专题01 不等式的基本性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 不等式的基本性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由己知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 】由己知条件判断所给不等式是否正确 【例1】1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）不等式的性质 （1）如果，那么，该性质称为 ； （2）如果，那么 ，该性质称为 ； （3）如果，则，反之也成立，该性质称为 ； （4）如果，则 ；如果，则 ； （5）如果，则 ； （6）如果，则 ； （7）如果，，则 ． 3．（20-21高一·江苏·课后作业）回答下列问题，并说明理由. （1）由，能否得到？ （2）由，，能否得到？ （3）由，，能否得到？ 【经典例题二 】由不等式的性质比较数(式)大小 【例2】3．（11-12高一下·重庆·期中）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·河北保定·期末）已知，，，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知，，试比较与的大小. 【经典例题三 】作差法比较代数式的大小 【例3】5．（17-18高一下·青海西宁·期末）设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 1．（22-23高一上·湖北十堰·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 3．（2010高三·江苏南通·专题练习）设，试比较与的大小. 【经典例题四 】作商法比较代数式的大小 【例4】（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【经典例题五 】由不等式的性质证明不等式 【例5】（15-16高一下·湖南衡阳·期末）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（19-20高一上·北京·期中）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A元，1枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（20-21高一上·安徽亳州·阶段练习）设，，则，的大小关系为 . 3．（2023高一上·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【经典例题六 】利用不等式求值或取值范围 【例6】（18-19高一下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（19-20高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 1．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 1．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2021高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 5．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（   ） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 12．（21-22高一下·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 13．（21-22高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 14．（21-22高三下·上海宝山·阶段练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 15．（20-21高三上·北京通州·期末）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 . 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 17．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 18．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 19．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 20．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式的基本性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由己知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 】由己知条件判断所给不等式是否正确 【例1】1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 1．（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判定选项即可. 【详解】若，故A错误； 若，故B错误； 若，故C错误； 显然，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏·课后作业）不等式的性质 （1）如果，那么，该性质称为 ； （2）如果，那么 ，该性质称为 ； （3）如果，则，反之也成立，该性质称为 ； （4）如果，则 ；如果，则 ； （5）如果，则 ； （6）如果，则 ； （7）如果，，则 ． 【答案】 对称性 > 传递性 可加性 > < . 3．（20-21高一·江苏·课后作业）回答下列问题，并说明理由. （1）由，能否得到？ （2）由，，能否得到？ （3）由，，能否得到？ 【答案】（1）不能；（2）不能；（3）不能. 【分析】（1）举出反例即可得出结论； （2）举出反例即可得出结论； （3）举出反例即可得出结论. 【详解】解：（1）不能， 当时，，所以由，不能得到； （2）不能，当时，， 所以由，，不能得到； （3）不能，当时，， 所以由，，不能得到. 【经典例题二 】由不等式的性质比较数(式)大小 【例2】3．（11-12高一下·重庆·期中）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C即可得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于D，取，则，故D错误； 对于C，因为，则， 又，所以，故C正确. 故选：C. 1．（20-21高一上·河北保定·期末）已知，，，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】D 【分析】举反例否定选项AB；求得的正负判断选项C；求得的大小关系判断选项D. 【详解】由，，可得，则选项A判断错误； 由，，可得，则选项B判断错误； ，又，则.则选项C判断错误； 由，可得，又， 则，则.则选项D判断正确. 故选：D 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【答案】，，(答案不唯一) 【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可. 【详解】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知，，试比较与的大小. 【答案】答案见详解. 【分析】讨论的符号，根据不等式的性质即可证明. 【详解】由，， 当时，则， 当时，则， 当时，则. 【经典例题三 】作差法比较代数式的大小 【例3】5．（17-18高一下·青海西宁·期末）设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 1．（22-23高一上·湖北十堰·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差法比较出，，从而得到. 【详解】，故， ，故， 综上： 故选：A 2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若且，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合作差法，即可求解． 【详解】由题意， 且， ， 则． 故答案为：． 3．（2010高三·江苏南通·专题练习）设，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法，即可比较两式的大小. 【详解】, 因为,所以, 所以，所以. 【经典例题四 】作商法比较代数式的大小 【例4】（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【详解】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型. 1．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 2．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 3．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【经典例题五 】由不等式的性质证明不等式 【例5】（15-16高一下·湖南衡阳·期末）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】（1）若以①②为条件，③为结论. 则，因为，即， 故，即；则此时可以组成真命题； （2）若以①③为条件，②为结论. 则由，即，结合，故可得. 则此时可以组成真命题； （3）若以②③为条件，①为结论. 则由，即，结合，即可得. 则此时可以组成真命题. 故可以组成正确命题的个数是：. 故选：. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题. 1．（19-20高一上·北京·期中）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A元，1枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题先根据题意建立不等式组，再解不等式组判断A，B的大小关系即可. 【详解】解：由题意：，解得，则 故选：A 【点睛】本题考查不等关系的大小比较、不等式的性质，是基础题. 2．（20-21高一上·安徽亳州·阶段练习）设，，则，的大小关系为 . 【答案】 【解析】先分别将平方，再进行大小比较即可． 【详解】，两式的两边分别平方， 可得，， 显然. 所以. 故答案为： 【点睛】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题. 3．（2023高一上·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【答案】答案见解析 【分析】共有三种选择方法，通过不等式性质或作差法即可证明. 【详解】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立， 因为，对，两边同除得； 以（1）（2）作为条件，可得（3）成立， ，则，因为，则，则； 以（1）（3）作为条件，可得（2）成立， 因为，，两边同乘则得到 . 【经典例题六 】利用不等式求值或取值范围 【例6】（18-19高一下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围. 【详解】设 ， 则， 所以， 又，， 则， 所以， 故选： 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得. 【详解】由，得，由，得，而， 因此，所以的取值范围为. 故选：B 2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得； （2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，则， 又，故. 又，，故. 综上， （2）令，即， 则，解得. 则，，所以，即. 综上 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（19-20高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 1．（19-20高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【详解】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 1．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解. 【详解】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合必要不充分条件的判定方法求解即可. 【详解】当时，或或，所以“”推不出“”， 但是当时，，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2021高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 5．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（   ） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意列出不等关系，利用不等关系求的范围可得. 【详解】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则， 令，即， 则有，解得， 所以， 即. 故选：A 6．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误； 对于C，因为，所以，故，即，故C错误； 对于D，因为，，，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】CD 【分析】举反例排除AB，利用作差法计算C正确，确定，计算范围得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：取，满足，，错误； 对选项B：取，满足且，，错误； 对选项C：，故，故，正确； 对选项D：，故，， ，故，正确； 故选：CD 10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】选项A取可判断；选项B，C用作差法可判断；选项D先平方，再作差可判断. 【详解】选项A.   当时，不成立，故选项A不正确. 选项B. 由, 所以，故选项B正确. 选项C.   由 所以，故选项C不正确. 选项D.   由，所以，故选项D正确. 故选：BD 11．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设实数满足：，则的最大值是 【答案】22 【分析】首先通过待定系数将表示为，然后根据已知条件求出的范围，根据不等式的性质同向不等式相加即可得解. 【详解】由题意不妨设， 则，解得， 所以， 注意到， 所以，， 所以当且仅当即时，取得最大值22， 综上所述：的最大值是22. 故答案为：22. 12．（21-22高一下·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】将两式分别平方，作差，根据不等式的基本性质，判断符号，得到大小关系. 【详解】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 13．（21-22高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 【答案】②③ 【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可 【详解】①若，当时，则，故①错误； ②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确； ③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确； ④若，当时，则，故④错误； 故答案为：②③ 14．（21-22高三下·上海宝山·阶段练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个． 【答案】2 【分析】由作差法比较大小后判断 【详解】不妨设，， 记为①式，为②式，以此类推， 由，故①>②， ，故②>③， ，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150， 令， 得其一组解为， 故答案为：2 15．（20-21高三上·北京通州·期末）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 . 【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等) 【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①，③， 则， 所以. 故答案为：①③推出⑤ 【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高. 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 因为，，可得， 所以. 17．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 18．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用定义即可判断点是点的“下位点”； （2）易知，利用作差法即可知； （3）根据都为整数，由定义可知需满足和，解不等式即可得，再利用恒成立问题即可得正整数的最小值为. 【详解】（1）根据定义，易知， 是的“下位点” （2）是的“下位点” 易知和都是第一象限内的点，可知，，，均为正数, 故，即 同理可得，即； 综上所述：； （3）由已知得， 因为为整数， 故， 解得， 该式对集合内的每一个的每个正整数都成立， 所以正整数的最小值为. 19．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式； （2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明. 【详解】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以， 20．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和； （2）点是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”，      又均大于，     ，       ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”， 均大于，     ，       ， 即，所以点是点的“上位点”， 同理可得，即， 所以点是点的“下位点”， 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立， 根据上述的结论可知，当，时，满足条件. 故： 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$