精品解析：山东省烟台市海阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末检测 初三数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 2. 生产某种机器零件时，工人师傅要判断一个四边形模具是否为菱形，以下测量方案中正确的是（ ） A. 测量四条边否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否垂直 D. 测量对角线是否互相平分 3. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用下列运算符号代替○，能使算式的运算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点B停止，于点D，的长与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图所示．当时，点P的运动时间为（ ） A. 2秒 B. 5秒 C. 1.8秒或5秒 D. 1.5秒或5秒 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 13. 如图，矩形的对角线交于点O，交于点E，，垂足为点F，则的值为________． 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x方程的两个根，则k的值为_______． 15. 如图，在三角形纸片中，，，将沿直线折叠，折叠的部分交边于点F，G，且，则的长为________． 16. 如图，在正方形中，点是边上，且，连接，于点G交于点F，若四边形的面积为16，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． （1）在图中画出点P，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标． 18. 【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 （1）化简：； （2）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 19. 如图，在四边形中，，与交于点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 20. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 如图，四边形是一个风筝的框架示意图，G为的中点，四边形为菱形，． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． （1）每次倒出溶液多少升？ （2）若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 23 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 24. 如图，在四边形中，点P在直线上，连接，过点P分别作的垂线，交直线于点E，F． 【类比探究】 （1）如图①，四边形为正方形，P在对角线上，判断线段的数量关系并给出证明； （2）如图②，四边形为矩形，，点P在对角线上，判断线段的数量关系并给出证明； （3）如图③，在（2）的条件下，当点P在延长线上时，请直接写出线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末检测 初三数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去． 【详解】解：把x=0代入方程得： |a|-1=0， ∴a=±1， ∵a-1≠0， ∴a=-1． 故选：A． 2. 生产某种机器零件时，工人师傅要判断一个四边形模具是否为菱形，以下测量方案中正确的是（ ） A. 测量四条边是否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否垂直 D. 测量对角线是否互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定．根据菱形的判定定理，即可求解． 【详解】解：A、测量四条边是否相等，可得到该四边形是菱形，故本选项符合题意； B、测量一组邻边是否相等，不能得到该四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、测量对角线是否垂直，不能得到该四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、测量对角线是否互相平分，不能得到该四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行适当变形，即可得出答案． 【详解】解：， ， A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，由原式可知，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 用下列运算符号代替○，能使算式的运算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴使算式的运算结果最小的是， 故选：B． 5. 如图，与位似，位似中心是点O，若，则与面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，进而得出，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解∶∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的面积比是， 故选∶C． 6. 若m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解得到，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 8. 如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段以及相似三角形的判定和性质，利用三角形面积公式求出和的面积，最后用矩形面积减去两个三角形的面积，即得阴影部分的面积． 【详解】过点作于，延长交于 ，如图 四边形是矩形 ， ，， 故选：B． 9. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意中的等量关系可得：， 故选B． 10. 如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点B停止，于点D，的长与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图所示．当时，点P的运动时间为（ ） A. 2秒 B. 5秒 C. 1.8秒或5秒 D. 1.5秒或5秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、勾股定理，由点P运动到点C处时，取得最大值，对应图象当时，y取得最大值，此时求得，同理可得，利用勾股定理求得，过点D作于点E，利用面积法求得，即，再利用待定系数法求出线段、的解析式，分别令求解即可． 【详解】解：由图2可得，当时，y取得最大值，即点P运动3秒后，取得最大值，对应图1可得，当点P运动到点C处时，取得最大值， ∵点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动， ∴， 同理，当时，，即， ∴， 在中，， 如图，过点D作于点E， 由得，， ∴， 设线段的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴线段的解析式为， 令得，， 解得， 设线段的解析式为， 将点、代入得，， 解得， ∴线段的解析式为， 令得，， 解得， 综上所述，当的长为时，点P运动的时间为1.5秒或5秒， 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键． 利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式， , ． 故答案为：1． 12. 数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故答案为： 13. 如图，矩形的对角线交于点O，交于点E，，垂足为点F，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，可得到的值． 【详解】解：， 矩形的面积为48， ∵对角线交于点O， 的面积为12， ， ，即 ， 故答案为： 14. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 【答案】3或4． 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可． 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴x=3是方程的根， ∴， ∴k=3, ∴， ∴x=3或x=1， ∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴， ∴k=4, ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在， 综上所述，k=3或k=4， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键． 15. 如图，在三角形纸片中，，，将沿直线折叠，折叠的部分交边于点F，G，且，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．根据相似的性质证明即可． 【详解】解：根据题意，， ，，， ， ， ， 点是的中点， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点是边上，且，连接，于点G交于点F，若四边形的面积为16，则的面积为________． 【答案】25 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，再证，然后由证明，则，设，，则，，，由勾股定理得，再证，根据相似三角形的性质列式计算，即可得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， 设，，则，，， 由勾股定理得， ，， ， ，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则的面积为， 故答案为：25． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． （1）在图中画出点P，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析，点P的坐标为． （2）见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）连接与，交点即为点P； （2）根据相似比画出图形即可得到答案． 【小问1详解】 解：点P的位置如图所示． 点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示． 点的坐标为． ． 18. 【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 （1）化简：； （2）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）按照题目中的过程进行计算即可； （2）①根据黄金矩形的定义，并结合进行计算即可； ②根据正方形的性质求得，再计算的值，即可求证． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，， ； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查分母有理化、矩形的性质、正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，，与交于点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）证明可得，进而由即可求证； （）设，则，，由（）得，可得，再根据相似三角形性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，由得，，， 由（）得，，即， 解得或（不合，舍去）， ∵， ∴． 20. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式： （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，即可得出m的值． 【小问1详解】 解：这里，． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，同号． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． ∴． 解得：． 所以，m的值为． 21. 如图，四边形是一个风筝的框架示意图，G为的中点，四边形为菱形，． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟记菱形的判定，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由四边形是菱形，可得，再由菱形为轴对称图形，得，由直角三角形的性质可得，再证得，最后可得结论； （2）连接，由四边形是菱形，可得，且经过的中点G，再由勾股定理可得，，由，可得，从而得出，即，最后可得结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴． 由菱形为轴对称图形，得． ∵， ∴． ∵点G为的中点， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴，且经过的中点G． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴，即． ∴，． ∴菱形的面积． 22. 科研人员在实验室进行某种药液的临床试验，他用一个容器盛满了纯药液4升，第一次倒出若干升后，用水加满，充分混合后，第二次又倒出同样体积的溶液，此时容器里溶液中的纯药液还剩下1升． （1）每次倒出溶液多少升？ （2）若用水加满再充分混合，则第三次倒出同样体积的溶液后，溶液中的纯药液还剩多少？ 【答案】（1）每次倒出溶液2升 （2）纯药液还剩0.5升 【解析】 【分析】本题考查是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每次倒出溶液x升．根据两次倒出后容器里溶液中的纯药液还剩下1升建立方程求解即可； （2）由剩下再减去第三次倒出的即可得到答案； 【小问1详解】 解：设每次倒出溶液x升． 由题意，得． 整理得． 解得，． ∵不合题意，故舍去． ∴． 所以，每次倒出溶液2升． 【小问2详解】 解：． 所以，纯药液还剩0.5升． 23. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，还测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键．根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． ． ∴围墙的高度为． 24. 如图，在四边形中，点P在直线上，连接，过点P分别作的垂线，交直线于点E，F． 【类比探究】 （1）如图①，四边形为正方形，P在对角线上，判断线段的数量关系并给出证明； （2）如图②，四边形为矩形，，点P在对角线上，判断线段的数量关系并给出证明； （3）如图③，在（2）的条件下，当点P在延长线上时，请直接写出线段的数量关系． 【答案】（1），理由见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，由“”可证，由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，再由相似三角形的性质可得，再证明，可得，则可得出答案； （3）证明，再由相似三角形的性质可得，再证明，可得，则可得出答案． 【小问1详解】 ，证明如下： 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，证明如下： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$