专题06 一次函数与二元一次方程（6大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题06 一次函数与二元一次方程 目录 【题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1 【题型二 图象法解二元一次方程组】 2 【题型三 求直线围成的图形面积】 3 【题型四 一次函数与方程 不等式的综合应用】 3 【题型五 与一次函数有关的最值问题】 5 【题型六 绝对值函数与不等式】 5 【题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解】 例题：（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【题型二 图象法解二元一次方程组】 例题：（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【变式训练】 1．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【题型三 求直线围成的图形面积】 例题：（23-24八年级上·广西崇左·期中）在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【题型四 一次函数与方程 不等式的综合应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列说法①；②；③关于x的方程的解是；④关于x的不等式的解集是．正确的结论有（    ） A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 【题型五 与一次函数有关的最值问题】 例题：（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，．    (1)试猜测的形状，并说明理由； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 【题型六 绝对值函数与不等式】 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下表是函数中y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 1 3 … 下列结论：①，；②该函数图象是轴对称图形，关于直线对称；③当时，y随x的增大而增大；④若方程组有且只有一个解，则．其中正确的结论是 ．（填写正确答案的序号） 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 一、单选题 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，一次函数为常数且和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）与轴交点坐标 ，与轴交点坐标 ，与坐标轴围成的三角形的面积 ． 7．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）直线与直线的交点坐标为 ． 8．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 10．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图，直线经过原点，若、、，已知，为线段上一动点．则线段的最小值是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，直线与直线相交于点C，并且与两坐标轴分别交于A，B两点． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标； (2)求的面积． 13．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在直角坐标系中，直线l过和两点，且别与x轴，y轴交于A，B两点． (1)求直线l的函数关系式； (2)若点C在x轴上，且的面积为10．求点C的坐标． 14．（23-24七年级下·山东滨州·期末）【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为___________，由此你得出这个二元一次方程组的解是___________． 【拓展延伸】 已知二元一次方程的图象经过两点和，试求，的值．    15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求一次函数的解析式； (2)求面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数与二元一次方程 目录 【题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1 【题型二 图象法解二元一次方程组】 2 【题型三 求直线围成的图形面积】 4 【题型四 一次函数与方程 不等式的综合应用】 7 【题型五 与一次函数有关的最值问题】 10 【题型六 绝对值函数与不等式】 13 【题型一 两直线的交点与二元一次方程组的解】 例题：（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线在同一坐标系中的图象交于点，那么方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图像的交点可得答案．解题的关键是掌握函数图像经过的点必能满足解析式． 【详解】解：∵直线与直线在同一坐标系中的图像交于点， ∴方程组的解是． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键． 先将点代入，求出，即可确定方程组的解． 【详解】解：将点代入， 得， ， ∴原方程组的解为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 先求出的值，再根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：根据题意，将点代入，得，解得：， ∴直线与直线相交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【题型二 图象法解二元一次方程组】 例题：（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式训练】 1．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【题型三 求直线围成的图形面积】 例题：（23-24八年级上·广西崇左·期中）在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，求三角形的面积，一次函数与二元一次方程组，先求出直线与y轴的交点坐标，再求出两条直线的交点横坐标，即可求出答案． 【详解】当时，， ∴． 将两个函数关系式联立，得， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：B．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得：， ， ∵直线中，当时，， ， 联立方程， 解得， ， ． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 【题型四 一次函数与方程 不等式的综合应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列说法①；②；③关于x的方程的解是；④关于x的不等式的解集是．正确的结论有（    ） A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，运用图象求方程的解，不等式解集，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据图象的性质，经过的象限可判定①②，根据一次函数交点可判定③④，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故②正确； ∵两条直线交于点， ∴关于的方程的解是，故③正确； 根据图象的性质可得，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，直线交x，y轴于点B，C，直线（k为任意实数）与直线交于点A．现有如下结论： ①对于直线在时，； ②直线与x轴所夹锐角总等于； ③，若直线与y轴交点为为等腰直角三角形，的长为2或4； ④关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的． 其中正确的结论序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】利用一次函数的增减性即可判断①；由即可判断②；分两组情况讨论求得的值即可判断③；根据A的横坐标即可判断④． 【详解】解：①∵直线中， ∴随x的增大而增大， 当时，；当时，， ∴，故①错误； ②∵当时，；当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与x轴所夹锐角总等于，故②正确； ③∵时，， ∴， 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； 当时， ∵为等腰直角三角形， ∴； ∴的长为2或4，故③正确； ④由③可知，直线与直线的交点A横坐标为2， ∴关于x，y的二元一次方程组一定有一组解的，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质等，求得A点的坐标是解题的关键． 【题型五 与一次函数有关的最值问题】 例题：（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据动点最值问题的“两点之间线段最短”模型，作直线交直线于点，此时最小，由待定系数法求出直线表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标． 【详解】解：作直线交直线于点，此时最小，最小值为线段，如图所示：    设直线的表达式为， 将点，点代入得到， 解得， 直线表达式为， 联立， 解得， 点的坐标为． 【点睛】本题考查根据动点最值问题求直线交点坐标，涉及待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、求直线交点等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，联立方程组求交点坐标是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，．    (1)试猜测的形状，并说明理由； (2)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)为直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，数量掌握一次函数与二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）将，代入直线，得到函数解析式，得到直线与直线互相垂直，即可证明； （2）求出的坐标，根据对称轴的性质以及两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入直线， 可得， 解得， 直线， 又直线， 直线与直线互相垂直，即， 为直角三角形； （2）解：点A关于y轴对称的点为， 设过点C，的直线为，则，解得， ， 令，则， 当的值最小时，点P的坐标为． 【题型六 绝对值函数与不等式】 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下表是函数中y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 1 3 … 下列结论：①，；②该函数图象是轴对称图形，关于直线对称；③当时，y随x的增大而增大；④若方程组有且只有一个解，则．其中正确的结论是 ．（填写正确答案的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程、一次函数的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①将，分别代入中，即可得出答案； ②由，在，可得出对称轴； ③由表格可判断； ④当函数的图象经过点时，可得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，进而得出答案． 【详解】解：①将，分别代入中， 即 解得：，故①正确； ②∵，在， ∴对称轴 ∴该函数图象是轴对称图形，关于直线对称，故②正确； ③由表格可知，当时，y随x的增大而增大；故③错误； ④由①可知， 当函数的图象经过点时，， 解得：， 此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合， 故当时，函数与函数的图象有且只有一个交点， 即方程组有且只有一个解，故④正确； 故答案为：①②④． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 一、单选题 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，一次函数为常数且和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，求得交点坐标是解题的关键．由求得交点A的横坐标，即可求得关于x的方程的解． 【详解】解：把代入得，， 解得， ∴点A的横坐标为1， ∴关于x的方程的解， 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：C． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．关于的不等式的解集是 C．关于的方程的解是 D．关于，的方程组的解为 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，根据一次函数与方程、不等式的关系求解．掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A：由图象得，，， ∴， ∴，故A不符合题意； B：由图象得：时， ∴关于的不等式的解集是，故B符合题意； C：由图象得：当时，， ∴关于的方程的解是，故C是不符合题意； D：由图象得：关于，的方程组的解为，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）与轴交点坐标 ，与轴交点坐标 ，与坐标轴围成的三角形的面积 ． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．令和可得图象与轴，轴的交点，再由点的坐标可求面积． 【详解】解：令， 则， ∴， ∴直线与轴的交点坐标是 令，则， ∴直线与轴的交点坐标是； ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积． 故答案为：，9． 7．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）直线与直线的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两个一次函数图象的交点问题．根据题意联立方程组，解得，再把代入，即可作答． 【详解】解：依题意， 得出， 解得， 再把代入， ∴， ∴直线与直线的交点坐标为． 故答案为： 8．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点问题，涉及二元一次方程组、直角坐标系和不等式组，熟练掌握一次函数交点求法及坐标系象限特征是解题的关键．先列式求出交点坐标，再利用第四象限点的特征列不等式组，求解即可． 【详解】解：联立得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，直线和相交于点，则关于x,y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由直线和相交于点， 所以关于x,y的方程组的解为, 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图，直线经过原点，若、、，已知，为线段上一动点．则线段的最小值是 ． 【答案】1.25 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，垂线段最短，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高是解题的关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点点，得出，，最后利用三角形的面积求出边的高，即可解决问题． 【详解】解：如图：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，设的边上的高为， ，，． ，，； 设三角形中边上的高为， 由， 得， 解得：， ， 当时，有最小值为， 长度的最小值为1.25， 故答案为：1.25． 三、解答题 11．（23-24八年级下·山东临沂·期末）请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)3， (3)交点坐标为， (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【详解】（1）将，代入 得，， 画图如下： ； （2）当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； （3）当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； （4）如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，直线与直线相交于点C，并且与两坐标轴分别交于A，B两点． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)2 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把分别代入两个函数解析式即可求出点A，B的坐标，再联立函数解析式得到点C的坐标； （2）求出的长度，利用面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：由， 当时，， ∴点A的坐标为． 由， 当时，， ∴点B的坐标为． 由 得 ∴点C的坐标为． （2）由点A，B的坐标知， ∴． 13．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，在直角坐标系中，直线l过和两点，且别与x轴，y轴交于A，B两点． (1)求直线l的函数关系式； (2)若点C在x轴上，且的面积为10．求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标分情况讨论是关键． （1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式； （2）先求出B点坐标，再根据的面积求出的长，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）设直线l的函数关系式为， 把和代入得 解得， 直线l的函数关系式为； （2）设， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴ ∴或 14．（23-24七年级下·山东滨州·期末）【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为___________，由此你得出这个二元一次方程组的解是___________． 【拓展延伸】 已知二元一次方程的图象经过两点和，试求，的值．    【答案】（1）见解析 （2）,    拓展延伸：， 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象. （1）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程和 的左右两边相等，然后过两点画直线即可； （2）观察图象，找出（1）中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； 拓展延伸：把点)和代入方程解方程组可得. 【详解】（1）如图所示:    （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是 , 故答案为: , ； 拓展延伸：把点和代入方程得: ，解得：． 15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）已知一次函数的图象经过点．    (1)求一次函数的解析式； (2)求面积． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解答此题的关键． （1）直接把点，代入一次函数，求出、的值即可； （2）利用割补法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点的坐标分别代入中， 得，解得， 故一次函数的解析式； （2）解：设一次函数的图象与轴交点为，    令，则，解得， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$