精品解析：云南省昆明市盘龙区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

盘龙区2023-2024学年下学期期末质量监测 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 3. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量校园内被花坛隔开的两点间距离，在外取一点，测得两边中点的距离为，则两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分 11. 一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地．如图，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两地相距 B. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 C. 轮船在乙地停留了 D. 轮船从乙地返回到甲地的平均速度为 12. 如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（ ） A. 3.57 B. 3.6 C. D. 13. 如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（ ） A. 3米 B. 米 C. 4米 D. 5米 15. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与直线平行 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象一定经过点 D. 若点和点在直线上，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 17. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是________． 18. 如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为________． 19. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，，则与间的距离为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．） 20. 计算：． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 22. 某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 23. 2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为________分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是________年级（填“七”或“八”）； （2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 24. 某校为营造书香校园，计划购进甲，乙两种规格的书柜用于放置新购买的图书．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜3个，共需要资金430元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金260元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少元？ （2）若该校计划购进甲，乙两种书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜数量的3倍，学校应如何购买才能使资金花费最少，最少资金是多少元？ 25. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标． 27. 如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，求的长； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘龙区2023-2024学年下学期期末质量监测 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解题的关键．根据中位数的意义进行排除选项即可． 【详解】解：本次比赛共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛， 成绩不低于中位数即可参加复赛， 只需要知道这83名同学成绩的中位数即可， 故选：D． 5. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量对应，不符合函数的定义，不能表示是的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； 故选：B． 6. 如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； D、∵，， ∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵，D为中点， ∴． 故选：B． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、二次根式的加法、二次根式的除法，根据二次根式的减法、二次根式的加法、二次根式的除法的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量校园内被花坛隔开的两点间距离，在外取一点，测得两边中点的距离为，则两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵两边中点的距离为， ∴为的中位线， ∴， 故选：C． 10. 小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （分）． 故小彩的最终比赛成绩为分． 故答案为：B． 11. 一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地．如图，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两地相距 B. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 C. 轮船在乙地停留了 D. 轮船从乙地返回到甲地的平均速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象逐项分析即可，解题的关键是看懂图象，获取信息． 【详解】A、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意； B、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意； C、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意； D、轮船从乙地到甲地的平均速度为，此选项符合题意； 故选：D． 12. 如图，在数轴上点A所对应的实数是3，过点A作于A，，以O为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点C，则点C对应的实数为（ ） A. 3.57 B. 3.6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意确定，，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】由题意可知，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为点C在正半轴， 所以点C对应的实数为． 故选：C． 13. 如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点， 即，同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于，的方程组的解是． 故选：B． 14. 如图，一竖直的木杆高8米，折断后木杆顶端落在离其底端4米处．折断处离地面的高度是（ ） A. 3米 B. 米 C. 4米 D. 5米 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是米，根据勾股定理即可列出方程进行求解．解题的关键是熟知勾股定理的应用． 【详解】解：设折断处离地面的高度是米， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是3米， 故选：A． 15. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与直线平行 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象一定经过点 D. 若点和点在直线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据的系数大小可判断A选项；根据了一次函数的图象与性质可判断B和D选项，将代入求解即可判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、与中的系数不同， 与不平行，故本选项错误，不符合题意； B、的图象是随的增大而增大的，与轴的交点是，图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、将代入得，即过点，故本选项错误，不符合题意； D、的图象是随的增大而增大的，， ，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 17. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围． 【详解】解：由图象可知时，一次函数的值大于0， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 18. 如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是12，底面圆周长是10，则蚂蚁爬行的最短路径为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，根据题意将圆柱展开，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ∴， ∴， ∴最短路程为13， 故答案为：13． 19. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，，则与间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积进行求解即可． 【详解】解；∵菱形的对角线相交于点，，， ∴，，，， ∴， 设与间的距离为h，即菱形的边上的高为h， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式、二次根式的性质、二次根式的除法进行计算后，进行加减法即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】求出，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 22. 某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ， ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 23. 2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为________分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是________年级（填“七”或“八”）； （2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）9，10，七 （2）1020人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据条形统计图可得七年级等级的人数，从而求得七年级竞赛成绩的中位数，再由扇形统计图可得八年级绝大多数学生的竞赛成绩，最后根据七、八年级竞赛成绩的方差即可得出谁更稳定； （2）根据图表信息可得成绩优秀的学生占比，再乘以对应的学生总数，再相加即可解题． 【小问1详解】 解：由题可知：七年级等级的人数为：（人）， A等级为人，B等级为人，故七年级竞赛成绩的中位数在B等级中， 即， 由扇形图可知：， 八年级绝大多数学生的竞赛成绩为A等级，即分， ， 竞赛成绩更稳定的是七年级， 故答案为：9，10，七； 【小问2详解】 解：由题可得：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生为： （人）， 答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人． 24. 某校为营造书香校园，计划购进甲，乙两种规格的书柜用于放置新购买的图书．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜3个，共需要资金430元；若购买甲种书柜2个，乙种书柜1个，共需资金260元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少元？ （2）若该校计划购进甲，乙两种书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜数量的3倍，学校应如何购买才能使资金花费最少，最少资金是多少元？ 【答案】（1）甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元 （2）购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组和一元一次不等式的解法，关键是一次函数性质的应用． （1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，根据题意列方程组即可； （2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量的3倍得出m的取值范围，所需经费=甲种书柜总费用+乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可． 【小问1详解】 解：设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种书柜单价70元，乙种书柜单价120元； 【小问2详解】 解：设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜个，所需资金为w元， 由题意得：， 解得：， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最小值，（元），则乙：（个）， 答：购买甲书柜6个，乙书柜18个时，花费资金最少，是2580元． 25. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理； （1）根据平行四边形的性质可知，，再证明四边形是平行四边形．然后推出，即可得出结论； （2）利用勾股定理的逆定理推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的几何应用； （1）把点和代入，再进一步求解即可； （2）先求解，，再利用面积公式建立方程求解即可 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得： ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：当，则；当，则； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P在直线上， ∴或， ∴，， ∴或． 27. 如图①，在正方形中，点E是对角线上任意一点（点E不与A，C重合），连接，． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，，求的长； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4或 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证明，从而可得结论； （2）分三种情况讨论：①当时，点E与点C重合，舍去；②当时，③当时，再进一步解答即可； （3）如图，过E作于点M，证明，可得，结合，可得是等边三角形，设，则，，再进一步解答即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，点E与点C重合，舍去； ②当时，， ③当时，由正方形性质可得：， ∴， 即是等腰直角三角形， 设， 在中，由勾股定理可得：， ∴，解得（舍去）； ∴； 综上所述，的长为4或； 【小问3详解】 解：如图，过E作于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $