精品解析：甘肃省定西市临洮县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期八年级期末监测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 使函数有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，且，，则线段的长为（ ） A 2 B. C. 4 D. 4. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各数中，与的积为有理数的是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 7. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 邻边相等的四边形是正方形 9. 安定区博物馆2023年暑假决定延时开放，并在中小学生中选拔了六位小讲解员，他们的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，但年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据与原年龄数据相比，不变的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 10. 四个顶点的坐标分别为，，，，若直线经过该对角线的交点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简______． 12. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则的度数为_____． 13. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 105 102 108 108 方差 2.7 2 4.7 2 根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是________． 14. 如图，这是一次函数的图象，则关于的不等式的解集是_____． 15. 若弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是________cm． 16. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长． 20. 已知y是x的一次函数，且当时，，当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小． 21. 如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 22. 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）∠ADC是直角吗？请说明理由． （2）求DF的长． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在一个长为、宽为矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． （1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）若，，，求剩余部分的面积． 24. 英才中学2024年4月举行了航空航天知识竞赛，分A，B两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下： B组20名学生的测试成绩如下：10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8． 两组数据分析表 A组 B组 平均数 7.4 7.5 众数 7 a 中位数 b 7.5 及格人数百分比 c 90% 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）如果B组有600名学生参加测试，估计该组成绩为优秀学生有多少人． 25. 为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． （1）求y与x函数解析式； （2）当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 26. 如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF． （1）求证：2EF=CD； （2）当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． （1）点C的坐标是________； （2）D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期八年级期末监测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 使函数有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，则， 故选：． 2. 为打造“比、学、赶、帮、超”的良好班风和浓厚学风，数学老师购买了包卡通橡皮和本笔记本来表彰表现优秀的学生，卡通橡皮每包元，笔记本每本元，共花元，则和的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意正确列式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 3. 如图，，且，，则线段的长为（ ） A 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理先求出，再求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 4. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，可得，解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 5. 下列各数中，与的积为有理数的是（ ） A B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法及有理数的定义．根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据有理数的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、为无理数，故本选项不符合题意； B、为无理数，故本选项不符合题意； C、为无理数，故本选项不符合题意； D、为有理数，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可得k﹤0，再根据一次函数的图象与性质即可做出选择． 【详解】解：∵正比例函数，且y随x的增大而减少， ∴k﹤0， 在中， ∵2﹥0，k﹤0， ∴直线经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与性质是解答的关键． 7. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 邻边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断和特殊平行四边形的判定，分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是假命题，不符合题意； 、有一个角是直角的四边形不能判定为矩形，原命题是假命题，不合题意； 、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，合题意； 、邻边相等的四边形不能判定为菱形，原命题是假命题，不合题意； 故选：． 9. 安定区博物馆2023年暑假决定延时开放，并在中小学生中选拔了六位小讲解员，他们的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15，但年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据与原年龄数据相比，不变的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位线、众数、平均数和方差定义进行判断即可． 【详解】解：∵六位小讲解员原来的年龄（单位：岁）分别为10，12，12，13，14，15， ∴年龄为15岁的同学因学业不能来讲解，则新得到的年龄数据为10，12，12，13，14， ∴新得到的年龄数据与原年龄数据相比，会改变的是平均数、中位数和方差，不会改变的是众数，仍然为12． 故选：B． 10. 四个顶点的坐标分别为，，，，若直线经过该对角线的交点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，坐标与图形的性质．先求得平行四边形对角线的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵四个顶点的坐标分别为，，，， ，， 平行四边形的中心的坐标是， 直线过点， ， 解得． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟记“”是解题关键．直接利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2024． 12. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据证出，可得，由及可求的度数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 105 102 108 108 方差 2.7 2 4.7 2 根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定．先根据平均分进行判断，然后根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵丙、丁平均分比甲和乙的平均分高，且平均分相同，丁的方差比丙的方差小， ∴成绩好且发挥稳定的是丁同学． 故答案为：丁． 14. 如图，这是一次函数的图象，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象即可求解，解题的关键是掌握用数形结合的方法解题． 【详解】解：由题意可知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 15. 若弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】利用待定系数法求出过（5，12.5）、（20，20）两点的一次函数的解析式为y=0.5x+10，当不挂重物时，即x=0，代入解析式求出对应的函数值即可弹簧的长度． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 把、代入， 得 解得 一次函数的解析式为， 当时，， 即不挂重物时，弹簧的长度是10cm． 故答案为10． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描树实际问题．也考查了待定系数法求函数的解析式． 16. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在边，上，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∵为等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算乘除，再计算加减即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，由，，分别是，，的中点，则，，根据平行四边形的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，，分别是，，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，挂衣架可以近似看成一个等腰三角形，记为．若，，求衣架宽的长． 【答案】衣架宽的长． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过作于点，则，再根据角所对直角边是斜边的一半和等腰三角形的“三线合一”得，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：衣架宽的长． 20. 已知y是x的一次函数，且当时，，当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征； （1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设该一次函数的解析式为， 分别把，；，代入得： ， 解得：， 所以，该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 21. 如图，在中，、、、分别是、、与的平分线，与交于点，与交于点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质．欲证明，只要证明四边形是矩形即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ． ，分别平分，， ． ， 同理：，， ， 四边形是矩形， ． 22. 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）∠ADC是直角吗？请说明理由． （2）求DF的长． 【答案】（1）∠ADC是直角，理由详见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∠ADC是直角，理由如下： ∵DE是△ADC的高， ∴∠AED＝∠CED＝90°， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20， 同理：CD2＝5， ∴AD2+CD2＝25， ∵AC2＝(1+4)2=25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC是直角； （2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC＝5， 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． （1）用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）若，，，求剩余部分的面积． 【答案】（1）纸片剩余部分的面积是； （2）． 【解析】 【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可得到结果； （）把，，的值代入计算即可求解， 此题考查了整式的化简求值，平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：纸片剩余部分的面积是； 【小问2详解】 解：当，，时， ． 24. 英才中学2024年4月举行了航空航天知识竞赛，分A，B两组，各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀，6分及以上为及格）进行整理和分析如下： B组20名学生的测试成绩如下：10，5，7，9，6，8，5，7，9，6，10，8，10，7，6，6，8，8，7，8． 两组数据分析表 A组 B组 平均数 7.4 7.5 众数 7 a 中位数 b 7.5 及格人数百分比 c 90% 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）如果B组有600名学生参加测试，估计该组成绩为优秀的学生有多少人． 【答案】（1）8；； （2）估计该组成绩为优秀的学生约有300人． 【解析】 【分析】本题考查求众数，中位数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的定义求出的值，利用及格人数除以总数求出百分比，得到的值； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：组数据中8出现的次数最多， ∴， 组中第10个和第11个数据为7和8， ∴， ； 故答案为：8；；； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计该组成绩为优秀的学生有300人． 25. 为了迎接母亲节，某商家决定售卖康乃馨和百合花两种花，康乃馨和百合花的进价、售价如表所示： 进价/（元/支） 售价/（元/支） 康乃馨 6 9 百合花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和百合花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于百合花的，设购买康乃馨x支，出售康乃馨和百合花的总利润为y元． （1）求y与x的函数解析式； （2）当x取何值时，商家获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）根据总利润每支康乃馨的利润康乃馨数量每支百合的利润百合的数量列出函数解析式； （2）根据购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求出最值． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：购买康乃馨的数量不少于百合花的数量的， ， 解得， ， 当时，最大，最大值为（元）， 答：当时，商家获得最大利润，最大利润是19000元． 26. 如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF． （1）求证：2EF=CD； （2）当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形ABCD性质得出BF=DF ，根据点E是BC的中点，得出EF是△BCD的中位线即可； （2）先证CD=BC，得出ABCD是菱形，再证ABCD是矩形即可． 【小问1详解】 证明：∵点F是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴BF=DF ， ∵点E是BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴EF//CD，EF=CD，即2EF=CD； 【小问2详解】 证明：当EF⊥BC且2EF=BC时，四边形ABCD是正方形， ∵2EF=CD，2EF=BC， ∴CD=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD菱形， ∵EF⊥BC，EF//CD， ∴CD⊥BC即∠BCD=90度， ∴ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，菱形判定，矩形判定，正方形判定，掌握平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，菱形判定，矩形判定，正方形判是解题关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C是点O关于直线l的对称点． （1）点C的坐标是________； （2）D是线段上的一动点，以为边向右作正方形． ①若D是线段的中点，求点F的坐标； ②连接，若，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点，易得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可得到答案； （2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后证明，再求出和即可； ②连接，，证明，推出，得到，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接、、， ∵直线：交轴于点，交轴于点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 由（1）可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ∵轴，，轴， ∴， ∵， ∴， 在和和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图，连接，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①可知，在中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， 由①得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$