专题02 基本不等式重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题02 基本不等式重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式的内容及辨析 题型四 基本不特式求积的最大值 题型五 基本不特式求和的最小值 题型六 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型七 条件等式求最值 题型八 基本不特式的恒成立问题 题型九 对勾函数求最值 题型十 基本(均值)不等式的应用 题型十一 容积的最值问题 题型十二 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 】由基本不等式比较大小 【例1】（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 1．（2019·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·浙江·课后作业）已知都是正实数，且，则与的大小关系是 ． 3．（21-22高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【经典例题二 】由基本不等式证明不等关系 【例2】（20-21高一·江苏·课后作业）对于，，下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·江苏·专题练习）已知是不相等的正数，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）证明： （1）； （2）. 【经典例题三 】基本不等式的内容及辨析 【例3】（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）两类平均数：一般地，对于给定的实数，称为的 ，当时， 称为的几何平均数. 3．（20-21高一·江苏·课后作业）甲、乙两同学分别解“设，求函数的最小值”的过程如下： 甲：，又，所以. 从而，即y的最小值是. 乙：因为在区间上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是. 试判断谁错，错在何处？ 【经典例题四 】基本不特式求积的最大值 【例4】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若正数，，满足，，则的最大值是 . 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【经典例题五 】基本不特式求和的最小值 【例5】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知，且，则的最小值为 ． 3．（2023高一·江苏·专题练习）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？ 【经典例题六 】二次与二次(或一次)的商式的最值 【例6】（21-22高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 2．（2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 3．（2022高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【经典例题七 】条件等式求最值 【例7】（23-24高一上·江苏连云港·期末）在中，，且，则的面积的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正实数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【经典例题八 】基本不特式的恒成立问题 【例8】（23-24高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（2021高一上·江苏·专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 3．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【经典例题九 】对勾函数求最值 【例9】（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 1．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知，函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高一上·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 3．（20-21高一·全国·课后作业）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）已知，则的最大值为？ （3）函数 的最小值为？ 【经典例题十 】基本(均值)不等式的应用 【例10】（20-21高二上·江苏苏州·期中）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面的造价为1800元，房屋侧面的造价为1200元，屋顶的造价为7800元，如果墙高，且不计房屋背面的费用，问：怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【经典例题十一 】容积的最值问题 【例11】（2018高二·全国·专题练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 1． （23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为（       ）元． A．63400 B．43400 C．23000 D．53000 2．（20-21高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 3．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【经典例题十二 】基本不等式“1”的妙用求最值 【例12】（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）在的展开式中，含的项的系数为，则的最小值为（   ） A．13 B．25 C．30 D．36 2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 3．（21-22高一上·全国·阶段练习）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 3．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列函数中最大值为1的有（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若，，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 10．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知均为正数，且满足，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 12．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 13．（23-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 14．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 15．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 16．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 17．（17-18高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 18．（23-24高一上·江苏苏州·期中）若正数满足． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的取值范围． 19．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 20．（22-23高三上·江苏淮安·期中）（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式的内容及辨析 题型四 基本不特式求积的最大值 题型五 基本不特式求和的最小值 题型六 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型七 条件等式求最值 题型八 基本不特式的恒成立问题 题型九 对勾函数求最值 题型十 基本(均值)不等式的应用 题型十一 容积的最值问题 题型十二 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 】由基本不等式比较大小 【例1】（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a，b∈R+，且a≠b， ∴a+b＞2，∴＜， 而＝＞0， ∴＜， 故选：B 1．（2019·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 不一定大于等于零，所以该选项错误； B. ，当取负数时，显然，所以错误，所以该选项错误； C. ，当且仅当时成立，由于取得条件不成立，所以，如时，，所以该选项错误； D. ，当且仅当时取等号.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．（20-21高一上·浙江·课后作业）已知都是正实数，且，则与的大小关系是 ． 【答案】． 【分析】由基本不等式化简即可求得与的范围，进而得出结果. 【详解】，．而，．． 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式在比较大小中的应用，考查应用能力，属于基础题. 3．（21-22高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】利用基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】解：，证明如下： 因为、均为正数，由基本不等式可得， 则，则，所以， 由上可知，则，即， 所以，， 综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立. 【经典例题二 】由基本不等式证明不等关系 【例2】（20-21高一·江苏·课后作业）对于，，下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，令a＝－， b＝－， 则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当取等号，不成立； 对于B， >0, >0，所以＋≥2，当且仅当取等号，成立； 对于C，st＝(－s)(－t)≤，当且仅当取等号，成立； 对于D，， 当且仅当取等号，成立． 故选：A 1．（2023高一·江苏·专题练习）已知是不相等的正数，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可比较出大小，从而求解. 【详解】因为为不相等的正实数，所以 由基本不等式得： 所以，又因为，所以. 故选：B. 2．（21-22高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 【答案】2 【分析】由基本不等式判断，可举反例说明不恒成立． 【详解】a、，恒成立，所以，①恒成立； ，所以，②恒成立； 时，，，③④不恒成立． 故答案为：2． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解； 【分析】（1），利用基本不等式即可证明. （2），利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）， 当且仅当时，即时，等号成立. （2）， 当且仅当时取等号，此时， 显然的值不存在，所以等号不成立， 所以. 【经典例题三 】基本不等式的内容及辨析 【例3】（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 1．（21-22高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）两类平均数：一般地，对于给定的实数，称为的 ，当时， 称为的几何平均数. 【答案】 算术平均数 【解析】略 3．（20-21高一·江苏·课后作业）甲、乙两同学分别解“设，求函数的最小值”的过程如下： 甲：，又，所以. 从而，即y的最小值是. 乙：因为在区间上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是. 试判断谁错，错在何处？ 【答案】甲错乙对，理由见解析. 【分析】由基本不等式成立的条件可得甲的解法是错误的，由单调性的知识可得乙的解法是正确的. 【详解】对于甲，，等号成立的条件是，即， 又 是在时取到，所以等号不能同时成立， 所以时，利用基本不等式得是错误的，故甲的解法是错误的； 对于乙，在区间上单调递增，所以当时，，故乙的解法是正确的. 【经典例题四 】基本不特式求积的最大值 【例4】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 1．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若正数，，满足，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的最小值后可得结论． 【详解】由题意，所以，当且仅当时等号成立， ，即的最小值是. 故答案为：． 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； （2）， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【经典例题五 】基本不特式求和的最小值 【例5】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【答案】B 【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为： 3．（2023高一·江苏·专题练习）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？ 【答案】80 【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式，然后基本不等式求得最小值，得出结论， 【详解】因为每批生产件， 由题意平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 可得，当且仅当，即时等号成立． 所以当每批生产产品80件时，费用之和最小. 【经典例题六 】二次与二次(或一次)的商式的最值 【例6】（21-22高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 1．（20-21高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 2．（2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 3．（2022高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 【经典例题七 】条件等式求最值 【例7】（23-24高一上·江苏连云港·期末）在中，，且，则的面积的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，进而求得的面积的最小值. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，解得， 所以的面积的最小值为. 故选：C. 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知正实数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用已知消元，结合二次函数性质可解； （2）展开后使用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由，为正实数，所以，解得， 则， 当时，有最大值，最大值为. （2）因为，所以， 则 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【经典例题八 】基本不特式的恒成立问题 【例8】（23-24高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 1．（2021高一上·江苏·专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值． 【详解】解：根据  ，当且仅当时，取等号， 化简可得， 因为，所以，， 所以运用， 可得，当且仅当，即时，取等号， 又因为恒成立， 所以， 即k的最大值是4． 故选：B． 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【分析】利用基本不等式求得的最小值，结合不等式恒成立，即可求得. 【详解】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 3．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可； （2）问题转化为解不等式，结合已知等式，利用基本不等式求出，然后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，， 所以有，当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以xy的最大值为； （2）因为，所以，而， 所以有： ， 即，当且仅当时，取等号，即且时，取等号， 因此，要想不等式恒成立， 只需成立，即，解得. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 【经典例题九 】对勾函数求最值 【例9】（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 1．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知，函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 2．（21-22高一上·天津西青·期中）若函数（）在= 时取得最小值，则最小值为 【答案】 3 5 【分析】利用基本不等式求分式型函数的最小值，注意等号成立条件，即可知函数值最小时对应自变量x的值. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴时，函数最小值为. 故答案为：，. 3．（20-21高一·全国·课后作业）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）已知，则的最大值为？ （3）函数 的最小值为？ 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； （2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件； （3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，取等号. 故所求的值为. （2）因为，所以， 则. 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3） . 当且仅当，即时，取等号. 故函数的最小值为. 【经典例题十 】基本(均值)不等式的应用 【例10】（20-21高二上·江苏苏州·期中）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设）， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡的原理，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以顾客所得的黄金不小于20克. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据已知结合半圆的面积公式得出，即可根据勾股定理得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】设，，， 以斜边为直径的半圆弧长为， 则，即， 为直角三角形， ，即， 则， 即，当且仅当时，等号成立， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面的造价为1800元，房屋侧面的造价为1200元，屋顶的造价为7800元，如果墙高，且不计房屋背面的费用，问：怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当长为，宽为时，最低总造价是元. 【分析】设底面的长为，宽，表示出房屋总造价为，利用基本不等式即可得出． 【详解】设底面的长为，宽，则， 设房屋总造价为，由题意可得： ， 由，且. 当且仅当，即，此时造价最低为. 综上：当长为，宽为时，最低总造价是元. 【经典例题十一 】容积的最值问题 【例11】（2018高二·全国·专题练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 【答案】B 【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴， 即， 解得， ∴． ∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立． ∴车厢容积的最大值为．选B． 1． （23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为（       ）元． A．63400 B．43400 C．23000 D．53000 【答案】A 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：.选A. 2．（20-21高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 3．（21-22高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【经典例题十二 】基本不等式“1”的妙用求最值 【例12】（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 1．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）在的展开式中，含的项的系数为，则的最小值为（   ） A．13 B．25 C．30 D．36 【答案】B 【分析】先求出，进而可求得含的项的系数，从而可得的关系，再根据基本不等式求解即可. 【详解】，， 则含的项的系数为， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（21-22高一上·全国·阶段练习）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【详解】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【详解】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 3．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】 先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度. 【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.    由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形. 所以，健身广场的面积. 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有： ，第一个不等号使用了基本不等式. 等号成立当且仅当且，即且. 由于时，故等号成立当且仅当. 以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当. 由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为. 最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确. 故选：D. 4．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将不等式化为，再由基本不等式可得，由绝对值的定义去绝对值即可得出答案. 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 当时，； 当时，， 所以的值可能是. 故选：A. 5．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列函数中最大值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及其成立的条件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，， 当且仅当，即或取等号， 所以在或取最小值为1，无最大值，故A不符合题意； 对于B，， 则 ， 当且仅当，即取等号， 所以的最大值为1，故B符合题意； 对于C，，则， 当且仅当即取等号，但， 所以的值域为，故C不符合题意； 对于D，， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最大值为1，故D符合题意. 故选：BD 7．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若，，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】选项A，可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值；选项B，可使用“1”的代换，从而构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解；选项C，首先先将扩大，然后再让式子乘以两个分式分母组成的和，构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解，选项D，可直接求解出该式子的最小值，从而完成判断求解. 【详解】选项A，因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项B，因为，， 当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确； 选项C，， 当且仅当，即时等号成立， 故该选项正确； 选项D，，当且仅当， 即时等号成立，故该选项正确； 故选：ACD. 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 【答案】ABD 【分析】由梯形与梯形相似，求得，可判定A正确；由，结合和，求得，可判定B正确；由基本不等式得到，可判定C不正确；设梯形的面积分别为，结合，求得，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由题梯形的中位线的性质，可得， 因为梯形与梯形相似，所以，可得， 当，可得，所以A正确； 对于B中，因为，所以， 所以，可得， 又由，可得， 可得，所以，所以B正确； 对于C中，由基本不等式知，，且时， 可得，又由，所以，所以C不正确； 设梯形的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 根据题意知，解得，所以D正确. 10．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知均为正数，且满足，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，结合基本不等式即可判断A；由已知可得，，结合基本不等式即可判断B；利用已知不等式进行放缩可求得的范围，由此判断C；将已知不等式变形后可得，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 因为，所以， 故， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，故B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题关键是能够将已知不等式进行合适的等价变形，结合放缩法和基本不等式来进行判断. 11．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【答案】 【分析】根据基本不等式相关知识并利用作差法逐个比较大小即可. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 综上所述，，当且仅当时等号成立. 故答案为： 12．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可. 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知a，b，c均为正数，且， 故， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是， 故答案为： 15．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】设， 则由题意可得， 因为，所以 ①当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； ②当时，，只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号. 综上所述，的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件. 16．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明. 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 17．（17-18高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】（1）由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 18．（23-24高一上·江苏苏州·期中）若正数满足． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可； （2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 则的最小值为； （2）当时，有，则 因为 所以， 即，解得或（舍） 当时，即时，等号成立 所以． 19．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式乘“1”法即可求解， （2）根据作差法即可求解. 【详解】（1）证明：由于，都是正数， ， 当且仅当时等号成立.所以. （2）证明： . 因为，，所以，，所以成立. 20．（22-23高三上·江苏淮安·期中）（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值 【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 的转换思想解决即可. 【详解】解： 当且仅当时取“=” 所以当函数最小值为 （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，，构造求出，， 因为，所以， 所以M= 取等号时，解的，，即 所以时，取得最小值 学科网（北京）股份有限公司 $$