精品解析：北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末学业水平调研数学试卷

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共6页，共两部分.19道题，共100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 的展开式中，所有二项式系数的和为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得. 【详解】的展开式中所有二项式系数的和为. 故选：B. 2. 已知函数则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中计算即可. 【详解】由得， 所以. 故选：B 3. 若等比数列的前项和，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，依次求出，依题即可求得公比. 【详解】由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 4. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B 5. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 6. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 7. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则 ， 所以。 故选：C 8. 已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则不满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：B. 9. 设函数．若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参数赋值法结合函数导数判断各个选项； 【详解】根据题意，函数．若在上恒成立即函数在上的最大值为. 法一： 因为，所以 当时，在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；A错误； 当时，令，因为，所以在上单调递减，当时，， 在上的最大值不为0，不符合题意；C错误； 当时，令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 即函数在上的最大值为.符合题意；D正确； 当时， 令得存在，满足 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 即函数在上的最大值为.不符合题意；B错误； 法二： 对于A，当时，在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意，A错误； 对于B，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0.B错误； 对于C，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0，C错误； 对于D，当时， 当，在上单调递增，在上单调递增， 当，在上单调递减，在上单调递减，综上可知在上恒成立，D正确； 故选：D. 10. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数求导公式找到（为常数），结合二次函数性质和条件计算判断结论的正误； 【详解】根据题意可知，则（为常数）， ①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确； ②若销量为800件时，总收益为， 所以（为常数），解得, 则当销量增加400件，即件，总收益，②正确； ③当销量从500件增加到501件时，， 总收益改变量的近似值为500．③正确； 故选：D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 的展开式中含项的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以，所以展开式中含项的系数为. 故答案为： 12. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 【答案】 ①. 0，1； ②. . 【解析】 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 13. 已知数列是公比为2的等比数列，若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】将化为，然后利用等比数的求和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为数列是公比为2的等比数列， 所以 . 故答案为： 14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【解析】 【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 15. 已知数列的前项和为，满足，当时，．给出下列四个结论:①当时，； ②当时，； ③当时，恒成立； ④当时，从第三项起为递增数列． 其中所有正确结论的序号为_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据递推关系即可判断①②③，用利用函数单调性即可判断④. 【详解】当时，，当时，，所以或， 若，则，与题意矛盾，所以， 因为，所以或， 若，则，与题意矛盾， 所以，所以①正确； 当时，，所以， 所以，，， 所以是以为周期的周期数列，所以，所以②错误； 当时，，所以， 所以，因为，，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以，所以③正确； 当时，，所以， 所以，因为，， 所以，由基本不等式可得， 当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以， 又因为， 令，则， 当， 由的函数性质，由图可知，当，有 ， 所以从第二项开始为递减数列， 当且增大时，递减，递增， 所以从第三项起为递增数列，所以④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题给出与的混合关系式，用进行转化，本题第四问是难点，四层递进，最后利用函数思想，确定的单调性． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析； （2）一个. 【解析】 【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性； （2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数. 【小问1详解】 在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 由(1)知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 0 + 极小 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 17. 某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样 产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样 产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． （1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； （2）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； （3）已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望； （3）甲生产线上的产品质量更好，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得； （2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可； （3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.) 【小问1详解】 记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则． 所以该产品满足且概率为． 【小问2详解】 由表格数据，用频率估计概率， 可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为； “从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为. 由题意，的所有可能取值为． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为． 【小问3详解】 甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上值的平均值， 乙生产线上值平均值， 所以甲生产线上值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好． 其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产品的值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． 18. 已知 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解； （3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． 【小问3详解】 由(2)可知且，从而， 因为在上恒成立， 令， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， ①当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． ②当时，， 所以有两个不等实根（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 19. 已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为 （1）若，请直接写出； （2）若，求； （3）若，求的最小值 【答案】（1）； （2）160； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可求得，从而可求出； （2）由题意可得，然后可依次求出，从而可求出； （3）先证明：，方法一：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于，方法二：利用反证法，假设，则，然后推理证明；然后，证明存在符合要求的数列，构造，分析判断即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以可知， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为对任意，都有， 所以依次为 ， ， ， ， ，… 所以． 【小问3详解】 ． 先证明：． 方法1：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于， 因为，所以，从而， 因为，所以，即． 方法2：假设，则． 则， 因为满足的必要条件是（因为若，则，不等式不成立）， 所以小于的和式至多有以下情况： ； ； …… ； 共，不合题意． 其次，证明存在符合要求的数列． 构造：令． 显然满足， 且． 此时，，故． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 20. 设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 【答案】（1），单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可； （2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意． 【小问1详解】 因为， 若选①②：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以，此时不存在； 选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以， 由③是的一条对称轴，则，， 所以，，所以， 所以，则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间为； 若选①③：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由③是的一条对称轴，则，，所以，， 此时不存在； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以， 所以，， 因为对于任意的，都有，所以， 即的取值范围为． 21. 设为正整数，集合．对于集合中任意元素和，定义，，以及． （1）若，，，，求； （2）若，均为中的元素，且，，求的最大值； （3）若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，然后直接根据定义解得的值即可； （2）根据已知条件考虑中所有等于的分量的个数，得到，再对构造符合条件的例子； （3）直接通过反证法说明不可能成立，然后对构造符合条件的例子. 【小问1详解】 设，则由，，知. 所以，得 而，故，从而. 所以. 【小问2详解】 由已知有，， 这些条件的含义是，都恰有个分量等于，且任意两个不同向量没有同时为的分量. 由于，故一共只有个分量，这表明全体的所有分量中，至多有个. 而显然一共有个，故，得. 显然，，满足条件，此时. 这就说明的最大值是. 【小问3详解】 由，，知，. 而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等. 根据题目内容，已有. 若，则，，且恰有个分量不相等，恰有个分量不相等. 换言之，恰有个分量相等，恰有个分量相等. 而，故一定存在，使得的第个分量不相等，的第个分量也不相等. 这就表明的第个分量相等，但，，它们没有相等的分量，矛盾； 这就表明. 注意到，，，满足全部条件，此时. 所以的最小值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及构造性地给出符合条件的例子. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共6页，共两部分.19道题，共100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 的展开式中，所有二项式系数的和为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若等比数列的前项和，则公比（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在区间上平均变化率最大的时（ ） A B. C. D. 5. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A B. C. D. 7. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数．若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 10. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 的展开式中含项的系数为_________． 12. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 13. 已知数列是公比为2的等比数列，若，则 ________． 14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 15. 已知数列的前项和为，满足，当时，．给出下列四个结论:①当时，； ②当时，； ③当时，恒成立； ④当时，从第三项起为递增数列． 其中所有正确结论的序号为_________． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 17. 某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样 产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样 产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． （1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； （2）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； （3）已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 18. 已知 （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为 （1）若，请直接写出； （2）若，求； （3）若，求的最小值 20. 设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：是的一条对称轴． 21. 设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及． （1）若，，，，求； （2）若，均为中的元素，且，，求的最大值； （3）若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$