精品解析：湖北省应城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

应城市（2023−2024）第二学期期末考试八年级数学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. y＝-x B. C. D. y＝x+1 【答案】A 【解析】 【分析】正比例函数的形式是y=kx，其条件条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【详解】解：A、，符合正比例函数的定义；故本选项符合题意； B、，含自变量的代数式不是整式，不符合正比例函数的定义；故本选项不符合题意； C、，自变量的次数是2；故本选项不符合题意； D、，不符合正比例函数的定义；故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 2. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．根据同类二次根式可以合并判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴能与合并的是， 故选：B． 3. 已知在中，，，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴． 故选：C． 4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的判定定理． 【详解】解：A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D．只能得到一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，直线经过第（ ）象限 A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟悉次函数的性质是解答本题的关键． 根据函数解析式的性质可以解答本题． 【详解】解：一次函数解析式是，， 该函数图像经过一、三象限，并且经过点 ∴函数图像经过第一、三、四象限， 故选：C． 6. 一组数据6，6，8，9，11的平均数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，6 C. 9，6 D. 10，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数和众数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，据此求解即可． 【详解】解：平均数为， 6出现的次数最多，即众数是6， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系内，将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可求解，熟知一次函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式是， 故选：． 8. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵D、F是BC、AB的中点， ∴AC=2FD=2×12=24， ∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H， ∴EH=AC=12． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点：三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识较简单． 9. 如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，以为边在第一象限内作正方形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据直线的解析式求出点A、B的坐标，然后过点D作轴于点E，得到，即可得到，，进而解题即可． 【详解】解：过点D作轴于点E， 一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 当时，，解得：，当时，； ∴A、B两点的坐标为，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴， 故D点坐标为， 故选D． 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③错误，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0． 故答案为：x≥-1且x≠0． 【点睛】考点：函数自变量的取值范围． 12. 若函数 +3是一次函数，则m的值为_____________ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案． 【详解】由+3是一次函数，得 ， 解得m=-2， 故答案为-2． 【点睛】此题考查一次函数的定义，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 13. 一组样本数据的方差计算公式为：，则这组数据的样本容量是_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了方差定义，解题的关键是掌握方差的计算公式．根据可得：，即可得出样本容量． 【详解】解：∵， ∴这组数据的样本容量是10． 故答案为：10. 14. 如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 15. 如图1，在矩形中，动点P从A点出发，沿运动，至点D停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则时，对应的x的值是_____________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，函数图象，一次函数的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，当点P运动到点B时，，则，，可求，则，当点P在上，且时，，计算求解即可；当点P在上，，不符合要求，舍去；当点P在上，且时，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当点P运动到点B时，， ∴，， 解得，， ∴， 当点P在上，且时，， 解得，； 当点P在上，，不符合要求，舍去； 当点P在上，且时，， 解得，； 综上所述，当时，对应的x的值是4或， 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差和完全平方公式展开，进行二次根式的乘法计算，最后进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知一次函数的图象经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）已知点，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系_____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据一次函数的增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得， ∴该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 18. 暑假即将到来，“溺水”成为青少年重要安全问题． 为提高学生的“防溺水”安全意识和安全技能，某校组织七、八年级学生进行“防溺水”安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，相应等级对应的得分分别记为分，9分，8分，7分．学校从七、八年级分别抽取名学生的竞赛成绩，整理并绘制成如下统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 七八年级竞赛成绩分析表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b （1）根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级共有人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），图见解析 （2）七年级成绩更好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）由题意知，七年级成绩的中位数为第位数，即，八年级的众数落在A等级，即，七年级C等级的人数为（人），然后补图即可； （2）利用平均数，中位数，方差进行决策即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，七年级成绩的中位数为第位数，即， 八年级的众数落在A等级，即， 七年级C等级的人数为（人）， 补图如下； 【小问2详解】 解：七年级成绩更好，理由如下； ∵七、八年级平均分相同，七年级的中位数大于八年级的中位数，七年级的方差小于八年级的方差， ∴七年级不低于9分人数较多，且七年级成绩较稳定． ∴七年级成绩更好； 【小问3详解】 解：由题意知，（人）， 答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的共有人． 19. 小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米； （2）小明在文具店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过250米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）1800 （2）3 （3）3000 （4）在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内 【解析】 【分析】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； 【小问2详解】 小明书店停留了(分钟)， 故答案为：3； 【小问3详解】 本次上学途中，小明一共行驶了： (米)， 故答案为：3000； 【小问4详解】 当时间在分钟内时，速度为：(米/分)， 当时间在分钟内时，速度为：(米/分)， 当时间在分钟内时，速度为：(米/分)， 15千米/时米/分， ∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 20. 如图，中，于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是即解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质求出，在中，由勾股定理求出 ，证明，则，则，即可求出，利用平行四边形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴：四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 21. 观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律： ________；_________（n为正整数）； （2）计算：； （3）若，则_________． 【答案】（1）； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式运算等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，； （2）由，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：由题意知， ， ∴， 解得，， 故答案为：6． 22. 为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． （1）若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； （2）直接写出，关于x的函数解析式； （3）求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 【答案】（1）680，800 （2）； （3）点A的坐标是，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算 【解析】 【分析】本题考查函数的应用： （1）根据两家商店的优惠方案，即可求解； （2）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店的实际费用与x的函数关系式； （3）根据（1）的结论列方程组，可求出点A的坐标，再由点A的意义并结合图象解答即可． 【小问1详解】 解：甲商店需要元， 乙商店需要元； 故答案为：680；800 【小问2详解】 解：根据题意得：； 当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为； 观察图象得：当时，； 当时，； 当时，； 终上所述，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算． 23. （1）【阅读理解】数学综合实践小组在研究正方形有关的问题时，发现这样一个问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．” 小聪经过研究，认为过点作于点，先证明，再证明，可以得到；小明也有自己的想法，认为延长交的延长线于点，只需要证明，也可以得到． 请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】小聪和小明通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明（如图②）；若不同意，请说明理由． （3）【拓展延伸】由上面的探究发现：只要四边形满足__________，其他条件不变，始终成立． 【答案】（1）见解析（2）同意，证明见解析（3）（或或） 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点，要证明，只要证明是等腰三角形，再证明是的中点就可以证得． （2）同（1），延长交的延长线于点，要证明，只要证明是等腰三角形，再证明是的中点就可以证得； （3）根据（1）（2）可得只要，同（1）方法，即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，延长交的延长线于点． 在正方形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． （2）解：仍然成立．理由如下： 如图2，延长交的延长线于点， 在平行四边形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． （3）如图，延长交的延长线于点， 在四边形中，，， ， 又，， ， ，， ， ． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线于点E． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）求四边形的面积； （3）点P是直线上的动点，直线轴与直线相交于点Q（如图②）． ①线段的长为，求点P的坐标； ②是否存在点P使以D，O，P，Q为顶点的四边形是以为边平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为，点E的坐标是 （2）6 （3）①或；②存在，点P的坐标是或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，平行四边形的性质，二次根式有意义的条件： （1）根据二次根式有意义的条件，可求出k，b的值，即可求解； （2）根据四边形的面积，即可求解； （3）①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据线段的长为，可得到关于m的方程，即可求解；②根据平行四边形的性质，可得，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得到关于n的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标是； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点A的坐标为， 对于，当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，， 四边形的面积 ； 【小问3详解】 解：①设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵线段的长为， ∴， 解得：或2， ∴点P的坐标为或； ②存在， ∵以D，O，P，Q为顶点的四边形是以为边平行四边形， ∴， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 应城市（2023−2024）第二学期期末考试八年级数学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. y＝-x B. C. D. y＝x+1 2. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，，，则长是（ ） A. 4 B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A B. ， C. ， D. 5. 在平面直角坐标系中，直线经过第（ ）象限 A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 6. 一组数据6，6，8，9，11的平均数和众数分别是（ ） A. 6，8 B. 8，6 C. 9，6 D. 10，6 7. 在平面直角坐标系内，将直线向下平移个单位长度后得到的直线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于( ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 8 9. 如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，以为边在第一象限内作正方形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 若函数 +3是一次函数，则m的值为_____________ 13. 一组样本数据的方差计算公式为：，则这组数据的样本容量是_____________． 14. 如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为_____________． 15. 如图1，在矩形中，动点P从A点出发，沿运动，至点D停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则时，对应的x的值是_____________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知一次函数的图象经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）已知点，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系_____________． 18. 暑假即将到来，“溺水”成为青少年重要安全问题． 为提高学生的“防溺水”安全意识和安全技能，某校组织七、八年级学生进行“防溺水”安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，相应等级对应的得分分别记为分，9分，8分，7分．学校从七、八年级分别抽取名学生的竞赛成绩，整理并绘制成如下统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 七八年级竞赛成绩分析表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b （1）根据以上信息可以求出： ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级成绩更好，并说明理由； （3）若该校七、八年级共有人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米； （2）小明在文具店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过250米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 20. 如图，中，于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求的面积． 21. 观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律： ________；_________（n为正整数）； （2）计算：； （3）若，则_________． 22. 为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． （1）若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； （2）直接写出，关于x的函数解析式； （3）求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 23. （1）【阅读理解】数学综合实践小组在研究正方形有关的问题时，发现这样一个问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．” 小聪经过研究，认为过点作于点，先证明，再证明，可以得到；小明也有自己的想法，认为延长交的延长线于点，只需要证明，也可以得到． 请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】小聪和小明通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明（如图②）；若不同意，请说明理由． （3）【拓展延伸】由上面的探究发现：只要四边形满足__________，其他条件不变，始终成立． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线于点E． （1）求直线的解析式及点E的坐标； （2）求四边形面积； （3）点P是直线上的动点，直线轴与直线相交于点Q（如图②）． ①线段的长为，求点P的坐标； ②是否存在点P使以D，O，P，Q为顶点的四边形是以为边平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$