专题03 一次函数-【知识大通关】2024-2025学年八年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题03 一次函数 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 一次函数的定义 1、定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.其中，当时，一次函数就称为，形如的函数叫做正比例函数. 2、一次函数与正比例函数的关系： （1）正比例函数是一次函数中的特例，即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. （2）若已知y与x成正比例，则可设函数表达式为；若已知y是x的一次函数，则可设函数表达式. 【注意】1、一次函数的结构特征. （1） ； （2） 自变量x的次数为1； （3） 常数项b可以是任意实数. 2、函数是一次函数 . 知识点2 一次函数的图象 1、 一次函数的图象： 一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线 . 2、一次函数的图象与正比例函数的图象关系： 一次函数的图象可以由直线沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度而得到. 3、一次函数图象画法： （1）两点法：由于两点确定一条直线，所以一般选取直线与两坐标轴的交点，即，. （2）平移法：一次函数的图象，是由直线沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度而得到，反之，直线也可通过平移直线而得到. 4、截距：直线与y轴相交于点，其中b叫做直线在y轴上的截距，简称截距，如图所示： 【注意】1、的大小决定直线的倾斜程度 越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡； 越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 2、截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 3、画一次函数图象，若，通常选取该直线与y轴的交点（横坐标为0的点）和与x轴的交点（纵坐标为0的点），由两点确定一条直线得一次函数的图象. 4、一次函数图象平移的规律： （1）点的坐标平移：“上加下减、左减右加”； （2）直线的平移：“上加下减、左加右减”. 知识点3 一次函数的性质 一次函数的性质和的符号的关系： 【注意】1、由的符号可确定直线所经过的象限；反之由直线所经过的象限可确定的符号； 2、k决定一次函数的增减性，b决定函数图象与y轴的交点． 知识点4 用待定系数法确定一次函数表达式 1、定义： 先设出待求函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 2、 一般步骤： （1） 设：设出含有待定系数的函数表达式； （2） 代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）； （3） 解：解方程（组），求出待定的系数； （4） 回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 【注意】 1、用待定系数法求函数表达式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的表达式； 2、在正比例函数中，只有一个待定系数，只需要一个除（0,0）外的条件即可求出的值；在一次函数中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k和b的值. 知识点5 一次函数与一元一次方程 1、 点一次函数与一元一次方程的关系. 数：函数中，函数值y=0时自变量x的值是方程的解. 形：函数的图象与x轴交点的横坐标是方程的解. 2、 一次函数图象法解一元一次方程的步骤: （1） 转化：将一元一次方程转化为一次函数； （2） 画图象：画出一次函数的图象； （3） 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【注意】1、求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数”题可用“数”解； 2、对于一次函数，已知x的值求y值，或已知y值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点6 一次函数与一元一次不等式 1、一次函数与一元一次不等式或（）（为常数，且）的关系. 数：函数中，函数值时自变量x的取值范围是不等式的解集；函数值时自变量x的取值范围是不等式的解集. 形：函数的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围时不等式的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式的解集. 2、拓展：直线y1=k1x+b1与直线y2=k2 x+b2的交点的横坐标即为方程k1x+b1 = k2 x+b2的解；不等式k1x+b1 > k2 x+b2 （k1x+b1 < k2 x+b2）的解集就是直线y1=k1x+b1在直线y2=k2 x+b2上（或下）方部分对应的x的取值范围. 【注意】利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1、 将不等式转化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式； 2、 画出函数y=ax+b（a≠0）的图象并确定函数图象与x轴的交点的横坐标； 3、 根据函数图象确定对应不等式的解集. 知识点7 一次函数与二元一次方程 1、一次函数与二元一次方程的联系： 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数的图象上，即 （1） 二元一次方程 一次函数 一条直线； （2） 二元一次方程的解 一次函数两变量的值 直线上的点的坐标. 2、二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程由两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系. 【注意】1、因为二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间的关系是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合的思想； 2、以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图象完全重合（是一条直线）. 知识点8 一次函数与二元一次方程组 1、一次函数与二元一次方程组的对应关系： （1） 二元一次方程组 两个一次函数 两条直线； （2） 二元一次方程组的解 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值 两条直线的交点坐标. 2、两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系： （1）两条直线有交点（相交） 方程组只有一组解； （2）两条直线无交点（平行） 方程组无解； （3）两条直线是同一条直线（重合） 方程组有无数组解. 3、用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）变函数：把方程组化为一次函数与； （2）画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标； （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】1、用图象法求出的二元一次方程组的解往往是近似值，而用解方程组的方法求出的解是准确值； 2、用图象法求出的二元一次方程组的解是否准确，取决于所画的图象是否准确，判断图象法求方程组所得到的解是否准确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的. 【考点精讲】 考点1 一次函数的辨识 【例1】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）下列函数关系式：①，②，③，④，⑤，其中是一次函数的是（   ） A．①⑤ B．①③⑤ C．②⑤ D．②④⑤ 【变式1-2】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列关于x的函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2 根据一次函数的定义求参数 【例2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 【变式2-1】（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象交轴于点，经过点和点，若，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．或 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-4】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 考点3 判断一次函数的图象 【例3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）一次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式3-3】（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与正比例函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．  B．   C．   D．   【变式3-4】（23-24七年级上·山东泰安·期末）设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   考点4 根据解析式判断一次函数经过的象限 【例4】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知关于x的一次函数，下列说法：①若，则函数图象经过第一、二、三象限；②函数图象与y轴交于点；③若函数图象经过原点，则；④无论a为何实数，函数的图象总经过点，其中正确的是 ．（填序号） 【变式4-1】（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 【变式4-2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第 象限． 【变式4-3】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 【变式4-4】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）关于一次函数有如下说法： ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，函数图象经过二、三、四象限； ③函数图象一定经过点； ④将直线向下移动2个单位长度后所得直线表达式为． 其中说法正确的序号是 ． 考点5 已知函数经过的象限求参数取值范围 【例5】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求m的值； (2)若它的图象经过一、二、四象限，求m的取值范围． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x的函数． (1)当k满足什么条件时，它是正比例函数？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【变式5-3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）已知y关于x的一次函数． (1)若该函数的图象经过坐标原点，求m的值； (2)若该函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【变式5-4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 考点6 画一次函数图象 【例6】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并判断点，是否在该函数图象上，并说明理由．    【变式6-2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象经过点，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）．    【变式6-3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 【变式6-4】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)k的值为______； (2)请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 考点7 根据一次函数图象求面积 【例7】（北京市燕山地区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B (1)求A， B两点的坐标； (2)若点在一次函数的图象上，求的面积． 【变式7-1】（21-22八年级下·山东·期末）如图，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线：与直线及轴围成图形的面积； 【变式7-2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）已知关于的一次函数（为常数且）． (1)判断点是否在一次函数的图像上，并说明理由． (2)若一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形，求的值． 【变式7-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【变式7-4】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)求图象与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积； 考点8 一次函数图象平移问题 【例8】（23-24八年级下·河南新乡·期末）已知将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．与直线平行，随的增大而增大 【变式8-1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式8-2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）关于一次函数 下列结论正确的是 （    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点是 C．点和 在一次函数 的图象上， 若，则 D．将一次函数 的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为 【变式8-3】（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-4】（2024·陕西西安·模拟预测）将一次函数的图象向下平移个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则一次函数（）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点9 根据一次函数的增减性比较函数值的大小 【例9】（天津市和平区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，若点，在该一次函数的图象上，则的取值范围以及，的大小关系分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）若直线经过点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式9-2】（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24八年级上·陕西·阶段练习）一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式9-4】（22-23八年级下·湖北随州·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论：①，；②关于的方程的解为；③关于的不等式的解集为；④直线上有两点，，若时，则．其中正确结论的序号是 ．    考点10 根据一次函数的增减性求参数及取值范围 【例10】（23-24八年级下·吉林·期中）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围． 【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知函数． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【变式10-2】（23-24八年级下·福建三明·期中）已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求的值； (2)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，当时，直接写出的取值范围． 【变式10-3】（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数, (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 【变式10-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一次函数． (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 考点11 待定系数法求一次函数表达式 【例11】（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【变式11-1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． 【变式11-2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上． (1)求a的值； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【变式11-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 【变式11-4】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 考点12 利用图像法解一元一次方程 【例12】（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【变式12-1】（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【变式12-3】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式12-4】（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 考点13 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例13】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【变式13-1】（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ． 【变式13-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）若直线y＝ax＋b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax＋b＝0的解为 ． 【变式13-3】（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【变式13-4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． 考点14 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例14】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，点在一次函数（，且为常数）的图象上，则关于的不等式的解集是 ． 【变式14-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，一次函数为常数且的图像与轴交于点，与y轴交于点，那么使成立的的取值范围为 ．    【变式14-2】（2024·江苏南京·三模）若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式14-3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线经过点，当时，的取值范围是 ． 【变式14-4】（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，已知一次函数，则的解集是 ．    考点15 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例15】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，根据图中信息回答下列问题：关于的不等式的解集是 ；关于的不等式的解集是 ；当时，的取值范围是 ． 【变式15-1】（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 ． ①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．    【变式15-2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【变式15-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    【变式15-4】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与的交点的横坐标为．则下列结论： ①，； ②直线一定经过点； ③与满足； ④不等式的解集为， 其中正确结论的序号是 . 考点16 两条直线的交点与二元一次方程组的关系 【例16】（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点P，则方程组的解是 ． 【变式16-1】（23-24八年级下·重庆开州·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【变式16-2】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点A，点A的坐标为，则关于x，y的方程组的解是 ． 【变式16-3】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）已知直线：与直线：（k、b为常数，且）的交点P的坐标为，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【变式16-4】（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 考点17 图像法解二元一次方程组 【例17】（2023八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【变式17-1】（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； 【变式17-2】（21-22七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； 【变式17-3】（22-23）八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； 【变式17-4】（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 考点18 求直线围成的图形面积 【例18】（重庆市忠县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)求的面积； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出时，的取值范围． 【变式18-2】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）直线a：和直线b：相交于点A，直线a与y轴、x轴分别交于点B与点D，直线b与x轴、y轴分别交于点C、点E (1)求点A，点B，点C的坐标 (2)求四边形的面积． 【变式18-3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)点是直线上一点，求当时，点的坐标； (3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 【变式18-4】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标． (2)求的面积． (3)连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）如图所示，一次函数的图象经过点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024年广东省中考数学试卷）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一次函数满足 ，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知一次函数在时总有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·北京房山·期中）一个一次函数的图象经过点，且和x轴交于点B，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为6，那么该一次函数的表达式为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若直线（为常数，且）与（为常数）相交于点．则（   ） A． B． C． D． 9．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 10．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知二元一次方程与有一组公共解，那么一次函数与的图象在直角坐标系内的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·天津宝坻·二模）若将直线向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ． 12．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 13．（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末）正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．    14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数，求满足下列条件的m的值： (1)函数值y随x的增大而增大； (2)函数图像与y轴的负半轴相交； (3)函数的图像过第二、三、四象限 16．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线（，为常数）分别交轴，轴于点．直线（为常数）分别交轴，轴于点，与直线相交于点，已知． (1)求直线的表达式； (2)求当时，的取值范围． 17．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与直线分别与x轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)求的面积； (4)已知直线：，当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 19．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当 ______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 20．（23-24七年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程组和的解相同． (1)求的值； (2)有一组数能同时满足方程和吗？此时方程组的解是什么情况？一次函数与的图象之间有什么位置关系？ 21．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）某文具店计划购进一批羽毛球拍， 已知进价、售价等信息如表所示： 进价（元/套） 售价（元/套） A款：李宁 B款：中国匹克 (1)第一次用11400元购进了A、B两款羽毛球拍共套，求A、B两款各购进多少套？ (2)如果第二次购进羽毛球拍共套，且购进A款的数量不超过B款数量的三分之一，那么文具店如何进货才能获利最大?最大利润是多少? 22．（2024·天津滨海新·一模）已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 一次函数的定义 1、定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.其中，当时，一次函数就称为，形如的函数叫做正比例函数. 2、一次函数与正比例函数的关系： （1）正比例函数是一次函数中的特例，即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. （2）若已知y与x成正比例，则可设函数表达式为；若已知y是x的一次函数，则可设函数表达式. 【注意】1、一次函数的结构特征. （1） ； （2） 自变量x的次数为1； （3） 常数项b可以是任意实数. 2、函数是一次函数 . 知识点2 一次函数的图象 1、 一次函数的图象： 一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线 . 2、一次函数的图象与正比例函数的图象关系： 一次函数的图象可以由直线沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度而得到. 3、一次函数图象画法： （1）两点法：由于两点确定一条直线，所以一般选取直线与两坐标轴的交点，即，. （2）平移法：一次函数的图象，是由直线沿y轴向上（）或向下（）平移个单位长度而得到，反之，直线也可通过平移直线而得到. 4、截距：直线与y轴相交于点，其中b叫做直线在y轴上的截距，简称截距，如图所示： 【注意】1、的大小决定直线的倾斜程度 越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡； 越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 2、截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 3、画一次函数图象，若，通常选取该直线与y轴的交点（横坐标为0的点）和与x轴的交点（纵坐标为0的点），由两点确定一条直线得一次函数的图象. 4、一次函数图象平移的规律： （1）点的坐标平移：“上加下减、左减右加”； （2）直线的平移：“上加下减、左加右减”. 知识点3 一次函数的性质 一次函数的性质和的符号的关系： 【注意】1、由的符号可确定直线所经过的象限；反之由直线所经过的象限可确定的符号； 2、k决定一次函数的增减性，b决定函数图象与y轴的交点． 知识点4 用待定系数法确定一次函数表达式 1、定义： 先设出待求函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 2、 一般步骤： （1） 设：设出含有待定系数的函数表达式； （2） 代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）； （3） 解：解方程（组），求出待定的系数； （4） 回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 【注意】 1、用待定系数法求函数表达式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的表达式； 2、在正比例函数中，只有一个待定系数，只需要一个除（0,0）外的条件即可求出的值；在一次函数中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k和b的值. 知识点5 一次函数与一元一次方程 1、 点一次函数与一元一次方程的关系. 数：函数中，函数值y=0时自变量x的值是方程的解. 形：函数的图象与x轴交点的横坐标是方程的解. 2、 一次函数图象法解一元一次方程的步骤: （1） 转化：将一元一次方程转化为一次函数； （2） 画图象：画出一次函数的图象； （3） 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【注意】1、求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数”题可用“数”解； 2、对于一次函数，已知x的值求y值，或已知y值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 知识点6 一次函数与一元一次不等式 1、一次函数与一元一次不等式或（）（为常数，且）的关系. 数：函数中，函数值时自变量x的取值范围是不等式的解集；函数值时自变量x的取值范围是不等式的解集. 形：函数的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围时不等式的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式的解集. 2、拓展：直线y1=k1x+b1与直线y2=k2 x+b2的交点的横坐标即为方程k1x+b1 = k2 x+b2的解；不等式k1x+b1 > k2 x+b2 （k1x+b1 < k2 x+b2）的解集就是直线y1=k1x+b1在直线y2=k2 x+b2上（或下）方部分对应的x的取值范围. 【注意】利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1、 将不等式转化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式； 2、 画出函数y=ax+b（a≠0）的图象并确定函数图象与x轴的交点的横坐标； 3、 根据函数图象确定对应不等式的解集. 知识点7 一次函数与二元一次方程 1、一次函数与二元一次方程的联系： 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是关于x，y的二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数的图象上，即 （1） 二元一次方程 一次函数 一条直线； （2） 二元一次方程的解 一次函数两变量的值 直线上的点的坐标. 2、二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程由两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系. 【注意】1、因为二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间的关系是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合的思想； 2、以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图象完全重合（是一条直线）. 知识点8 一次函数与二元一次方程组 1、一次函数与二元一次方程组的对应关系： （1） 二元一次方程组 两个一次函数 两条直线； （2） 二元一次方程组的解 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值 两条直线的交点坐标. 2、两条直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系： （1）两条直线有交点（相交） 方程组只有一组解； （2）两条直线无交点（平行） 方程组无解； （3）两条直线是同一条直线（重合） 方程组有无数组解. 3、用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）变函数：把方程组化为一次函数与； （2）画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标； （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】1、用图象法求出的二元一次方程组的解往往是近似值，而用解方程组的方法求出的解是准确值； 2、用图象法求出的二元一次方程组的解是否准确，取决于所画的图象是否准确，判断图象法求方程组所得到的解是否准确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的. 【考点精讲】 考点1 一次函数的辨识 【例1】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数．根据一次函数的定义:关于自变量的一次式，一般形式为：，且k、b都为常数；逐项判断即可求解． 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是一次函数； ④不是一次函数， 所以一次函数的个数是2个． 故选：C 【变式1-1】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）下列函数关系式：①，②，③，④，⑤，其中是一次函数的是（   ） A．①⑤ B．①③⑤ C．②⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，能够准确判断一次函数是解题的关键． 由一次函数的表示式为，选项中符合表达式形式的即为所求． 【详解】解：①是一次函数，故符合题意； ②不是一次函数，故不符合题意； ③不是一次函数，故不符合题意； ④是一次函数，故符合题意； ⑤是一次函数，故符合题意； 综上所述，①⑤是一次函数， 故选：A． 【变式1-2】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数．根据定义作答即可． 【详解】解：y是x的一次函数的有：①，②，共2个， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列关于x的函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别．熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，这样的函数叫做一次函数，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、的次数为2次，不是一次函数，不符合题意； B、当时，不是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，符合题意； D、，x的最高次数为2次，不符合题意； 故选C． 【变式1-4】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①，是一次函数，正确，故符合要求； ②，是一次函数，正确，故符合要求； ③，不是一次函数，错误，故不符合要求； ④，不是一次函数，错误，故不符合要求； 综上可知，是的一次函数有2个． 故选：B． 考点2 根据一次函数的定义求参数 【例2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据是y关于x的一次函数，得到，求出的值，进而判断直线经过的象限即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故选C． 【变式2-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象交轴于点，经过点和点，若，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义，一次函数的性质；根据一次函数的定义及性质可知，再根据一次函数经过点和点得到，最后根据求出的取值范围即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点， ∴， ∵当时，， 即， ∵经过点和点， ∴， 解得：，即 ∴ ∵， ∴， ∴， 综上，且， 故选：C． 【变式2-3】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）函数是一次函数，m，n应满足的条件是 （    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【详解】解：函数是一次函数， ，解得，． 故选：B． 【变式2-4】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 考点3 判断一次函数的图象 【例3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）一次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限．判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限， 所以，只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级下·重庆江津·期末）关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第二、三、四象限，没有选项符合要求； 故选：B． 【变式3-2】（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出该函数的图象与坐标轴的交点．根据，得出两个函数k值相等，即两直线平行，根据，得出两个函数与y轴的交点一正一负，进而可得出答案． 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 【变式3-3】（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与正比例函数（为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，掌握性质是解题关键． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，结合选项分别判断正负性，及的正负性，从而可得答案． 【详解】解：按照矛盾分析法 A、一次函数；正比例，与一次矛盾． B、一次；正比例，与一次矛盾． C、一次，正比例，成立． D、一次，正比例，矛盾． 故选：C 【变式3-4】（23-24七年级上·山东泰安·期末）设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．联立方程，解可得，两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程 ，解可得，两直线的交点为， 而图C中交点横坐标是负数，故图C不对； 图A中交点横坐标是，故图A不对； 图B中交点纵坐标是大于小于b的数，不等于故图B不对， 故选：D． 考点4 根据解析式判断一次函数经过的象限 【例4】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知关于x的一次函数，下列说法：①若，则函数图象经过第一、二、三象限；②函数图象与y轴交于点；③若函数图象经过原点，则；④无论a为何实数，函数的图象总经过点，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；令，即可求得函数图象与轴交点即可判断②；把代入即可判断③；把代入解析式求得，即可判断④． 【详解】解：①， 一次函数为， 函数图象经过第一、二、三象限，故正确； ②当时，， 函数图象与轴交于点，故错误； ③函数图象经过原点， 且， ，故正确； ④， 时，， 函数的图象总经过，故正确． 故答案为：①③④． 【变式4-1】（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是 ． 【答案】第一、二、三象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像平移，掌握一次函数图像平移的特征是解题的关键．根据题意可知，对于一次函数，可有，，结合一次函数图像的性质即可获得答案． 【详解】解：∵一次函数的图像由直线（）向上平移3个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴一次函数的图像经过的象限是第一、二、三象限． 故答案为：第一、二、三象限． 【变式4-2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的定义和一次函数的性质．将代入二元一次方程求出m的值，再把m的值代入，得到一次函数解析式，根据一次函数解析式判定一次函数图象不经过的象限． 【详解】∵是关于，的二元一次方程的一组解， ∴，解得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式4-3】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，根据图象判断出a，b，c，d的正负，结合两直线交点的横坐标为4，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4， ， 对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； ，， 函数经过第一、二、三象限，故②错误； 由图可得，当时，直线在直线的上方， 的解集为， 的解集是，故③正确； 两直线交点的横坐标为4， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 【变式4-4】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）关于一次函数有如下说法： ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，函数图象经过二、三、四象限； ③函数图象一定经过点； ④将直线向下移动2个单位长度后所得直线表达式为． 其中说法正确的序号是 ． 【答案】③ 【分析】由时，一次函数值y随x的增大而增大；可判断① ；由时，则，可判断②；当时，则，可判断③；由一次函数图象的平移规则：上加下减，可判断④ ；从而可得答案． 【详解】解：①当时，y随x的增大而增大；故① 不符合题意； ②当时，则，函数图象经过一、三、四象限；故② 不符合题意； ③当时，则，∴函数图象一定经过点；故③ 符合题意； ④将直线向下移动2个单位长度后所得直线表达式为，故④ 不符合题意； 故答案为：③ 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，根据一次函数的解析式判断其图象经过的象限，熟练掌握该知识点是解答关键． 考点5 已知函数经过的象限求参数取值范围 【例5】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）已知一次函数． (1)若图象过点，求m的值； (2)若它的图象经过一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据一次函数的图象过点，即可求得m的值； （2）根据一次函数的图象经过一、二、四象限，可以得，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得； （2）∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ，解得， 即m的取值范围是． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． （1）根据正比例函数的性质得出，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：． ∵函数为正比例函数， ∴， 解得：， 答：当时，这个函数为正比例函数， （2）解：一次函数， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴， 答：当时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 答：当时，函数的图象经过第一、三、四象限． 【变式5-2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x的函数． (1)当k满足什么条件时，它是正比例函数？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上的定义以及正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据正比例函数定义得出且，即可解答； （2）由y随x的增大而增大利用一次函数的性质可得出，解之即可得出结论； （3）根据一次函数的图象经过第一、二、四象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， ∴； （2）∵y随x的增大而增大， ∴， ∴； （3）∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：． 【变式5-3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）已知y关于x的一次函数． (1)若该函数的图象经过坐标原点，求m的值； (2)若该函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数图象过原点得到，即可求出m的值； （2）根据函数图象的性质得到一元一元不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 可得； （2）由， 可得， 当时，函数图象经过第一、二、三象限． 【变式5-4】（23-24八年级下·广东东莞·期中）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可． 本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键． 【详解】（1）∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴， 解得． （2）∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 考点6 画一次函数图象 【例6】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数． (1)画出该函数的图象； (2)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出图象与轴和轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象； （2）观察函数图象，即可得解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 该函数的图象如图： （2）解：观察函数图象，可知：当时，． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并判断点，是否在该函数图象上，并说明理由．    【答案】图像见解析；点A不在该函数图象上，点B在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了作一次函数的图象，判断点是否在函数图象上，熟练掌握一次函数图象的画法及判断点是否在函数图象上时解题的关键．先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，然后经过这两点画直线，再分别将，的坐标代入该函数解析式验证即可． 【详解】解：令，则； 令，则， 解得； 经过点，画直线，此直线即为所求作的直线；    将代入，得：， 点A不在该函数图象上， 将代入，解得：， 点B在该函数图象上． 【变式6-2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象经过点，求该函数的解析式，并在所给的坐标系中画出该函数的图象（列表，描点，连线）．    【答案】，图象见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及画一次函数的图象，由点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用五点法画出该函数的图象，此题得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴ 解得： ∴ 列表如下， 描点、连线，画出函数图象，如图所示    【变式6-3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 【答案】(1)见解析 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后画出函数图象即可； 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， 即该函数图象过点，， 函数图象如图所示， 【变式6-4】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)k的值为______； (2)请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象如图， 【分析】本题考查了待定系数法，画一次函数图象，利用图象解不等式； （1）将代入解析式，即可求解； （2）画出图象，根据图象找出轴下方图象对应的取值范围，即可求解； 掌握图象画法及会用图象解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案：； （2）解：如图 由图象得： 当时，． 考点7 根据一次函数图象求面积 【例7】（北京市燕山地区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B (1)求A， B两点的坐标； (2)若点在一次函数的图象上，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】该题主要考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数图象上点的特征： （1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点A，点B坐标即可； （2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解： 对于， 当时， ， 解得：， ∴点A的坐标为 当时， ∴点B的坐标为； （2）解∶ ∵点在一次函数的图象上， ∴． ∴． 【变式7-1】（21-22八年级下·山东·期末）如图，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线：与直线及轴围成图形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图像的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是从函数图像中获得正确信息． （1）将点，代入直线中求解、，得到直线解析式，再根据直线解析式与轴交点，即可得到点的坐标； （2）根据直线的解析式求出，联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）解：将点，代入中得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； （2）在中，令，则， ， ， 联立， 解得：， ， ， 即直线与直线及轴围成图形的面积为； 【变式7-2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）已知关于的一次函数（为常数且）． (1)判断点是否在一次函数的图像上，并说明理由． (2)若一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)1或 【分析】本题考查一次函数上点的坐标，与坐标轴围城的三角形的面积，能求出一次函数与x轴和y轴交点的坐标是解题的关键． （1）直接把点代入函数解析式判定即可； （2）分别令，求得直线与坐标轴的交点坐标，然后结合三角形的面积计算方法求得答案即可． 【详解】（1）点在一次函数的图像上． 理由如下： 当时，， 点在一次函数的图像上． （2）令，则，解得， 一次函数的图像与轴的交点坐标为． 令，则， 一次函数的图像与轴的交点坐标为． 一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形是等腰三角形， 或． ， 或，即的值为1或． 【变式7-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在点上方时，；当点在点下方时， 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 【变式7-4】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)求图象与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)，； (3)9 【分析】本题考查了一次函数的图象． （1）根据描点法，可得函数图象； （2）根据函数值为0，可得A点坐标；根据自变量为0，可得B点坐标； （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 如图所示． ； （2）解：当时，，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：． 考点8 一次函数图象平移问题 【例8】（23-24八年级下·河南新乡·期末）已知将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．与直线平行，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与性质，掌握这些知识是关键．由题意可确定平移后的函数解析式，由解析式及函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度后的解析式为， 即， 则； 故函数图象经过第一、二、四象限，即选项A正确； 当，即时，；当时，； 故直线与轴交于，与轴交于，即选项B、C正确； 由于与中x的系数相同，两人直线平行，但，则随的增大而减小，故选项D错误； 故选：D． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解答的关键． 根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将点代入求解即可． 【详解】解：将直线的图象向右平移4个单位后的解析式为， 将点代入中，得：，解得：． 故选C． 【变式8-2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）关于一次函数 下列结论正确的是 （    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点是 C．点和 在一次函数 的图象上， 若，则 D．将一次函数 的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象的平移规则，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象经过一，二，三象限，不经过第四象限，故A选项错误； 当时，，解得：， ∴图象与x轴的交点是，故B选项错误； ∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴，故C选项错误； 将一次函数 的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为 ；故D选项正确； 故选D． 【变式8-3】（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则得到直线的解析式，再根据解析式分别求出直线与轴交点的纵坐标和直线与轴交点的横坐标，列方程求出的值． 【详解】解：直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线，即， 直线与轴交点的纵坐标为， 直线与轴交点的横坐标为2， 依题意有， ． 故选：C． 【变式8-4】（2024·陕西西安·模拟预测）将一次函数的图象向下平移个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则一次函数（）的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数图像的平象，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】∵将一次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的一次函数， ∵平移后的一次函数图象经过点， ∴，解得：， ∴一次函数， ∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴一次函数（）的图象不经过第四象限， 故选：． 考点9 根据一次函数的增减性比较函数值的大小 【例9】（天津市和平区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限，若点，在该一次函数的图象上，则的取值范围以及，的大小关系分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据一次函数的性质得出，则随的增大而减小，从而求解，正确掌握一次函数图象性质是解题的关键． 【详解】∵一次函数的图象经过第 一、二、四象限， ∴， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， 故选：． 【变式9-1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）若直线经过点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握：在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．据此解答即可． 【详解】解：在直线中， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式9-2】（2024·安徽合肥·三模）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、比较一次函数函数值的大小，由一次函数解析式得出随的增大而增大，结合，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 【变式9-3】（23-24八年级上·陕西·阶段练习）一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据得到函数的函数值随的增大而减小，结合已知得，从而进行判断即可． 【详解】解：一次函数中，， 函数的函数值随的增大而减小， 一次函数的图像过点，，，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记，随的增大而增大，，随的增大而减小，是解答本题的关键． 【变式9-4】（22-23八年级下·湖北随州·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论：①，；②关于的方程的解为；③关于的不等式的解集为；④直线上有两点，，若时，则．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①②④ 【分析】根据函数图象即可判断①，根据图象可知关于的方程的解，即可判断②；根据图象可知不等式的解集即可判断③，根据函数增减性即可判断④． 【详解】解：根据图象可知，故①正确； 根据图象可知，两直线交点横坐标为3，所以，关于的方程的解为，故②正确； 不等式可变形为：， 从图象可以得出，时，x的取值范围是， ∴的解集为，故③错误； 在直线中，， ∴y随着x增大而增大， ∴当，则，故④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 考点10 根据一次函数的增减性求参数及取值范围 【例10】（23-24八年级下·吉林·期中）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，解一元一次不等式组，求一次函数函数值的取值范围： （1）根据增减性可知一次项系数小于0，根据与y轴交于负半轴可知常数项小于0，据此可得不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得， 又∵m为整数， ∴； （2）解：由（1）得：一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∵y随x的增大而减小， ∴当时，． 【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知函数． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了图象经过一点求参数，一次函数的性质； （1）将原点坐标代入解析式即可求解； （2）由一次函数的增减性得，解不等式即可求解； 理解图象经过一点的意义，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：函数图象经过原点， ， 解得：， 故m的值为； （2）解：y随x的增大而增大， ， 解得：， 故m的取值范围为． 【变式10-2】（23-24八年级下·福建三明·期中）已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求的值； (2)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系， （1）根据题意将原点代入计算即可； （2）根据一次函数的性质列不等式计算即可； （3）当时，此时，然后根据条件列不等式组解决问题即可； 掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键 【详解】（1）解： 该一次函数的图象经过原点， ， ． （2）该一次函数的函数值y随x的增大而增大 ， ． （3）当时，此时． 当时， 解得 此时x的取值范围为． 【变式10-3】（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数, (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象的性质及一次函数与一元一次不等式的关系： （1）根据过原点列式求解即可得到答案； （2）根据y随x增大而增大，得到，根据图象与y轴交点在x轴上方，得到求解即可得到答案； （3）先求出一次函数解析式，再根据列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得， ∴时，该函数图象经过原点； （2）解：∵y随x增大而增大， ∴， 解得：， ∵图象与y轴交点在x轴上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当时，， ∵， ∴， 解得：． 【变式10-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一次函数． (1)m为何值时，该函数图象经过原点； (2)若函数y随x增大而增大，且图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围； (3)当时，时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】本题考查一次函数的性质及一次函数与一元一次不等式的关系： （1）根据过原点列式求解即可得到答案； （2）根据y随x增大而增大，得到，根据图象与y轴交点在x轴上方，得到求解即可得到答案； （3）根据，列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴，解得， ∴时，该函数图象经过原点； （2）解：∵y随x增大而增大， ∴，解得：， ∵图象与y轴交点在x轴上方， ∴，解得：， ∴； （3）解：当时， ， ∵， ∴， 解得：． 考点11 待定系数法求一次函数表达式 【例11】（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，设这个一次函数的解析式为，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 因为的图象过点与，所以， 解得， 这个一次函数的解析式为． 【变式11-1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上，而在直线下方 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象， （）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）得到的函数表达式中，求出的值，与点的纵坐标比较即可判断； 【详解】（1）将，代入， 可得：， 解得：， 故所求一次函数表达式为； （2）解：当时，， ∵， ∴点不在函数图象上，而在直线下方． 【变式11-2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，，且点B在正比例函数的图象上． (1)求a的值； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将代入，即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：． （2）解：将，代入得： ，解得：， 故一次函数表达式为：． （3）解：， ， ，， ． 【变式11-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，：，：，，然后分两种情况：当在点P左侧时，当在点P右侧时，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵与x轴交于点C， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 联立直线与得：， 解得：， ∴， ∴； （3）根据题意得，当时，：，：， ∴， 分两种情况：当在点P左侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，不符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，符合题意； 当在点P右侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，不符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，不符合题意； 综上可得：或或． 【变式11-4】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为；直线的函数解析式为 (2)或 【分析】（1）将代入，解得a值即可求直线的解析式和，再将交点坐标代入，求解即可； （2）设，则，，得或，解答即可． 本题考查了一次函数的解析式，交点问题，截直线线段长度问题，熟练掌握待定系数法，分类思想，设点坐标是解题的关键． 【详解】（1）将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 将点代入，得， 解得． ∴直线的函数解析式为． （2）设，则，， ∴或． 解得或． ∴或． 考点12 利用图像法解一元一次方程 【例12】（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，直线经过点，， 将点，代入， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴关于的方程的解是． 故选：A． 【变式12-1】（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 【变式12-2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程的解是（　　）    A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握两直线交点解方程，图形结合分析是解题的关键． 根据两直线的交点为，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴根据图象可得方程的解集是， 故选：． 【变式12-3】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是， 故选：C． 【变式12-4】（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程．根据直线经过点，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成函数的图象和直线交点的横坐标， 由所给函数图象可知， 直线和直线的交点坐标为， 方程的解为． 故选：A． 考点13 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例13】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式13-1】（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法，一次函数与一元一次方程，根据一次函数所经过点的坐标就是相对应一元一次方程的解即可解答． 利用待定系数法求函数解析式，然后解方程． 【详解】解：将，代入中， ，解得， ∴一次函数解析式为 当时，，解得， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【变式13-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）若直线y＝ax＋b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax＋b＝0的解为 ． 【答案】x＝1或x＝－1 【解析】略 【变式13-3】（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 【变式13-4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． 考点14 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例14】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，点在一次函数（，且为常数）的图象上，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数形结合的数学思想，也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用，一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于2的自变量的取值范围．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误． 【详解】解：由图象可得：关于的不等式的解集应是； 故答案为：． 【变式14-1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，一次函数为常数且的图像与轴交于点，与y轴交于点，那么使成立的的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的值小于0的自变量x的取值范围即为直线在x轴下方部分所有的点的横坐标的取值范围成为解题的关键． 观察图像，找出直线落在x轴的下方所对应的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图像可得：当时，． 故答案是：． 【变式14-2】（2024·江苏南京·三模）若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了利用一次函数解不等式，解题关键是确定该一次函数图像与轴的交点坐标．首先确定该一次函数图像与轴的交点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该一次函数图像与轴的交点坐标为， 则有,则, ∴关于的不等式化为 ∵,则该不等式的解集为． 故答案为：． 【变式14-3】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线经过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 直线经过点，代入，可得，再代入，即可写出不等式的解集． 【详解】解：∵直线经过点， 代入可得，即， 当时，代入，即，且 化简可得， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式14-4】（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，已知一次函数，则的解集是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在x轴下方时即可． 【详解】解：由题意可得：一次函数中，时，图象在x轴下方，， 则关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 考点15 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例15】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，根据图中信息回答下列问题：关于的不等式的解集是 ；关于的不等式的解集是 ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：，，，； 【变式15-1】（23-24八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 ． ①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．    【答案】①②④ 【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 【详解】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确； 由图知：，，因此，故④的结论正确； 答案为：①②④． 【变式15-2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 【变式15-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出和的解集，取公共部分即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时， ∴的解集为． 故答案为：． 【变式15-4】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与的交点的横坐标为．则下列结论： ①，； ②直线一定经过点； ③与满足； ④不等式的解集为， 其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与方程及不等式的关系．由直线与轴交点位置可判断与的符号，由可得直线一定经过点，联立两直线方程，将代入方程可得与的数量关系，结合图象，根据两直线交点横坐标及直线与轴交点坐标可得不等式的解集． 【详解】解：直线与轴交点在轴下方， ， 直线与轴交点在轴上方， ，①正确． 且， 时，， 直线一定经过点，②正确． 令， 将代入得， ，③正确． 直线经过且随增大而减小，直线与的交点的横坐标为， 时，直线在轴上方，直线下方， 不等式的解集为，④错误． 故选：①②③． 考点16 两条直线的交点与二元一次方程组的关系 【例16】（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点P，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点坐标为二元一次方程组的解，由图可知两直线的交点，即可得出方程组的解． 【详解】解：直线：与直线：交于点P， ， 方程组的解为：， 故答案为：． 【变式16-1】（23-24八年级下·重庆开州·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于的方程组的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ， 故关于的方程组的解是． 故答案为：． 【变式16-2】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知函数和的图象交于点A，点A的坐标为，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，数形结合的思想是解题的关键，由点的坐标可确定方程组的解． 【详解】解：函数可通过移项得到： 函数可通过移项得到： 关于的方程组的解即为两函数的交点 点是函数与函数的交点，且点的坐标为 方程组的解为： 故答案为： 【变式16-3】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）已知直线：与直线：（k、b为常数，且）的交点P的坐标为，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：直线：与直线：相交于点， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式16-4】（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与的图像如图所示，且方程组的解为，点坐标为，轴上的一个动点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点的坐标为，可得，根据函数图像交点的意义可得，再根据，继而得到，求解即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所构成的方程组的解． 【详解】解：如图，设点的坐标为， ∵点坐标为， ∴， ∵方程组的解为， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 考点17 图像法解二元一次方程组 【例17】（2023八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【答案】，图象见解析 【分析】利用描点法分别画出一次函数和一次函数的函数图象，两个一次函数图象的交点即为方程组的解． 【详解】解：列表如下： x … 0 1 2 3 … … 0 2 4 x … 0 2 4 6 … … 4 3 2 1 0 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，一次函数和一次函数的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两个一次函数的交点的横纵坐标即为这两个一次函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【变式17-1】（22-23八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； 【答案】(1) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； 【变式17-2】（21-22七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有直线和直线，它们的交点为P，与x轴交于点A，与x轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 ； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数值为零，可得相应自变量的值，可得图象与轴的交点坐标； （2）根据图象的交点坐标是相应方程组的解，可得答案， 【详解】（1）解：当时，，解得，即； ，解得，即； （2）可变形为： 和的图象如图，      交点P坐标为： 故方程组的解为是； 【变式17-3】（22-23）八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； 【答案】(1) 【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解； 【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴方程组的解为； 【变式17-4】（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 考点18 求直线围成的图形面积 【例18】（重庆市忠县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)求的面积； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键． （1）把分别代入和，求出k值即可； （2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两和情况：①当点P 在射线上时，，②当点P 在射线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入和，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：． （2）解：对于直线的解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 对于直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴的面积． （3）解：设点P坐标为， 分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴； ∴， 解得， ∴； ②当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍． 【变式18-1】（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据可求出，从而可求出，进而可求出；联立，可求出，从而可求出，最后根据求解即可； （3）根据求时，的取值范围，即求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴，； （2）解：由（1）可知． 对于，令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴； 联立，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时， ∴的取值范围是． 【变式18-2】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）直线a：和直线b：相交于点A，直线a与y轴、x轴分别交于点B与点D，直线b与x轴、y轴分别交于点C、点E (1)求点A，点B，点C的坐标 (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)7 【分析】本题考查了两直线相交的问题，解题的关键是求得直线与坐标轴的交点坐标和两直线的交点坐标． （1）令，，代入解析式求解，坐标，再联立即可求得的坐标； （2）作轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：对于：令，解得：， ∴； 对于：令，解得：， ∴， 联立，解得： ∴； （2）如图，作轴于点， ． 【变式18-3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)点是直线上一点，求当时，点的坐标； (3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围. 【答案】(1)点的坐标为 (2)或点 (3) 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可； （2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可； （3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得. . 解方程组，解得. 点的坐标为； （2）直线与轴的交点，设点，. 当时，有或，解得或. 则点或点； （3）解：由题可知直线是绕原点旋转的直线， 当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，， ∴此时的取值范围为； 当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即， ∴此时的取值范围为； 综上所述的取值范围为． 【变式18-4】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标． (2)求的面积． (3)连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标； （2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标，的面积以为底，以点D的横坐标的绝对值为高，即可求得面积； （3）先求出的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得面积，然后设出的长，根据面积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线， 令，解得， ∴； （2）解：∵直线与直线交于点， ∴，解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，解得， ∴， 即， ∴； （3）解：由（1）（2）可得，，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 设， 则， 即， 解得：， ∵，点在轴上， 当点E在点A左侧时，点E的横坐标为：，此时点， 当点E在点A右侧时，点E的横坐标为：，此时点， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了直线围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，分割法求三角形的面积，运用数形结合是解答本题的关键． 【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义分析即可． 【详解】解：①的右边不是整式，不是一次函数； ②的右边不是整式，不是一次函数；； ③是一次函数； ④的自变量的次数是2，不是一次函数； ⑤是一次函数． 故选B． 2．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）如图所示，一次函数的图象经过点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将点代入直线解析式，然后与方程对比即可得出方程的解． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ∴， ∴为方程的解， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一次函数与一元一次方程的联系，理解二者联系是解题关键． 3．（2024年广东省中考数学试卷）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 4．（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）一次函数满足 ，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数满足 ，且随的增大而减小， ∴ ∴此函数的图象不经过一象限， 故选：A． 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知一次函数在时总有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①和②，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：由一次函数的定义可知，， ①当时，y随x的增大而增大， 则在内，当时，y取得最小值，最小值为， 要使在时的函数值总是正的， 则，解得，符合题设； ②当时，y随的增大而减小， 则在内，当时，y取得最小值，最小值为， 要使在时的函数值总是正的， 则， 解得，不符合题设，舍去； 综上，m的取值范围是， 故选：B． 6．（23-24八年级下·北京房山·期中）一个一次函数的图象经过点，且和x轴交于点B，如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为6，那么该一次函数的表达式为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和线段长度的转化．先求出一次函数与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k，即可得到答案． 【详解】解：设一次函数图象过点， ∴， ∴ 令，则， ∴一次函数与x轴交点为， ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为6， ∴， 即， 解得：， 则函数的解析式是或. 故选：C． 7．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是求解一次函数的解析式．平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论． 【详解】解：∵将直线沿轴向上平移个单位． ∴平移后的直线解析式为． ∵四边形为平行四边形，且点， ∴， ∴点． ∵平移后的直线与边有交点， 当直线过， ∴， 解得：， 当直线过， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若直线（为常数，且）与（为常数）相交于点．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组，根据交点坐标为，分别代入两条直线的解析式，两式相减，整理得出答案即可，理解直线交点的意义、代入运算是解题的关键． 【详解】解：∵直线（为常数，且）与（为常数）相交于点， ∴把分别代入和得：， 得：， 整理得：， 故选：A． 9．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意； B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象得：当时，，故本选项符合题意； D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．（23-24七年级下·山东泰安·期中）已知二元一次方程与有一组公共解，那么一次函数与的图象在直角坐标系内的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系．熟练掌握一次函数与二元一次方程的关系是解题的关键． 联立，可求，进而可求两条直线的交点坐标． 【详解】解：联立， 解得，， ∴一次函数与的图象在直角坐标系内的交点坐标为， 故选：C． 二、填空题 11．（2024·天津宝坻·二模）若将直线向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．由平移的规律可求得平移后的直线解析式，代入点直接求得答案． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后的函数解析式是， 点经过， ， 解得：， 故答案为：1． 12．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点A，点A的横坐标为1， ∴关于x的不等式，即不等式的解集是， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·新疆吐鲁番·期末）正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．    【答案】 【分析】本题是一次函数的规律题，得到点的坐标是解题的关键解． 根据题意确定一次函数上点点，，，，…的坐标，进而得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是正方形， ，，. 直线，当时，， ， ， ， 点与点的横坐标相等，均为， 点的纵坐标为，即点， ， ， ， 点与点的横坐标相等，均为， 点的纵坐标为，即点， 通过推理不难得到： 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 的纵坐标是：，的横坐标是：， 据此可以得到的纵坐标是：，横坐标是：， 即点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，不等式的性质和应用．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后分和两种情况，按照三角形的面积大于三角形的面积列出不等式，求解后可得的取值范围．解题的关键是求出直线的解析式． 【详解】解：设直线的解析式为，过点，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， 当时，如图， ∵点，轴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数，求满足下列条件的m的值： (1)函数值y随x的增大而增大； (2)函数图像与y轴的负半轴相交； (3)函数的图像过第二、三、四象限 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． (1)利用一次函数的增减性则有，得到，求解即可； (2) 根据函数图像与y轴的负半轴相交，则， 得到，求解即可； (3)根据函数的图像过第二、三、四象限，则， 且 ，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）解：由题意，得， 解得：； （3）解：由题意，得， 解得：． 16．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线（，为常数）分别交轴，轴于点．直线（为常数）分别交轴，轴于点，与直线相交于点，已知． (1)求直线的表达式； (2)求当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值大小得到一元一次不等式，然后解一元一次不等式得到的取值范围．也考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的性质． （1）利用待定系数法求直线的表达式； （2）先求出点坐标得到的值，则，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意把代入， 得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：， ， ， ， ， 把代入得， 解得， ， 解不等式得， 即时，的取值范围为． 17．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，运用数形结合思想解题是解本题的关键． （1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再令可得的坐标； （2）先求解四边形的面积为；可得的面积为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴； ∵：(k、b为常数，且)与x轴交于点，且经过点P， ∴， 解得：， ∴：； 当时，， ∴； （2）解：∵，，轴， ∴， ∴四边形的面积为； ∴的面积为， 如图，存在两个这样的点C， 设； ∴的面积， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴或； 18．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，直线与直线分别与x轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)求的面积； (4)已知直线：，当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟悉利用数形结合思想是解题的关键． （1）联立两个函数关系式运算求解即可； （2）根据图象判断即可； （3）把分别代入函数解析式，求出和的坐标后得到的长，再根据三角形面积公式运算即可． （4）根据的图象特征进行分类讨论判断即可． 【详解】（1）解：令可得：， 解得： 把代入可得： ∴； （2）解：根据图象可得：； （3）解：把代入可得：，即， ∴ 把代入可得：，即， ∴ ∴， ∴； （4）解：∵与轴的交点为， ∴当与的图象平行时，此时，满足当，恒成立， 当过点时，则，解得：，此时，满足当，恒成立， ∴． 19．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点的坐标是一元二次方程组：______的解； (2)不等式的解集是______； (3)当 ______时，； (4)直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，求点的坐标和四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，再根据计算即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得，交点的坐标是一元二次方程组的解， 故答案为：； （2）解：由图象可得，不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由图象可得，当时，， 故答案为：； （4）解：把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 20．（23-24七年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程组和的解相同． (1)求的值； (2)有一组数能同时满足方程和吗？此时方程组的解是什么情况？一次函数与的图象之间有什么位置关系？ 【答案】(1) (2)不能满足，一次函数与的图象平行 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解得情况求参数，一次函数与二元一次方程组间的关系，了解函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题关键 （1）建立方程组，解出x，y，再代入求出a，b的值即可； （2）当时，没有一组数能同时满足方程和，可知方程组无解，即可得出两函数图像平行． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 将代入方程组， 得 解得； （2）当时， 没有一组数能同时满足方程和， 此时方程组无解， 所以一次函数与的图象平行． 21．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）某文具店计划购进一批羽毛球拍， 已知进价、售价等信息如表所示： 进价（元/套） 售价（元/套） A款：李宁 B款：中国匹克 (1)第一次用11400元购进了A、B两款羽毛球拍共套，求A、B两款各购进多少套？ (2)如果第二次购进羽毛球拍共套，且购进A款的数量不超过B款数量的三分之一，那么文具店如何进货才能获利最大?最大利润是多少? 【答案】(1)A款购进套，B款购进套 (2)A款购进套，B款购进套，获利最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设A款购进套，则B款购进套，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设A款购进套，则B款购进套，利润为元，依题意得，，由题意知，，可求，由，可知当时，最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设A款购进套，则B款购进套， 依题意得，， 解得，， ∴（套）， ∴A款购进套，B款购进套； （2）解：设A款购进套，则B款购进套，利润为元， 依题意得，， 由题意知，， 解得，， ∵， ∴当时，最大，最大值为元 ∴A款购进套，B款购进套，获利最大，最大利润为元． 22．（2024·天津滨海新·一模）已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1550，1800；②500，100；③ (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）①首先求得小华前12分钟的速度，然后计算10分钟时，小华离图书馆的距离即可；由图像可知，26分钟时小华位于文具店，即可获得答案；②利用学校与图书馆距离减去文具店到图书馆的距离，即可求得学校到文具店的距离；利用文具店到图书馆的距离除以行走时间，即可获得答案；③当时，由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有；当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间，然后分别求得此阶段两人到图书馆的距离与时间的关系式，即可求得的答案． 【详解】（1）解：①根据题意，小华前12分钟的速度为， 则10分钟时，小华离图书馆的距离为； 由图像可知，26分钟时小华位于文具店，离图书馆的距离为1800． 故答案为：1550，1800； ②学校到文具店的距离为； 小华从文具店出发到图书馆的速度为． 故答案为：500，100； ③当时， 由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有； 当时， 设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得，解得， 所以，此阶段为． 综上所述，小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为； （2）根据题意，小强行走的速度为， 由（1）可知，小华前12分钟的速度为， 所以，前12分钟，小华行走速度小强行走速度， 到20分钟时，小强离图书馆的距离为， 故两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间， 设小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，此阶段小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 两人途中相遇时，可有，即， 解得， 所以，两人途中相遇时离图书馆的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$