精品解析：内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

乌兰浩特一中2023~2024学年下学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5~7节，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 3. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. z的共轭复数为 B. z是纯虚数 C. z的模是5 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知随机事件，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 B. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 C. D. 若，则 11. 如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 的面积与点，的位置无关 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 三棱锥的体积与点，，的位置都有关 D. 三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 13. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是______． 14. 在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司． （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数及众数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ 16. 如图，在三棱锥中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点． （1）若平面，试确定F在CD上的位置，并说明理由； （2）若F为CD的中点，且，平面平面，证明：． 17. 分别从集合和集合中各取一个数． （1）求这两个数之和为7的概率； （2）求这两个数之和为偶数的概率． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设为的中点，，求的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱AD，PC的中点． （1）若， ，求异面直线EF与AB的夹角的大小； （2）若直线PC与平面ABCD所成角的大小为． ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面PAB的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰浩特一中2023~2024学年下学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5~7节，必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数虚部定义可直接得到答案. 【详解】因为复数，所以其虚部为 故选： 2. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：A 3. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可. 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交． 故选：B． 4. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义即可列出等式，从而解出即可. 【详解】在上的投影向量为，所以． 故选：C． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角公式及二倍角的正弦公式计算即得. 【详解】由，，得， 所以. 故选：D 6. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 7. 已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解. 【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, 由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故, 所以, 所以为外接球的半径，故外接球表面积为， 故选：D 8. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与倍角公式即可求解. 【详解】依题意， ∵， ∴， 两边平方可得， ∴， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. z的共轭复数为 B. z是纯虚数 C. z的模是5 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【详解】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 10. 已知随机事件，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立 B. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件与事件的独立性及概率的性质逐一判断即可得解 【详解】对于A，若A和B互斥，则，故A和B不相互独立，故A错误； 对于B，若A和B相互独立，则，所以A和B不互斥，所以B正确； 对于C，若A和B互斥，， 若A和B不互斥，即，，所以，故C正确； 对于D，设样本空间为，，因为，所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 的面积与点，的位置无关 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 三棱锥的体积与点，，的位置都有关 D. 三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据平行、垂直关系分析可知为矩形，即可得的面积，即可得判断正误；对于BCD：根据题意利用转换顶点法求三棱锥的体积，即可得判断正误. 【详解】连接， 对于选项A：因为∥，且，可知为平行四边形， 且平面，平面，则，可知为矩形， 所以的面积， 即的面积为定值，与点，的位置无关，故A正确； 对于选项BCD：因为平面，且平面∥平面， 可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积， 即三棱锥的体积为定值，与点，，的位置均无关，故D正确，BC错误； 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后代入化简即可. 【详解】由题意得， 所以 . 故答案为： 13. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是______． 【答案】90 【解析】 【分析】把已知数据按从小到大排列，再由百分位数的定义求解． 【详解】将数据从小到大排列为55，64，67，76，76，88，90，92， 由于， ∴这组数据的第80百分位数为90． 故答案为：90． 14. 在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的夹角公式求出，然后结合向量的夹角公式得，再利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点为线段上的动点，则， 所以， 所以， 所以， 其中，且为锐角，则， 所以当时，的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司． （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数及众数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ 【答案】（1）中位数为，众数为75． （2）480户． 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式和求众数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数． 【小问1详解】 由图知，， 解得． 评分在的频率为； 评分在的频率为， 故中位数在之间． 设这200户居民本次问卷评分的中位数为x， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为，众数为． 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， ∴估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户． 16. 如图，在三棱锥中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点． （1）若平面，试确定F在CD上的位置，并说明理由； （2）若F为CD的中点，且，平面平面，证明：． 【答案】（1） F是CD的中点，理由如下：若平面， 由平面，平面平面，得． 又是的中点，在上，所以是的中点． （2） 如图所示， 由，为中点，则， 平面平面，且平面平面， 平面，则有平面，又平面，所以． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质，证得，又是的中点，得是的中点． （2）由已知面面垂直证得平面，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 分别从集合和集合中各取一个数． （1）求这两个数之和为7的概率； （2）求这两个数之和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】用列举法由古典概型概率计算公式可得答案. 【小问1详解】 从集合和中各取一个数，该试验的样本空间． 设A=“这两个数之和为7”，则， 故． 【小问2详解】 设B=“两数之和为偶数”，则， 故． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设为的中点，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出的最大值，再由及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 所以 所以， 所以， 因为，则，， 所以或或， 所以或（舍去）或（舍去）， 由，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 所以，解得当且仅当时取等号， 因为为的中点，所以， 所以 ， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱AD，PC的中点． （1）若， ，求异面直线EF与AB的夹角的大小； （2）若直线PC与平面ABCD所成角的大小为． ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面PAB的距离． 【答案】（1）． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接BD，AC，设交点为，由中点得到平行关系，找到所求角解三角形可得， （2）先证平面，证明线面垂直与线线垂直关系找到线面角与二面角的平面角，利用余弦定理求二面角，再利用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 连接BD，AC，记，再连接EO，FO， 如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点， 又E是AD的中点， 所以，所以异面直线EF与AB的夹角， 因为O是AC的中点，F是PC的中点，所以， 且易知， ， 所以， 因为，所以， 即异面直线EF与AB的夹角为． 【小问2详解】 连接PO，在中，，O是BD的中点， 所以，又四边形ABCD是边长为2的菱形，， 所以，，， 又，AC，，所以． 在中，过点P作AC的垂线，垂足为G，又， 所以，又，，AC，， 所以， 所以是直线PC与平面ABCD所成的角，所以， 又，， 所以，，，又， 所以． 取PA的中点M，连接MB，MD， 如图所示，在中，，，，点M是PA的中点， 所以，． 同理可得，， 所以二面角的平面角为． 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为． ②在中，，，， 所以． 由①知的面积． 因为点F是PC的中点， 所以． 设点F到平面PAB的距离为d， 所以， 解得， 即点F到平面PAB的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $