精品解析：广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题

2024年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高一数学 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出结果，进而得出复数在复平面内对应的点的坐标. 【详解】,则复数在复平面对应点的坐标为. 故选：A. 2. 在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 女生投篮水平比男生投篮水平高 C. 男女同学投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定 D. 男女同学投篮命中数的极差相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出，，，，然后进行比较即可求得结果. 【详解】由图可知，， ， ， 所以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定， 故选：C. 3. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量投影定义,即可得解. 【详解】因为,向量与向量的夹角为 则在上的投影向量为 故选:D. 【点睛】本题考查了平面向量投影的定义及运算,属于基础题. 4. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C， 则，，且. 因为A，B，C两两互斥， 所以. 故选：C. 5. 设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图， 因为，为的中点， 所以，, 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用及用基底表示向量，考查了运算求解能力，属于基础题. 6. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得. 【详解】设，依题意，，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以雁鸣塔的高度为30米. 故选：A 7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 8. 足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知几何体为正四棱台，根据正四棱台以及球的结构特称求出外接球的半径，进而可得表面积. 【详解】依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 正四棱台高为， 设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，， 圆的半径分别为，显然， 则，即球心在正四棱台外， 于是，解得， 所以的外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当，时，若，则 C. 当，时，，则m，n是异面直线 D. 当，时，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行和垂直关系逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，互相平行两个平面，一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这一个平面，A正确； 对于B，由，，得，而，因此，B正确； 对于C，，，，则m，n可以是平行直线，也可以是异面直线，C错误； 对于D，由，得，又，则成立，D正确. 故选：ABD 10. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（ ） A. 极差为13 B. 中位数为81 C. 平均数为90 D. 方差为25 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算可得. 【详解】这组数据从小到大排列为、、、、、、， 极差为，故A正确； 中位数为，故B错误； 平均数为，故C正确； 方差为，故D错误. 故选：AC 11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为____________ 【答案】109.5 【解析】 【分析】因为，进而可以求解. 【详解】因为，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为， 故答案为：109.5. 13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=____ 【答案】 【解析】 【分析】 利用正弦定理边角互化、余弦定理即可求解. 【详解】根据正弦定理， 可得， 由已知可得，整理可得， 在中. 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题. 14. 已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），然后表示出可求得其最大值 【详解】如图建系，则、、， 则，，设（）， 则（），则，， ∴， ∴， 当时，取最大值． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可. （2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 小问1详解】 由平面向量数量积定义得， 故的值为， 【小问2详解】 设向量与的夹角为 ， 又， ， 故向量与的夹角的余弦值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，. （1）平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）依题意可得，再根据锥体的体积公式求出，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为底面是平行四边形，所以为的中点，又为的中点， 所以，又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 因为为的中点， 所以，所以， 因为平面，，，是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 17. 某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； （2）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率. 【答案】（1）直方图见解析，71（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在的频率，从而可得这800名学生的平均成绩； （2）根据分层抽样确定成绩在内的人数并标记，成绩在内的人数并标记，根据古典概型列举基本事件种数及所求事件种数，即可得概率值. 【小问1详解】 成绩落在的频率为， 补全频率分布直方图如图： 这800名学生的平均成绩约为； 55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）； 【小问2详解】 抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，，，，成绩在内的有（人），分别记为，， 从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，.共有15种. 记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件包含的基本事件有： ，，，，，，，，，共9种， 所以所求概率为. 18. 在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题. 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________. （1）求角A； （2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解. （2）由面积公式得，再用余弦定理得，再由转化计算即可求解. 【小问1详解】 选①得，. 即， 则（舍）或 所以； 选②得， 即 由， 又，所以； 选③.得， 即， 因为，所以 又，所以. 【小问2详解】 由得，， 即， 由余弦定理，. 解得， 由正弦定理，， . 所以的值为. 19. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得. （2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小. （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【小问1详解】 在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心， 平面，而平面，则，又 ， 平面，，于是平面，而 平面， 所以. 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面，而平面，则， 于是是二面角的平面角，令正方形边长为， 则，有，又， 则，， 因此，，所以二面角的大小为. 【小问3详解】 在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由平面，平面，得平面， 由是的中点，得，而平面，平面，得平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点， 于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，. 【点睛】关键点睛：本题是探求过定点的直线与已知平面平行的问题，过定点作与已知平面平行的平面是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试 高一数学 （试卷满分：150分；考试时长：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B 女生投篮水平比男生投篮水平高 C. 男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定 D. 男女同学投篮命中数的极差相同 3. 若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ） A. B. C D. 6. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ） A. 当时，若，则 B 当，时，若，则 C. 当，时，，则m，n是异面直线 D 当，时，若，则 10. 《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（ ） A. 极差为13 B. 中位数为81 C. 平均数为90 D. 方差为25 11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为____________ 13. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=____ 14. 已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，. （1）平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； （2）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率. 18. 在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题. 问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________. （1）求角A； （2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$