2）若商家想保证每天的销售利润为384元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每件工艺品的售价应定为多少元？ ①解：方法一：设每件工艺品涨价x元，由题意得方程:___________________________． 方法二：设每件工艺品售价为x元，由题意得方程：___________________________． ②请你选择一种方法完成解答． 答案：（1）360 （2） 方法一:（20-12+x）（40-2x）=384 方法二:（x-12）（40-）=384 选方法二：答案为24元 2．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货． （1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？ 【答案】(1) 200元;(2) 190元 【详解】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元， 980﹣30×≥800， 解得x≤200， 故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元． （2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000， 整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0， 解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）． 故200（1﹣a%）＝190（元） 答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．… 【课后知识应用】 1．初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 【答案】 【详解】解：设主干长出x个支干， ，整理得： 故答案为：． 3．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有 支球队． 【答案】4 【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得： ， 解得：，（舍去） 故答案为：4． 4．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元 【详解】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 5．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到袋． (1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价元，原售价为每袋元） 【答案】(1)八、九这两个月的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：八、九这两个月的月平均增长率为． （2）解：设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意可得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 6．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． (1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； (2)如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不能成功围成花圃，理由见解析 【分析】（1）设米，则米，由题意可列出关于x的一元一次不等式和一元二次方程，解出不等式的解集和方程的解，即得出答案； （2）设米，则米，由题意可列出关于y的一元二次方程，由方程无解，即得出不能成功围成花圃． 【详解】（1）解：设米，则米， ∵墙可利用的最大长度为15米， ∴， 解得：． ∵围成的花圃面积为40平方米， ∴， 解得：（舍）， ∴的长为10米． （2）设米，则米， 由题意得：， 整理，得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不能成功围成花圃． 7．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？ (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？ 【答案】(1)(2)2240元(3)12元 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）（元）． 答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元． （3）依题意，得， 整理，得， 解得，． ∵要让顾客获得更大实惠，∴． 答：这种菠萝蜜每千克应降价12元． 学科网（北京）股份有限公司 $$