精品解析：甘肃省武威市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 8. 为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题（每小题6分，满分18分，每小题给出的选项中有多个选项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．） 9. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 10. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ） A. 游客中，青年人是老年人的2倍多 B. 老年人的满意人数是青年人的2倍 C. 到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D. 到该地旅游的游客满意人数超过一半 11. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 三、填空题（每小题5分，满分15分） 12. 函数的导函数为______． 13. 如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________. 14. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 四、解答题（本题共5小题，满分87分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程．） 15. 如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 16. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 17. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值： （2）求在区间上的最大值. 19. 某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率； （2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， （ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率； （ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，设第4组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以. 故选：D. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，代入坐标计算即得. 【详解】由，可得：，因，则， 即：，解得：. 故选：B. 3. 2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率． 故选：A． 4. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解. 【详解】依题意，故所求人数为. 故选：C. 5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得，即， 故选：C 6. 统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据条件概率公式运算求解. 【详解】记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B， 由题意可知：， 所以. 故选：C. 7. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 8. 为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，满分18分，每小题给出的选项中有多个选项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．） 9. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可． 【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误； 对于B，该班级此次练习数学成绩的方差 ，故B正确； 对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确； 对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确． 故选BCD． 10. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ） A. 游客中，青年人是老年人的2倍多 B. 老年人的满意人数是青年人的2倍 C. 到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D. 到该地旅游的游客满意人数超过一半 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合统计图表逐项分析判断. 【详解】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确； 其中满意的青年人占总人数的， 满意的中年人占总人数的， 满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确； 总满意率为，故D正确. 故选：. 11. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断D. 【详解】对于A，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确； 对于C，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C错误； 对于D，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，满分15分） 12. 函数的导函数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可得出的表达式. 【详解】因为，由复合函数的求导法则可得. 故答案为：. 13. 如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可. 【详解】. 故答案为： 14. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式进行求解 【详解】由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为： 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，满分87分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程．） 15. 如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 因为，且平面， 所以平面.又平面， 所以 又因为正方形,则平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由正方体的性质，先证平面，得，再由证明平面，进而即得； （2）依题意建系，求得相关点坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. . 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的法向量可取为. 由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取， 设二面角的大小为由图可知为钝角， 则，因， 则，即二面角的大小为. 16. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ； 【小问2详解】 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： . 17. 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 80 感染支原体肺炎 40 合计 120 200 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？ （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差． 附：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 0 1 2 3 ，有关. （2）的分布列为：，.【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表，计算卡方值并与临界值比较即可； （2）根据二项分布概率公式写出分布列，再计算其期望和方差即可. 【小问1详解】 （1）列联表，如图所示： 有慢性疾病 没有慢性疾病 合计 未感染支原体肺炎 40 40 80 感染支原体肺炎 80 40 120 合计 120 80 200 假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关. 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为， 由已知得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以,. 18. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值： （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得和是的两个零点，再使用韦达定理即可求出； （2）先判断在和上递增，在上递减，再求极值与区间端点函数值即可. 【小问1详解】 由已知可得和是的两个零点. 所以，，解得，. 经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）的结果知. 则， 由或，由； 所以在和上递增，在上递减， 又因为. 所以在上的最大值是. 19. 某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率； （2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， （ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率； （ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，设第4组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）， （ⅱ） 0 1 2 ． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率． （2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件，第三组应有3人进入面试，由此能求出学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率． 第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】（1）第三组的频率为， 第四组的频率为， 第五组的频率为． （2）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件， 第三组应有3人进入面试，则： （A）． 第四组应有2人进行面试，则随机变量可能的取值为0，1，2， 且，，1，， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $