精品解析：陕西省渭南市大荔县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

大荔县2023—2024学年第二学期期末学业水平评估试题（卷） 八年级数学 满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试题分为选择题和非选择题两部分．选择题用2B铅笔将答案涂在答题卡相应的位置；非选择题用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡规定的区域内． 2．答卷时，先将答题卡有关项目填写清楚． 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 3. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数与的图象关于直线轴对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 6. 若二次根式有意义，则实数x的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 7. 小安同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是( ) A. 样本容量是5 B. 众数是4 C. 平均数是4.8 D. 中位数是4.5 8. 声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A. 温度越高，声速越快 B. 当空气温度为20时，声速为342 C. 声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D. 当空气温度为40时，声速为350 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 在球的表面积公式中，常量是______． 10. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 11. 如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为______． 12. 新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 13. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算： 15. 计算：． 16. 因式分解： 17. 尺规作图：如图，在中，，，请用尺规在边BC上求作一点P，连接AP后使得（不写作法，保留作图痕迹） 18. 嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 嘉琪 解：原式 小明 解：原式 嘉琪同学解法的依据是_______，小明同学解法的依据是_______；（填序号） A．乘法分配律； B．乘法交换律； C．分式的基本性质； D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 19. 定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，分别为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． 当为直角边时，若，，求的长． 20. 某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A．；B．；C．；D．，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数分别为94，92，93，91． 八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b 七年级选取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有七年级学生960名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 22. 请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n （1）表格中：______，______． （2）根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． （3）观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 23. 在平面直角坐标系中，点满足． （1）求点A的坐标． （2）如图，将线段沿x轴向右平移6个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标． 24. 实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： （1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 25. 汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服＋景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的1.5倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 26. 在正方形中，点E在边上，点F在线段上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交边于点G，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县2023—2024学年第二学期期末学业水平评估试题（卷） 八年级数学 满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试题分为选择题和非选择题两部分．选择题用2B铅笔将答案涂在答题卡相应的位置；非选择题用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡规定的区域内． 2．答卷时，先将答题卡有关项目填写清楚． 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：、； 、； 、； 、； 由，即 故选：． 2. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 3. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 4. 若一次函数与的图象关于直线轴对称，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设是直线上一点，则点关于直线的对称轴为，据此可得一次函数一定经过点和点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设是直线上一点，则点关于直线的对称轴为， ∵一次函数与的图象关于直线轴对称， ∴一次函数一定经过点和点， ∴， ∴， 故选：A 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 6. 若二次根式有意义，则实数x的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， ∴符合的数值为3， 故选D． 7. 小安同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是( ) A. 样本容量是5 B. 众数是4 C. 平均数是4.8 D. 中位数是4.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差以及平均数、中位数以及众数，根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵方差公式：． ∴∴样本数据是6，5，5，4，3，样本容量是5， ∴众数是5， 平均数是 中位数是 故选：A． 8. 声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ） 温度：/ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 … A. 温度越高，声速越快 B. 当空气温度为20时，声速为342 C. 声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D. 当空气温度为40时，声速为350 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据即可判断A、B选项；利用待定系数法，设v与t之间的函数关系式为，把表中两组对应的数值代入即可求解，从而判断C选项；把代入函数解析式，即可判断D选项． 【详解】A选项：根据表格可得，随着温度t的增大，声速v也随之增大，故A选项正确； B选项：根据表格可得，当时，，即当空气温度为20时，声速为342，故B选项正确； C选项：设声速v与温度t之间的函数关系式为， 由表格可得，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴声速v与温度t之间的函数关系式为． 故C选项正确． D选项：由C选项得到声速v与温度t之间的函数关系式为， 当时， ∴当空气温度为40时，声速为， 故D选项错误． 故选：D 【点睛】本题考查通过表格形式表示函数关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂表格，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 在球的表面积公式中，常量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据常量、变量的定义，可得答案． 【详解】解：在球的表面积公式中，是常量，S、r是变量， 故答案为：． 【点睛】本题考查了常量与变量，常量是在事物的变化中保持不变的量． 10. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，把分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴m最小值为， 故答案为：． 11. 如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点对应的数为； 故答案为：． 12. 新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 13. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠PAE=30° ∴AP=2PE ∵PD=PB ∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小 ∵菱形的边长为4 ∴AB=4，AE=2 ∴DE= ∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先算乘法，然后进行合并解题即可． 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数及二次根式的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 16. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键，本题先提取公因式，分解后再次提取公因式2，从而可得答案． 【详解】解： ； 17. 尺规作图：如图，在中，，，请用尺规在边BC上求作一点P，连接AP后使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及尺规作图； 若，则，作线段的垂直平分线，交于点P，则有，，所以，由此即可解题． 【详解】解：如图，点即为所求． 18. 嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 嘉琪 解：原式 小明 解：原式 嘉琪同学解法的依据是_______，小明同学解法的依据是_______；（填序号） A．乘法分配律； B．乘法交换律； C．分式的基本性质； D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 【答案】①C，A ② 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、实数的运算等知识点， ①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律，本题得以解决； ②选择嘉琪或小明，根据分式的运算法则计算即可； 熟练掌握其运算法则是解答本题的关键． 【详解】①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律， 故选C，A； ②解：嘉琪的解法： ； 小明同学解法： ． 19. 定义：如图，点M，N把线段分割成，，，若以，，分别为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． 当为直角边时，若，，求的长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论. 分两种情况进行讨论：当为最大线段时，当为最大线段时，分别计算即可. 【详解】设则， ①当为最大线段时，根据题意得，即 解得： ②当为最大线段时，根据题意得，即 , 解得： 综上所述，的长为或． 20. 某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A．；B．；C．；D．，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数分别为94，92，93，91． 八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b 七年级选取的学生竞赛成绩条形统计图 八年级选取的学生竞赛成绩扇形统计图 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有七年级学生960名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）, （2）八年级学生对学生对“传承文明”的了解情况更好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义. （1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级组同学的分数，可得中位数和众数； （2）可以对比优秀率； （3）利用样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级成绩排列后中位数是第位、第位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组， ， 观察扇形统计图和八年级组同学的分数可得， 故答案为：， ； 【小问2详解】 七年级竞赛成绩为优秀率 八年级竞赛成绩为优秀率， ∴八年级学生对学生对“传承文明”的了解情况更好； 【小问3详解】 七年级优秀人数为(人)， 答：七年级竞赛成绩为优秀的学生人数人． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4， ∴BC＝5， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22. 请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n （1）表格中：______，______． （2）根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． （3）观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【答案】（1）3，5 （2）见解析 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； 【小问2详解】 解：根据表中数据，描点，连线如图所示： 【小问3详解】 解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示， 当的取值范围是， 故答案为：． 23. 在平面直角坐标系中，点满足． （1）求点A的坐标． （2）如图，将线段沿x轴向右平移6个单位长度后得到线段（点O与点B对应），在线段上取点，当时，求D点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的条件、坐标与图形的变化等知识， （1）根据二次根式的非负性质可得答案； （2）设的坐标为, 由平移可得，然后三角形和平行四边形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 ， ， ， ∴； 【小问2详解】 设的坐标为, 由平移可得, ， ， ， ， ， ∵, ， ， ． 24. 实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： （1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】（1）,理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【小问1详解】 ,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； 【小问2详解】 能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 25. 汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服＋景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件（），销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的1.5倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解题的关键. （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的1.5倍，得出的取值范围，再根据函数的性质求函数的最值. 【小问1详解】 由题意得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵乙的数量不能超过甲的数量的1.5倍， 解得 ， 由（1）知, ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大， 答：当甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元. 26. 在正方形中，点E在边上，点F在线段上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长，交边于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出， 推出， 再由，得， 即可得出结论； （2）易证， 得出， 由四边形内角和为推出， 则， 即可得出答案； （3）延长交延长线于点， 过作于点， 则， 先证，得出，再证得是等边三角形，得出 则由勾股定理求出然后由含角的直角三角形的性质得 易证是等腰直角三角形，求出即可得出答案. 【小问1详解】 证明： ∵四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在四边形中，° ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图， 延长交延长线于点， 过作于点， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得： ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在 中， 由勾股定理得： ， 在 中，， 在 中， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $