精品解析：山东省烟台市芝罘区（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，若被开方数是3，则与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质可得4x=3y，然后把每一个选项转化成等积式，即可解答． 【详解】解：∵，∴4x=3y， A、∵， ∴4x+4y=7y， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； B、∵， ∴4x+12=3y+12， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； C、∵， ∴y=4x-4y， ∴4x=5y，故该选项符合题意； D、∵， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减计算，二次根式的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C. 压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D. 三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 5. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C选项无法判定和相似，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 6. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，， ∴, ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．根据已知条件可知，函数在同一象限内随的增大而减小，得，即可求得m的取值范围． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， 且当时，有， ∴， 解得：． 故选：C． 8. 王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m．则A3B3踏板的长度为（　　） A. 0.6m B. 0.65m C. 0.7m D. 0.75m 【答案】A 【解析】 【分析】根据梯形中位线定理和相似三角形的性质解答． 【详解】 因为每相邻两级踏板之间的距离都相等， 所以A4B4为梯形A1A7B7B1的中位线， 根据梯形中位线定理， A4B4= （A1B1+A7B7）= （0.5+0.8）=0.65m． 作A1C∥B1B4， 则DB3=CB4=A1B1=0.5m， A4C=0.65m-0.50m=0.15m， 于是 ， ， 解得A3D=0.10m． A3B3=0.10m+0.50m=0.60m． 故答案为A. 【点睛】本题考查的知识点是梯形中位线定理和相似三角形性质的应用．解题关键是找出相似的三角形． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴于点，，线段的垂直平分线分别交于点，交于点，若双曲线经过、两点，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，线段垂直平分线的性质，两点中点坐标公式，连接，设，则，则可得，，再把代入反比例函数解析式得到，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， ∴， ∵线段的垂直平分线分别交于点， ∴点C是的中点， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，连接，分析下列四个结论：①；②；；．其中正确的结论有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边中点， ， ，故②正确； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形， ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则x应满足的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件（分母不为0），二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义时， ∴， 解得：， 故答案：． 12. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 13. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 已知，，则代数式的值是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 15. 如图，矩形的面积是10，顶点的坐标是，顶点在函数的图象上，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合， 相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理等等，过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，则，由勾股定理可得，根据矩形面积计算公式得到，再证明得到，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E， ∵顶点的坐标是， ∴， ∴， ∵矩形的面积是10， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 16. 如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上．若平分，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等，对应角相等来解决问题，通过相似三角形对应边成比例列方程是解决本题的关键．由翻折得出，，再根据平分，得出，可求证，根据线段比例关系即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 将沿翻折得， ，， 平分， ， ， ， ∴， ， 设，则， ， 解得，， ， 故答案为：． 三、解答题（共9题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）（配方法）； （2）（自选方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把原方程整理得到，再配方解方程即可； （2）先利用平方差公式把原方程变形为，据此解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程整理得， 配方，得． ∴，或． ，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴或， ∴，． 19. 如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均在格点上． （1）请以点为位似中心，在网格图中作出四边形，使四边形与四边形位似，且； （2）填空：线段的长为 ，的面积为 ． 【答案】（1）见解析； （2）；的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用勾股定理求得的长，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求， 【小问2详解】 线段的长； 的面积． 【点睛】本题考查了位似变换（作图），勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是掌握位似变换的性质，正确作出图形． 20. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴，即， 解得； 【小问2详解】 ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴ 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 22. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. （1）写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； （2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键． （1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解； （2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围； 【小问1详解】 路程，甲、乙两地距离为定值， v与t的函数关系为反比例函数， 设v与t的函数关系式为，将代入解析式， 得：，解得：， v与t的函数关系式为， ； 【小问2详解】 若当天10时40分到达乙地，则所用时间， ， 若当天11时到达乙地，则， ， 客车平均速度的范围为． 23. “爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． （1）求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 24. 请阅读下面的研究材料： 如图①，直线与双曲线交于、，与坐标轴交于、，则． 证明：如图，过，作坐标轴的垂线交于点，连接． 易知轴，轴，且， 故． ，即． 又，， ． ，四边形和都是平行四边形， ． 请根据以上阅读，解答下列问题： （1）如图②，直线与双曲线交于、两点，与坐标轴交于、两点．请根据上面方法的理解，求证：； （2）如图②，若一次函数关系式是，且，请用上述研究的结论求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，一次函数与几何综合： （1）过、分别作坐标轴的垂线交于点，连接，由反比例函数的性质可得，则，据此可得，再证明推出，则可证明四边形和都是平行四边形．进而可证明． （2）先推出，再证明，得到．求出，，得到，，则，，进而可得，则． 【小问1详解】 证明：如图，过、分别作坐标轴的垂线交于点，连接， ∴轴，轴，且， ∴， ，即． 又∵， ， ． ， ∴四边形和都是平行四边形． ． 【小问2详解】 解：同（1）过分别作坐标轴的垂线交于点，连接，如图， ，， ∴， ∵， ∴， ． 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ，， ∴， ， ． 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）正方形的边长为 【解析】 【分析】（1）根据手拉手模型证明，即可得到； （2）根据等边对等角得到，，进而证明，则可证明，得到，再证明，即可证明； （3）连接，由正方形的性质得到，，证明，得到，再由正方形的性质得到，则，可得，设，则，由勾股定理得，，解得或（舍去），则正方形的边长为． 【详解】解：（1）∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示，连接， ∵，分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是正方形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与的，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形和相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子不正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ） A. 某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B. 长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C. 压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D. 三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 5. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A. 平分 B. C. D. 6. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m．则A3B3踏板的长度为（　　） A. 0.6m B. 0.65m C. 0.7m D. 0.75m 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴于点，，线段的垂直平分线分别交于点，交于点，若双曲线经过、两点，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 10. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为，连接，分析下列四个结论：①；②；；．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则x应满足的条件为______． 12. 方程的根是______． 13. 如图是一个自制的小孔成像装置，其中箱体的长度是．一只长的蜡烛放在距离箱体的位置，则蜡烛在屏幕上成的像长是______． 14. 已知，，则代数式的值是______． 15. 如图，矩形的面积是10，顶点的坐标是，顶点在函数的图象上，则的值是______． 16. 如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上．若平分，则的长为______． 三、解答题（共9题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2） 18 解方程： （1）（配方法）； （2）（自选方法） 19. 如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均在格点上． （1）请以点为位似中心，在网格图中作出四边形，使四边形与四边形位似，且； （2）填空：线段长为 ，的面积为 ． 20. 如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 22. 一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. （1）写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； （2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 23. “爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． （1）求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 24. 请阅读下面的研究材料： 如图①，直线与双曲线交于、，与坐标轴交于、，则． 证明：如图，过，作坐标轴的垂线交于点，连接． 易知轴，轴，且， 故． ，即． 又，， ． ，四边形和都是平行四边形， ． 请根据以上阅读，解答下列问题： （1）如图②，直线与双曲线交于、两点，与坐标轴交于、两点．请根据上面方法的理解，求证：； （2）如图②，若一次函数关系式是，且，请用上述研究的结论求的值． 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$