精品解析：吉林省通化市梅河口市2025—2026学年中考全真模拟试卷 数学试卷

吉林省中考全真模拟试卷·数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 比较实数0，，，2的大小，其中最小的实数为（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 3. 如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ） A. 过一点有无数条直线 B. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的表面展开图，六个面上分别写有做、幸、福、追、梦、人，正方体中“做”字对面上的字为（　　） A. 福 B. 人 C. 追 D. 梦 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为个单位，数值用科学记数法可表示为___________． 8. 一元二次方程有实数根，写出一个符合条件的的值_____． 9. 如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为________． 10. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为_________． 11. 阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力动力臂阻力阻力臂）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力与阻力臂的函数图象如图所示，如果他想用动力（）去撬起这块石头，则动力臂至少长___________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值，其中． 13. 为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 14. 如图，一只松鼠要先经过第一道门（随机选择，或），再经过第二道门（随机选择或）出去． （1）求松鼠选择走门的概率． （2）利用树状图或列表法，求松鼠从门出去的概率． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，请用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点A重合）； （3）在图③中，在边上找一点E，连接，使得平分的面积． 16. 如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． （1）求证：； （2）若，，，则的长度为__________． 17. 2025年，中国新能源汽车产销量预计突破1600万辆，连续11年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图： 类型 人数 百分比 纯电 27 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中_____，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为_____度； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源汽车（纯电、混动、氢燃料）的有多少人？ 18. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 20. 动手操作：如图①，矩形纸片中，点M、N分别是、边的中点，连接，沿剪开该纸片得到矩形与矩形，其中，．保持矩形不动，然后将矩形从图①的位置开始绕点M逆时针旋转得到矩形（点N的对应点为）． 推理分析： （1）如图②，当点C与点D重合时，交于点E，交于点F．判断此时四边形的形状，并说明理由； （2）如图③，当点B落在矩形的对角线上时，线段与交于点P．求此时四边形的面积； 深入探究： （3）设矩形在旋转过程中，直线与直线交于点Q，连接、．请直接写出是等边三角形时的值． 21. 如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． （1）线段的长为________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当时，求与之间的函数关系式． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． （3）过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省中考全真模拟试卷·数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 比较实数0，，，2的大小，其中最小的实数为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，“比较实数大小，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此即可求解． 【详解】解：因为， 所以最小的实数为． 故选：C 2. 如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B． 3. 如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ） A. 过一点有无数条直线 B. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断． 【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 如图是一个正方体的表面展开图，六个面上分别写有做、幸、福、追、梦、人，正方体中“做”字对面上的字为（　　） A. 福 B. 人 C. 追 D. 梦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的相对面之间都隔了一个正方形．根据正方体的表面展开图中，相隔一行或一列的两个正方形可能构成相对面，即可判断出结论． 【详解】解：依题意可得：“做”字对面上的字为“人”，“幸”字对面上的字为“追”，“福”字对面上的字为“梦”， 故选B． 6. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 2025年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参数的强度值为个单位，数值用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 8. 一元二次方程有实数根，写出一个符合条件的的值_____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有实数根，则． 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式，且二次项系数求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 ∴且， ∴可取， 故答案为：1（答案不唯一）． 9. 如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 10. 如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 11. 阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力动力臂阻力阻力臂）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力与阻力臂的函数图象如图所示，如果他想用动力（）去撬起这块石头，则动力臂至少长___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据图象，得，再根据“杠杆原理”，得，根据反比例函数的性质，代入求解即可． 【详解】解：由图象可得，阻力与阻力臂的关系符合反比例函数， 当时，，此时， 动力动力臂阻力阻力臂， ， ， 当时，取得最小值，此时（）． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，负整数指数幂，锐角三角函数，先对原式进行化简，再计算的值，代入化简后的原式即可解答． 【详解】解： 当时，原式． 13. 为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班胜场数是11场，负场数为4场 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该班胜场数是x场，则负场数为场，利用总积分胜场数负场数，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即胜场数），再将其代入中，即可求出负场数． 【详解】解：设该班胜场数是x场，则负场数为场， 根据题意得：， 解得：， ∴（场）． 答：该班胜场数是11场，负场数为4场． 14. 如图，一只松鼠要先经过第一道门（随机选择，或），再经过第二道门（随机选择或）出去． （1）求松鼠选择走门的概率． （2）利用树状图或列表法，求松鼠从门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表法，即可确定所有结果，最后运用概率公式可求解． 本题考查了列表法求概率，掌握基础概念是解题关键． 【小问1详解】 解：由题可知，松鼠经过第一道门时，有三种可能，从走出去的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意列表： 由表格可知，松鼠走出笼子的所有可能线路为6，松鼠经过门出去的结果为3，则松鼠经过门出去的概率为． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，请用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点A重合）； （3）在图③中，在边上找一点E，连接，使得平分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形的判定和性质作，则，，可得是以为腰的等腰直角三角形； （2）根据全等三角形的判定和性质作即可； （3）以为对角线作矩形交于点E，连接即可得答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，或都是满足条件的等腰直角三角形； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为腰的等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图②，即为所作； 根据题意得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图③，以为对角线作矩形交于点E，连接． ∵矩形交于点E， ∴， ∴是中线， ∴平分的面积． 16. 如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F． （1）求证：； （2）若，，，则的长度为__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴， ∴在中，． 17. 2025年，中国新能源汽车产销量预计突破1600万辆，连续11年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图： 类型 人数 百分比 纯电 27 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中_____，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为_____度； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源汽车（纯电、混动、氢燃料）的有多少人？ 【答案】（1）30，将条形统计图补充完整见解析 （2） （3）估计喜欢新能源汽车的约有5400人 【解析】 【分析】（1）先求得样本容量，再根据频数之和等于样本容量，计算所缺失的数据，补图即可； （2）根据圆心角的计算方法解答即可； （3）利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查了样本容量的计算，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取的人数为：， 喜欢混动的人数：（人）， ∴， ∴， 将条形统计图补充完整如图． 【小问2详解】 解：扇形统计图中“氢燃料”类所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计喜欢新能源汽车的约有5400人． 18. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2）一次函数， （3）下午 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数，设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，得， 解得， 上午经过12小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 20. 动手操作：如图①，矩形纸片中，点M、N分别是、边的中点，连接，沿剪开该纸片得到矩形与矩形，其中，．保持矩形不动，然后将矩形从图①的位置开始绕点M逆时针旋转得到矩形（点N的对应点为）． 推理分析： （1）如图②，当点C与点D重合时，交于点E，交于点F．判断此时四边形的形状，并说明理由； （2）如图③，当点B落在矩形的对角线上时，线段与交于点P．求此时四边形的面积； 深入探究： （3）设矩形在旋转过程中，直线与直线交于点Q，连接、．请直接写出是等边三角形时的值． 【答案】（1）四边形是菱形．理由如下： ∵四边形和四边形是矩形，且点C、D重合， ，，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形是矩形， ， ，，即， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得四边形是菱形； （2）连接交于点，先证明垂直平分，即，再证明，可得，再利用即可求解； （3）分矩形逆时针旋转和顺时针旋转进行讨论，先证明是等边三角形，在中可求得，可得，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，当矩形逆时针旋转时，过点作， ∵是等边三角形， ∴，， 由题意可知，， ∴在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图，当矩形顺时针旋转时， 同理可得是等边三角形，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 21. 如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． （1）线段的长为________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当时，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线定理求得； （2）根据相似三角形的性质列出的方程进行解答； （3）根据运动分情况讨论，运动过程中正方形与三角形的重叠，和运动到一定时间正方形与三角形的重叠面积保持不变． 【小问1详解】 解：，，， ， 是的中点， ， 故答案为； 【小问2详解】 解：当点在上时，如图： 则，， ， ， ， ，即， 解得； 当点在上时，； 【小问3详解】 解：当点在上时，，则当，即求在上运动时，正方形与重叠部分的面积为和时间的函数关系式． 当正方形还未完全进入到中时，重叠面积为矩形， ，且， ， ， ， ， ， ， 当在上时，如图： 则，且，同理可知， ， ， ， 解得， 故当时，； 当时，正方形与重叠，重叠面积为正方形的面积，故； 综上所述，． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______． （3）过点P作x轴垂线，交直线于点N． ①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值． ②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可； （3）①根据题意得到，先求出直线的解析式，得到点P，点N的坐标，再利用两点间距离公式求出，建立方程求解即可；②过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，分点P在点A左侧和右侧两种情况讨论，求出的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴当时，函数有最小值， 令， 解得：， ∴当或时，函数值为， ∵， ∴当时，； 【小问3详解】 解：①根据题意：， ∵点P在抛物线上，其横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据题意：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）或（舍去） ∴当是以为底边的等腰三角形时，m的值为； ②如图，过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，当点P在点A左侧时， 则， ∵，，， ∴， ∴， 当点重合时，则，即， 解得：（舍去）或， 当点重合时，则， ∴； 如图，当点P在点A右侧时， 同理，当点重合时，则，即， 解得：或（舍去）， 当点重合时，则， ∴； 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及解析式，二次函数与不等式，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与直线交点问题，熟练掌握数形结合的思想，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $