精品解析：甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高三下学期寒假开学测试数学试题

兰州一中2024届高三年级寒假开学测试试题 数学 命题人：姚小娟 审题人：齐小娟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数z的虚部为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在直线第一象限的图象上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某省2024年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描（满分100分）中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A. 由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分 B. 用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为3000人 C. 若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间内约200人 D. 用样本估计总体，全省考生该项科目分数的第80百分位数为80分 10. 已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ） A. T可能取 B. 在上至少有3个零点 C. 直线可能是曲线的一个对称轴 D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则 11. 若函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f（x）为“t型函数”，下列函数中为“2型函数”的有（ ） A. y＝x﹣x3 B. y＝x+ex C. y＝sinx D. y＝x+cosx 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________． 13. 已知是等比数列，，，则______． 14. 已知数表，，，其中分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．若数表，，且是的生成数表，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 内角、、的对边分别为、、，，且______． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求的面积； （2）若，求． 16. 如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围； （2）若在处有极大值，求当时的值域. 18. 已知以原点为中心的椭圆过点，且与抛物线有相同的焦点． （1）求的标准方程； （2）点在上，过点的切线交于两点，求面积的最大值． 19. 信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X所有取值为，且，定义的信息熵 （1）当时，求的值； （2）当时，若，探究与的关系，并说明理由； （3）若，求此时的信息摘． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2024届高三年级寒假开学测试试题 数学 命题人：姚小娟 审题人：齐小娟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数z的虚部为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算、复数的概念求值即可. 【详解】依题意，，故z的虚部为-5. 故选：A 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，然后再逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 解得或， 所以或， 因为， 所以， 对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，因为或，， 所以，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为或，所以， 因为，所以，所以D错误， 故选：B 3. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先令计算出的值，再令计算出的值，由此可计算出的值. 【详解】令，所以， 令，所以， 所以， 故选：D. 4. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由可排除C，即可得到结果. 【详解】因为，其定义域为，所以， 所以为偶函数，排除选项A，D， 又因为，因为，所以，所以，排除选项C. 故选：B. 5. 已知点在直线第一象限的图象上，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在直线上，再根据常值代换应用基本不等式求最小值即可 【详解】由题意知点在上且，所以, 则, 当且仅当时取最小值. 故选：C. 6. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：B． 7. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求出，然后利用条件概率公式即得. 【详解】由题可得，, 所以. 故选：D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可. 【详解】解：如图，设，因为, 所以， 由双曲线的定义得：， 所以， ，，，， 所以，在中，， 在中， 因为， 所以，即， 所以 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某省2024年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描（满分100分）中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A. 由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分 B. 用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为3000人 C. 若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间内约200人 D. 用样本估计总体，全省考生该项科目分数的第80百分位数为80分 【答案】AB 【解析】 【分析】由样本和总体的关系判断选项A；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC；利用频率分布直方图百位数的算法判断选项D. 【详解】对于A，由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分， 样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余名考生中， 该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A不正确； 对于B，在样本中，分数不低于70分的频率为， 则样本中分数小于70分的频率为，若用样本估计总体， 则全省该项科目分数小于分的考生约为人，故选项B不正确； 对于C，在样本中，成绩低于50分的频率为， 当分数小于40的考生有30人时，其频率为， 则分数在区间内的频率为，用样本估计总体， 则全省考生中分数在区间内约人，故选项C正确； 对于D，因为第七组的频率为，所以用样本估计总体， 全省考生该项科目分数的第80百分位数为80分，故D正确. 故选：AB. 10. 已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ） A. T可能取 B. 在上至少有3个零点 C. 直线可能是曲线的一个对称轴 D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可知，，，即可求出，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假． 【详解】由图可知，，即，而，所以， 又，所以，即，， 所以． 对A，若，则，，显然，无整数解，错误； 对B，由可得，，因为，所以， 故有解，即在上至少有3个零点，正确； 对C，若直线可能是曲线的一个对称轴，则， 即，，又，，所以，，符合，正确； 对D，因为，所以，若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则，，解得：，而，，所以，当时，符合，正确． 故选：BCD． 11. 若函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f（x）为“t型函数”，下列函数中为“2型函数”的有（ ） A. y＝x﹣x3 B. y＝x+ex C. y＝sinx D. y＝x+cosx 【答案】CD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，结合“型函数”的定义，判断是否得到相应的点，即得答案. 【详解】对于A，函数的导数y′＝1﹣3x2，由1﹣3x12+1﹣3x22＝2， 得3x12+3x22＝0，得x1＝x2＝0，故A不是“2型函数”； 对于B，y＝x+ex的导数为y′＝1+ex，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，故B不是“2型函数”； 对于C，y′＝cosx，由cosx1+cosx2＝2，得cosx1＝cosx2＝1，可取x1＝0，x2＝2π，故C是“2型函数”； 对于D，y＝x+cosx的导数为y′＝1﹣sinx，若1﹣sinx1+1﹣sinx2＝2，即sinx1＝﹣sinx2， 此时有无数多个解，故D是“2型函数”． 故CD是“2函数”． 故选：CD． 【点睛】关键点点睛：本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，，, , 故答案为: . 13. 已知是等比数列，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式基本量计算得到公比，从而得到为公比为的等比数列，首项为8，利用求和公式求出答案. 【详解】设的公比为，则，解得：， 故，所以， 故，则为公比为的等比数列，首项为， 所以则 故答案为： 14. 已知数表，，，其中分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．若数表，，且是的生成数表，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据生成数表的定义求出，，，，从而得到即可. 【详解】由题意，得， ， ， ， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 内角、、的对边分别为、、，，且______． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求的面积； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，利用余弦定理可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积； 选②，利用平面向量数量积的定义可得出，后续解题过程同①； （2）设的外接圆半径为，利用正弦定理求出，再利用正弦定理可求得的值. 【小问1详解】 解：若选①，由余弦定理可得，所以，， 所以，，则，且， 所以，，可得， 所以，的面积为； 若选②，由平面向量数量积的定义得， 可得，则，且， 所以，，可得， 所以，的面积为. 【小问2详解】 解：设的外接圆半径为，则， 因为，且，则， 所以，，故. 16. 如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 连接，，是的中点， ， 又底面，底面，， ，平面， 平面，而平面， 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面； （2）依题意可得，则，再根据计算可得. （3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的中点，是的直径，所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 在平面中，过作于，由（1）知，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面， ， 在平面中，过作于，连接，，平面， 所以平面，又平面，从而． 故为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 故二面角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围； （2）若在处有极大值，求当时的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围； （2）根据，，求出或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域. 【小问1详解】 是定义域为的奇函数， ∴，即， 故， ，且. . 当时，，此时在上单调递减， 在上只有1个零点，不合题意. 当时，令，解得， 令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增. 在上有3个零点， 且， 由函数为奇函数，故只需， 即，. 实数的取值范围是. 【小问2详解】 ， 由已知可得，且， 解得或， 当，时，，. 令，即，解得， 易知是的极小值点，与题意不符； 当，时，，. 令，即，解得， 易知是的极大值点，符合题意，故，. ， 在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 在上的值域为. 18. 已知以原点为中心的椭圆过点，且与抛物线有相同的焦点． （1）求的标准方程； （2）点在上，过点的切线交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的焦点、过点可得椭圆的标准方程； （2）设，设切线的方程为，与抛物线方程联立，由得，切线的方程再与椭圆方程联立，由韦达定理求出，求出原点到切线的距离可得，利用换元法，结合二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 易知的焦点为，所以， 又由题意，，所以，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，显然切线的斜率存在， 设切线的方程为，联立， 得关于的方程，则， 得，从而切线方程，联立， 得关于的方程，由韦达定理 ，设， 所以 ， 因为原点到切线的距离， 所以， 令，因为，所以， 则， 令，，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， ， 当时，，由得，则有， 故当时，取最大值． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是求出，求出原点到切线的距离可得，利用换元法，结合二次函数的性质求解. 19. 信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X所有取值为，且，定义的信息熵 （1）当时，求的值； （2）当时，若，探究与的关系，并说明理由； （3）若，求此时的信息摘． 【答案】（1）； （2） 与正相关，理由如下： 当时， ，则， 令，则，其中，所以 则， 所以函数在上单调递增，所以与正相关. （3）； 【解析】 【分析】（1）直接利用公式求解； （2）先求出，再判断单调性即可求解； （3）结合已知条件，利用对数运算法则，化简即可求解. 【小问1详解】 若，则，因此. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 故，而， 于是， 整理得， 令，则， 两式相减得， 因此，， 所以. 【点睛】考查了概率和导数的综合应用，第二问，根据数列定义化简整理得 ，进而得，用错位相减法求数列前项和公式即可化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $