精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年高一年级下期期考试题 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：丁岳龙 审题人：黄岳辉 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C D. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D. 若，则与一定相交 4. 样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ） A B. C D. 6. 设、为复数，下列命题一定成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，那么为实数 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差变大 D. 方差变小 10. 为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了100名志愿者进行问卷调查，将这100名志愿者问卷调查的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 估计这100名志愿者问卷调查得分的分位数为85 C. 这100名志愿者问卷调查得分的平均数为75（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） D. 若采用分层随机抽样从得分在，内的志愿者中抽取8人，则抽取的这8名志愿者得分在内的人数为6 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______． 13. 每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为__________. 14. 已知边长为2的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过四点的球的体积为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积. 16. 甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 （1）甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； （2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 17. 如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标. （1）设，求； （2）已知，，求； （3）若，，与的夹角记为，求的余弦值. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）求的“相伴特征向量”； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由； （3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一年级下期期考试题 数学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：丁岳龙 审题人：黄岳辉 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数、虚部的概念即可得解. 【详解】由题意的虚部是1. 故选：A. 2. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算以及数乘运算即可得到结果. 【详解】因为为平行四边形， 则有， ∴. 故选：B. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D. 若，则与一定相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行意义判断A；利用面面平行的意义判断CD；由的位置关系判断D. 【详解】对于A，上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时与相交，A错误； 对于BC，，则没有公共点，由，得与没有公共点， 与是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误； 对于D，，则或与是相交直线，当时，，D错误. 故选：C 4. 样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本中位数为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出实数的取值范围. 【详解】若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为； 若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5. 2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先，再根据百分位数和众数的计算方法即可. 【详解】由题意得，解得， 因为，，则， 则样本数据的75%分位数位于，则，解得， 因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为， 故选：D. 6. 设、为复数，下列命题一定成立是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，那么为实数 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的模判断C，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断D. 详解】设， 对于A：∵， 则 ， 可得，不能得到， 例如，满足，但显然，故A错误. 对于B：若，，则，显然且，故B错误； 对于C：∵，则， 且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误； 对于D：令，则，因为，所以， 所以，则，所以为实数，故D正确； 故选：D 7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案. 【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径， 则，又，则为正三角形， 则有， 向量在向量上的投影向量， 故选：A 8. 欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差变大 D. 方差变小 【答案】ABC 【解析】 【分析】由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B，由方差计算公式即可判断CD． 【详解】对于A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故A正确； 对于B，原数据的平均数为， 去掉后的平均数为，即平均数不变，故B正确； 对于C，则原数据的方差为， 去掉后的方差为， 故，即方差变大，故C正确，D错误． 故选：ABC． 10. 为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了100名志愿者进行问卷调查，将这100名志愿者问卷调查的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 估计这100名志愿者问卷调查得分的分位数为85 C. 这100名志愿者问卷调查得分的平均数为75（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） D. 若采用分层随机抽样从得分在，内的志愿者中抽取8人，则抽取的这8名志愿者得分在内的人数为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用概率和为1，可求判断A；设这100名志愿者问卷调查得分的分位数为，可得，求解可判断B；求得100名志愿者问卷调查得分的平均数可判断C；求得8名志愿者得分在内的人数判断D. 【详解】对于A：由，解得，A正确． 对于B：设这100名志愿者问卷调查得分的分位数为， 则，解得，B正确． 对于C：这100名志愿者问卷调查得分的平均数为，C错误． 对于D：根据频率分布直方图可得抽取的这8名志愿者得分在内的人数为，D正确． 故选：ABD. 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断. 【详解】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积运算律求得，再根据数量积和模长求解夹角即可. 【详解】，即，，解得； 故，又，故. 故答案为：. 13. 每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由古典概型概率公式即可求解. 【详解】由古典概型概率计算公式可知，所求即为. 故答案为：. 14. 已知边长为2的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过四点的球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由给定条件，可得两两垂直，补形成长方体，利用长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再求出球半径及体积. 【详解】正的边长为2，为的中点，则， 依题意，，又，则三棱锥的棱两两垂直， 则以为共点的3条棱的长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 于是该球的直径，即， 所以过四点的球的体积为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）当，时，求边长和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 16. 甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 （1）甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； （2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由对立事件概率公式以及独立乘法、互斥加法公式即可运算求解； （2）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，由独立乘法、互斥加法公式即可求解. 【小问1详解】 设表示甲两轮猜对1个成语的事件，则. 【小问2详解】 设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， . 设“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 所以. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 17. 如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）直线与平面所成角等价于直线与平面所成角，平面得为直线与平面所成角，在计算可得答案. 【小问1详解】 连接与交于点，连接， 由题可知四边形是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为在正方体中，平面平面， 所以直线与平面所成角等价于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以， ，故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标. （1）设，求； （2）已知，，求； （3）若，，与的夹角记为，求的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意计算，再代入向量模的公式，即可求解； （2）由向量的坐标转化为基底表示，再代入数量积公式，即可求解； （3）首先求，和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以， ； 【小问2详解】 ，， 则，， 所以， ； 【小问3详解】 ，， 根据（2）的结果可知，； ； ， 则. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）求的“相伴特征向量”； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由； （3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和余弦展开式化简，再由相伴特征向量的定义求出即可； （2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解； （3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合正切函数的性质计算可得； 【小问1详解】 ， 所以的相伴特征向量为， 【小问2详解】 由为的相伴特征向量知： 所以. 设，因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以. 则，所以（*）， 因为，所以， 所以，又因为， 所以当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立. 所以在图象上存在点，使得. 【小问3详解】 向量的相伴函数为， 当时，， 即，恒成立 所以①当，即时，， 所以， 即，由于， 所以的最小值为，所以； ②当，，不等式化为成立. ③当，时，， 所以， 即，由于， 所以的最大值为，所以. 综上所述，k的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$