精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度（下）期末质量监测 八年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，1 D. 5，12，23 3. 如图，在平行四边形中，，为垂足．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下表记录了四名同学最近几次一分钟踢毽子选拔赛成绩的平均数与方差． 姓名 甲 乙 丙 丁 平均数 74.25 70 70 65.75 方差 3.07 4.28 2.57 6.78 根据表中数据，要从中选择两名成绩更好且发挥稳定的同学参加正式比赛，应选择（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丁 D. 甲和丙 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 8. 笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点D与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 10. 学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离（千米）与所用时间（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分． 13. 如图，平行四边形ABCD的周长是12cm，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E；则△ABE的周长为______cm． 14. 若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分列在x轴，y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，D为边OB的中点，E是边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，点E的坐标为__________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析（分及分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中，，的值； （2）若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； （3）从中位数角度分析一下七年级和八年级成绩如何？ 18. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 19. 如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE， （1）求证：四边形OCED矩形： （2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 20. 如图，已知一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数表达式； （2）的面积为________． 21. “快乐体验创业，财商助力未来”，为了让学生亲身体验市场经济，了解市场规律，某校举办了“快乐易物”实践活动。八年级某班一共购进商品300件，分成两大类，学习用品类和文娱玩具类，其中学习用品的平均售价为10元/件，文娱玩具的平均售价为15元/件． （1）若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？ （2）若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，每个班的摊位费为150元。设学习用品a件，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出利润最大的采购方案以及最大利润． 22. 以下是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容． 已知：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形。 问题解决】请结合图①写出证明过程． 【应用拓展】 （1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 　 　． （2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝　 　． 23. 如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度（下）期末质量监测 八年级数学试卷 考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，1 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．根据勾股定理的逆定理，将各个选项逐一计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵，∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴6，8，1不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在平行四边形中，，为垂足．如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直定义和平行四边形的性质．求出，根据三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质得出即可． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，二次根式的性质，根据合并同类二次根式法则，以及二次根式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，不能合并，选项错误； C、，不能合并，选项错误； D、，正确； 故选：D． 5. 下表记录了四名同学最近几次一分钟踢毽子选拔赛成绩的平均数与方差． 姓名 甲 乙 丙 丁 平均数 74.25 70 70 65.75 方差 3.07 4.28 2.57 6.78 根据表中数据，要从中选择两名成绩更好且发挥稳定的同学参加正式比赛，应选择（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丁 D. 甲和丙 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：由表知，甲、乙、丙成绩的平均数高，其中甲、丙成绩的方差小， 所以甲、丙成绩更好且发挥稳定， 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数及方差的意义． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 7. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定及性质定理．根据正方形、菱形、矩形中对角线的性质，对选项一一分析判断即可． 【详解】解：A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 8. 笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点D与点C被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则C，D之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的性质．由题意可以知为直角三角形，根据勾股定理可以求得，在利用直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半），即可求得． 【详解】解：∵，互相垂直， ∴，为直角三角形， 由勾股定理得， 又∵D为的中点， ∴， 故选：C． 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离（千米）与所用时间（分）之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得：他回家过程中离家的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系有3个阶段；（1）行驶了5分钟，离家的距离减少；（2）因故停留10分钟，离家的距离不变；（3）继续骑了5分钟到家，离家的距离减少； 【详解】解：因为小林家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后离家的距离减少；因故停留10分钟，离家的距离不变；继续骑了5分钟到家，离家的距离减少；所以图象应分为三段，并且最后离家的距离为0． 故选D． 【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 12. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分． 【答案】88 【解析】 【详解】解：∵笔试按60%、面试按40%计算， ∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分）， 故答案为：88． 13. 如图，平行四边形ABCD的周长是12cm，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E；则△ABE的周长为______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，OE⊥BD可说明EO是线段BD的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则BE=DE，再利用线段间的等量关系可证明平行四边形ABCD的周长是△ABE的周长的2倍． 【详解】解：∵▱ABCD中， ∴点O平分BD、AC，即OB=OD， 又OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线， ∴BE=DE， ∴AE+ED=AE+BE， ∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD， ∵▱ABCD的周长=2（AB+AD）=12(cm)． ∴△ABE的周长=6(cm)． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线． 14. 若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是__________． 【答案】m＜ 【解析】 【详解】∵y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限， ∴（2m﹣1）＜0，3﹣2m＞0 ∴解不等式得：m＜，m＜， ∴m的取值范围是m＜． 故答案为m＜. 15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分列在x轴，y轴的正半轴上，OA=2，OB=4，D为边OB的中点，E是边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，点E的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出D的对称点D′连接CD′，将三角形的周长转化为CD′＋CD，根据两点之间线段最短得到CD'的长即为最短距离，求出CD′的解析式，即可求出E点坐标． 【详解】作D关于x轴的对称点D′，连接D′C，连接CD′交x轴于E， △CDE的周长为CD＋DE＋EC＝CD＋D′E＋EC＝CD′＋CD， ∵D为BO中点， ∴BD＝OD＝2， ∵D和D′关于x轴对称， ∴D′（0，−2）， ∴C（2，4）， 设直线CD'的解析式为y＝kx＋b， 把C（2，4），D′（0，−2）分别代入解析式得，， 解得，， 解析式为y＝3x−2， 当y＝0时，x＝， 故E点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题结合坐标系和矩形的性质，考查了轴对称−−−最短路径问题，作出D的对称点，将三角形的周长转化为线段是解题的关键． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简，再计算加减即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算的法则计算即可求解； （3）先计算乘除，再计算加减即可； （4）根据完全平方公式计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析（分及分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 合格率 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中，，的值； （2）若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； （3）从中位数角度分析一下七年级和八年级成绩如何？ 【答案】（1），，； （2）若该校八年级有名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有人； （3）根据中位数的特征可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据中位数，众数的定义求解即可，根据合格率=合格人数÷总人数即可求得； （）根据八年级抽取人数的合格率进行求解即可； （）根据中位数的意义作出判断即可； 本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键． 【小问1详解】 根据八年级的成绩分布可得：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， 故中位数， 根据扇形统计图可得：分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， 故众数是8， 合格人数为：人， 故合格率为：， 故，，； 【小问2详解】 八年级学生成绩合格的人数为：（人）， 答：若该校八年级有名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有人； 【小问3详解】 根据中位数的特征可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩．（答案不唯一） 18. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】（1）9.6米； （2）小明同学应该再放出8米线． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作． 在中，． 由勾股定理，得， 则米． 【小问2详解】 解：风筝沿方向再上升12米后， 此时风筝线的长为米， ∴米． 答：小明同学应该再放出8米线． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE， （1）求证：四边形OCED为矩形： （2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形中，且，易证得四边形是平行四边形，于是得到结论； （2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形是矩形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 且， ， 四边形、四边形都是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，， 为等边三角形 ， 在矩形中，． 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键． 20. 如图，已知一次函数图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数的表达式； （2）的面积为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算． 【小问1详解】 设一次函数表达式为 把，代入得， 解得． 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 把代入， 得， 所以点坐标为， 所以的面积 ． 21. “快乐体验创业，财商助力未来”，为了让学生亲身体验市场经济，了解市场规律，某校举办了“快乐易物”实践活动。八年级某班一共购进商品300件，分成两大类，学习用品类和文娱玩具类，其中学习用品平均售价为10元/件，文娱玩具的平均售价为15元/件． （1）若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？ （2）若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，每个班的摊位费为150元。设学习用品a件，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并求出利润最大的采购方案以及最大利润． 【答案】（1）其中有180件学习用品； （2）w与a之间的函数关系式w= - 4a+2850，利润最大的采购方案是购买165件习用品，购买135件文娱玩具，最大利润时2190元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与a之间的函数关系式，然后根据购进的商品总价不高于1335元，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润最大的采购方案以及最大利润． 【小问1详解】 解：设有x件学习用品，则有文娱玩具( 300-x )件， 由题意可得： 10x+15 ( 300-x ) = 3600， 解得x=180， 答：其中有180件学习用品； 【小问2详解】 解：由题意可得， w= ( 10-4) a+ ( 15-5) ( 300-a ) -150=- 4a+ 2850， w随a的增大而减小， 购进的商品总价不高于1335元， 4a+5 ( 300-a )≤1335， 解得a≥165， 当a=165时，w取得最大值，此时w=2190， 300-a= 135， 答： w与a之间的函数关系式w= - 4a+2850，利润最大的采购方案是购买165件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润时2190元． 【点睛】本题考查一次函数、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 22. 以下是华师版八年级上册数学教材117页的部分内容． 已知：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形。 【问题解决】请结合图①写出证明过程． 【应用拓展】 （1）如图②，矩形纸片ABCD，翻折∠A和∠C，使AB和CD落在对角线BD上，且点A和点C落在同一点O上，折痕分别是BF和DE，若四边形BEDF面积为8，则矩形纸片ABCD的面积为 　 　． （2）如图③，矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8，则EF＝　 　． 【答案】问题解决：见解析（1）12（2） 【解析】 【分析】问题解决：先证明△AOE≌△COF（ASA），得到EO＝FO，可证明四边形AFCE是平行四边形，再由EF⊥AC，可证明四边形AFCE是菱形； （1）根据折叠的性质以及矩形的性质证明四边形BEDF为菱形，根据菱形的性质即可求得结果； （2）过点F作与H，则四边形ABFH为矩形，设则，求出BF的长度即可求得AE的长度，进一步可求得HE的长度，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：问题解决：四边形ABCD是矩形， ∴AE∥FC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO， ∵∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝FO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形； （1）四边形ABCD为矩形， ，即， ， 与OB重合，CD与OD重合， ， ， ， ， 四边形BEDF为平行四边形， 折叠后点A、点C落在同一点O上， ， 平行四边形BEDF为菱形， 与重合，与重合， 菱形BEDF面积为8， ， ， ， 故答案为：12； （2）过点F作与H，则四边形ABFH为矩形， 矩形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合， 则， 设则， 在中，， 即， 解得：，即,则， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 则有， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，熟知以上图形性质与判定定理是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）总成立，证明见解析；（）存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由点是的中点，点是边的中点，则，再证明即可求解； （）在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，同上理证明即可； （）过作交于点，则有，连接，证明，然后根据平行四边形的判定方法即可求证； 本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的判定，掌握正方形的性质，三角形全等判定方法与性质，平行四边形的判定方法，利用辅助线画出准确图形是解题的关键． 【详解】证明：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （）若点在线段上滑动时，总成立，理由： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分正方形的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作交于点，则有，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$