精品解析：四川省江油市太白中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

江油市太白中学高2023级高一下4月月考数学试题卷 出题人：曹林 审题人：周平凡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中，正确的是（ ） A. 零向量只有大小没有方向 B. C. 对任一向量，总是成立的 D. 与线段的长度不相等 2. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，如果，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知函数，则的（ ） A. 最小正周期为，最小值为 B. 最小正周期为，最小值为 C. 最小正周期为，最小值为 D. 最小正周期为，最小值为 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 如图，在中，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 6 D. 12 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列表示中正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是； B. ＝180°； C. 在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2； D. 第二象限角都是钝角； 10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M在直线BC上 B. 若＝＋，则点M是三角形的重心 C. 若，则点M在边BC的中线上 D. 若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 11. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 若方程在上有两个不等实根，则 12. 已知（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 若在处取得最大值，且，则的取值范围为 D. 若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 14. 的值是______. 15. 已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若 且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_______. 16. 已知函数同时满足下述性质：①若对于任意的，恒成立；②，则a的取值范围为______. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，求下列各式的值. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知向量，满足，，． （1）求向量与向量的夹角． （2）求向量在向量方向上的投影向量的模． 19. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，且已知点P的坐标为 （1）求; （2）求函数的最小值. 20. 一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式； （2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？ 21. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 22. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为，． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，若方程在上的根从小到大依次为，，若，试求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油市太白中学高2023级高一下4月月考数学试题卷 出题人：曹林 审题人：周平凡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论中，正确的是（ ） A. 零向量只有大小没有方向 B. C. 对任一向量，总是成立的 D. 与线段的长度不相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 2. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可. 【详解】因为函数的定义域为, 且, 所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD. 又,排除B. 故选:A. 4. 在锐角中，如果，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合三角恒等变换、同角三角函数的平方关系可得，进而可得，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5. 已知函数，则的（ ） A. 最小正周期为，最小值为 B. 最小正周期为，最小值为 C. 最小正周期为，最小值为 D. 最小正周期为，最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值. 【详解】因为， 所以最小正周期为,最小值为. 故选：B. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解. 【详解】由于函数，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度. 故选：A. 7. 如图，在中，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，则，代入化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 所以，所以， ， 因为， 所以. 故选：D. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解析式，根据在上单调递增得可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到 的图象， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以，即， 所以的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列表示中正确的是（ ） A. 与终边相同的角的集合是； B. ＝180°； C. 在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2； D. 第二象限角都是钝角； 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据任意角的相关概念逐项分析判断. 【详解】对A：与终边相同的角的集合是，A正确； 对B：＝180°，B正确； 对C：在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确； 对D：第二象限角的取值范围为，不一定为钝角，D错误. 故选：ABC. 10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点M在直线BC上 B. 若＝＋，则点M是三角形的重心 C. 若，则点M在边BC的中线上 D. 若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，从而得到三点共线，即可判断A正确，对选项B，设为的中点，根据条件得到，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到在的平分线上，即可判断C错误，对选项D，设，根据题意得到三点共线，即可判断D正确. 【详解】对选项A，，所以，即. 所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上， 故A正确. 对选项B，设为的中点，所以， 所以点是的重心，故B正确. 对选项C，因为，则在的平分线上， 不一定在的中线上，故C错误. 对选项D，因为，且， 所以，且， 设，则，且， 即三点共线. 又因为，所以为的中点，如图所示： 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 若方程在上有两个不等实根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，，再结合余弦函数的性质与图象依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为为偶函数，所以， 因为的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，的最小值为， 所以，的最小正周期为， 所以，即， 所以，，故A选项正确； 当时，，此时函数为单调递减函数，故函数在上单调递减，B选项正确； 当时，，此时不是函数的对称中心，故C选项错误； 当时，，此时函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，当方程在上有两个不等实根时，，即，故D选项正确. 故选：ABD 12. 已知（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 若在处取得最大值，且，则的取值范围为 D. 若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数即可求解最值可判断A；利用函数周期的性质判断B；利用正弦函数最值时的结论得，然后利用正切函数的值域求解m范围，判断C；利用极值点及方程消去m得，然后了解正切函数方程即可判断D. 【详解】，其中， 所以函数的最大值为，故选项A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 根据周期函数的性质知，的最小正周期为，故选项B正确； 由函数在处取得最大值，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，所以，故选项C错误； 由及知，，所以， 即，若，则， 所以，即，无解， 所以关于的方程在无实数根，故选项D正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 14. 的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定三角式，逆用二倍角的正切公式并结合诱导公式、特殊角的三角函数值计算即得. 【详解】， 所以的值是. 故答案为： 15. 已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若 且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，所以 ， 又因为 ， 则， 解得 ， 当时，有，即， 则有，解得，此时与方向相同， 综上所述： 且，实数k的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知函数同时满足下述性质：①若对于任意的，恒成立；②，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，根据题目条件可得相应不等式，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】 , ,, 故当时，， ∵对于任意的，恒成立， ∴，， ，∴， 综上，. 故答案为︰． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，求下列各式的值. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦函数齐次式化简为正切即可得解； （2）利用同角三角函数的基本关系化简求解. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， ∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 18. 已知向量，满足，，． （1）求向量与向量的夹角． （2）求向量在向量方向上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义与性质即可求解； （2）根据向量数量积，向量投影的定义及模的求法即可求解． 【小问1详解】 ， ， ，又，， ， ，又， 向量与向量的夹角为； 【小问2详解】 向量在向量方向上的投影的数量为： ， 所以向量在向量方向上的投影向量的模为：． 19. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，且已知点P的坐标为 （1）求; （2）求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义，结合诱导公式、同角公式求解作答. （2）由（1）求出，换元结合二倍角的正弦转化为二次函数求解作答. 【小问1详解】 由三角函数定义，得 而，则， 由OP⊥OQ，得，即， 于是 所以 【小问2详解】 由得， 则函数 令， 有，即, 令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 20. 一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式； （2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？ 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式； （2）解不等式可得． 【详解】（1）设， 由题意得：，，； 则，当时，，即； 因此，； 因此，，； （2）由题意：，即：； 则：； 又因为， 所以． 21. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值； （3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【答案】（1）26 （2） （3）在处时，取得最小值. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解. 【小问1详解】 ∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段， ∴ ； 【小问2详解】 设， 又， 根据平面向量基本定理解得； 【小问3详解】 设，， ∴， 又， ∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题） 22. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为，． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，若方程在上的根从小到大依次为，，若，试求与的值． 【答案】（1），单调递增区间为 （2）为5，m为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得，从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果； （2）根据题意，先由函数的图像变换得到函数的解析式，然后结合图像求得方程的根，分别得到. 【小问1详解】 函数 因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 所以，其单调递增区间为． 【小问2详解】 将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像， 由方程，即，即， 因为，可得， 设，其中，即， 结合正弦函数的图像，可得方程在区间有5个解，即， 其中，，，， 即，解得； ，解得， 即，解得； ，解得. 所以． 所以为5，m为． 【点睛】本题综合性较强，考查了三角函数的图像变换以及性质，还有三角恒等变换；第二问的关键在于先得到函数的解析式，然后再解方程即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $