2024年黑龙江省哈尔滨市松北区美佳外国语学校初中部中考数学一模试卷

2024年黑龙江省哈尔滨市松北区美佳外国语学校初中部中考数学一模试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）9的相反数是（　　） A． B．9 C．﹣9 D．﹣ 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6 C．a•a4＝a4 D．（a3b）2＝a6b2 3．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，若∠ACB＝50°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 6．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球（　　） A． B． C． D． 7．（3分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小（　　） A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3 8．（3分）据息，2022年哈尔滨冰雪大世界的冰雪用量为15万立方米，自这一年起，2024年冰雪大世界的冰雪用量为25万立方米，若每年的冰雪用量增长率相同，可列方程为（　　） A．25（1﹣x）2＝15 B．25（1+x）2＝15 C．15（1+x）2＝25 D．15（1﹣x）2＝25 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，F分别在边AB，CD上，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11．（3分）红军长征的总行程约为65000里，将数65000用科学记数法表示为 　 　． 12．（3分）计算的结果是 　 　． 13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 14．（3分）把多项式xy2﹣x分解因式的结果是 　 　． 15．（3分）不等式组的解集是 　 　． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°AB的长为半径，分别以点A，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE　 　． 17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 　 　cm． 18．（3分）如图所示，一副三角板的直角顶点重合，且点D在斜边AB上，若OA＝OD，则∠BFE＝　 　°． 19．（3分）已知长方形ABCD，，BC＝3，点P为边CD上一点，则tan∠ABP的值为 　 　． 20．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，则BE的长 　 　． 三、解答题（21-22题，每题7分；23-24题，每题8分；25-27题每题10分，共计60分） 21．（7分）先化简，再求代数式的值 22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和点D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P）请画出△MNP； （2）连接DP，在方格纸中画出以DP为斜边的等腰Rt△DEP（点E在小正方形的顶点上），连接BE 23．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程） 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为 　 　°； （3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）当点E为OA中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于 25．（10分）在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，武汉市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆 （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； （2）若该公司购买A型和B型环保节能公交车共10辆，且总费用不超过360万元，则至少购进A型环保节能公交车多少辆？ 26．（10分）【问题情境】在“综合与实践”课上，老师准备一个直角三角形ABC，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，其中点A和点C的对应点分别为点A′、C′． （1）【数学思考】如图1，当点A′落在AC的延长线上时，则AA′＝　 　； （2）【深入探究】学生在旋转△ABC的过程中， ①“善思小组”提出问题：如图2，连接AA′、CC′交于点D，猜想：∠A′CD+∠ACD＝180°； ②“智慧小组”提出问题：如图3，连接AA′、CC′，射线C′C与A′B交于点M，点E为AC的中点，连接DE，若 27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线OA与x轴所交的锐角为60°． （1）如图1，求直线OA解析式； （2）如图2，点P是第二象限直线OA上一点，点C为x轴正半轴上一点，若点B为PC中点，设OB的长度为t，求S与t的函数关系式；（不用写出自变量t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，K为PO延长线上一点，且，点F在OB上，连接EF，点H在GE上，连接HK，若EG＝FG＝KD，∠FHK＝60°，当时 2024年黑龙江省哈尔滨市松北区美佳外国语学校初中部中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）9的相反数是（　　） A． B．9 C．﹣9 D．﹣ 【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：根据相反数的定义，得9的相反数是﹣9． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 注意：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6 C．a•a4＝a4 D．（a3b）2＝a6b2 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、3a+2b，故此选项不合题意； B、a7•a3＝a5，故此选项不合题意； C、a•a3＝a5，故此选项不合题意； D、（a3b）8＝a6b2，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（3分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看，是一列三个小正方形， 故选：C． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键． 5．（3分）如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，若∠ACB＝50°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．25° C．40° D．50° 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ABC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝40°，再利用同弧所对的圆周角相等可得：∠A＝∠D＝40°，即可解答． 【解答】解：∵AC为圆O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°， ∴∠A＝∠D＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球（　　） A． B． C． D． 【分析】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果， ∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为， 故选：C． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7．（3分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小（　　） A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3 【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵双曲线y＝，当x＞0时， ∴k﹣8＞0，解得k＞3． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 8．（3分）据息，2022年哈尔滨冰雪大世界的冰雪用量为15万立方米，自这一年起，2024年冰雪大世界的冰雪用量为25万立方米，若每年的冰雪用量增长率相同，可列方程为（　　） A．25（1﹣x）2＝15 B．25（1+x）2＝15 C．15（1+x）2＝25 D．15（1﹣x）2＝25 【分析】根据2022年及2024年冰雪大世界的冰雪用量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设这个增长率为x，可列方程为15（1+x）2＝25， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，F分别在边AB，CD上，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠EFD＝∠BEF＝60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处， ∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E， ∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°， ∴B'E＝2AE， 设BE＝x，则B'E＝x， ∴2（6﹣x）＝x， 解得x＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号． 由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线x＝2知，x＝﹣，则2a+b＝8． 故该结论正确； ③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞2． 故该结论正确； ④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有8个． 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11．（3分）红军长征的总行程约为65000里，将数65000用科学记数法表示为 　6.5×104　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：65000＝6.5×102． 故答案为：6.5×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）计算的结果是 　　． 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式． 【解答】解： ＝ ＝（1﹣） ＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式加减的运算能力，关键是能准确化简、计算． 13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠﹣2　． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案． 【解答】解：根据题意得：x+2≠0， 解可得：x≠﹣6． 【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 14．（3分）把多项式xy2﹣x分解因式的结果是 　x（y﹣1）（y+1）　． 【分析】先提取公因式x，再用完全平方公式分解因式． 【解答】解：xy2﹣x ＝x（y2﹣2） ＝x（y﹣1）（y+1）， 故答案为：x（y﹣7）（y+1）． 【点评】本题主要考查分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．（3分）不等式组的解集是 　﹣3＜x＜2　． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解： 由﹣2x＜2得：x＞﹣3， 由x﹣2＜5得x＜2， 故该不等式组的解集是﹣3＜x＜4， 故答案为：﹣3＜x＜2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°AB的长为半径，分别以点A，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE　45°　． 【分析】根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°， 由作图可知，EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°， 故答案为45°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 　2π　cm． 【分析】根据弧长公式可得结论． 【解答】解：根据题意，扇形的弧长为， 故答案为：2π 【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 18．（3分）如图所示，一副三角板的直角顶点重合，且点D在斜边AB上，若OA＝OD，则∠BFE＝　105　°． 【分析】根据一副三角板的特征得出∠A＝60°，∠E＝45°，∠AOB＝∠DOE＝90°，由OA＝OD得出△AOD是等边三角形，即可求出∠BOD的度数，于是可求出∠BOE的度数，最后根据三角形外角的性质即可得解． 【解答】解：由题意得，∠A＝60°，∠AOB＝∠DOE＝90°， ∵OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣30°＝60°， ∵∠BFE是△OEF的一个外角， ∴∠BFE＝∠E+∠BOE＝45°+60°＝105°， 故答案为：105． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角的计算，熟练掌握一副三角板的特征是解题的关键． 19．（3分）已知长方形ABCD，，BC＝3，点P为边CD上一点，则tan∠ABP的值为 　或　． 【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°，求得∠DAP＝∠BPC，根据相似三角形的性质得到PC＝3或PC＝，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4， ∵∠APB＝90°， ∴∠DAP+∠APD＝∠APD+∠BPC＝90°， ∴∠DAP＝∠BPC， ∴△APD∽△PBC， ∴， ∴＝， ∴PD＝3或PD＝， ∴PC＝3或PC＝， ∵AB∥CD， ∴∠BPC＝∠ABP， ∴tan∠ABP＝tan∠BPC＝＝＝或tan∠ABP＝tan∠BPC＝＝， 故答案为：或． 【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，则BE的长 　6　． 【分析】延长BC到F，使DE＝DF，连接AF，设∠B＝2α，则∠ACB＝2∠B＝4α，则∠BAC＝180°﹣6α，根据角平分线的定义得∠BAE＝∠BAC＝90°﹣3α，进而得∠AEF＝∠B+∠BAE＝90°﹣α，则∠F＝∠AEF＝90°﹣α，由此得∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝5α﹣90°，∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°﹣α＝∠F，进而得AB＝FB＝BE+EF，再根据AB﹣BE＝EF得EF＝4，则DE＝DF＝2，设BE＝a，则AD＝BE＝a，AB＝BE+4＝a+4，BD＝BE+DE＝a+2，然后Rt△ABD中利用勾股定理求出a的值即可得BE的长． 【解答】解：延长BC到F，使DE＝DF，如图所示： 设∠B＝2α，则∠ACB＝2∠B＝2α， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣6α， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝， ∴∠AEF＝∠B+∠BAE＝4α+90°﹣3α＝90°﹣α， ∵AD⊥BC，DE＝DF， ∴AD为EF的垂直平分线， ∴AE＝AF， ∴∠F＝∠AEF＝90°﹣α， ∵∠ACB＝∠F+∠CAF， ∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝4α﹣（90°﹣α）＝3α﹣90°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝180°﹣6α+5α﹣90°＝90°﹣α， ∴∠F＝∠BAF＝90°﹣α， ∴AB＝FB， 即AB＝BE+EF， ∴AB﹣BE＝EF， 又∵AB﹣BE＝4， ∴EF＝4， ∴DE＝DF＝2， 设BE＝a，则AD＝BE＝a，BD＝BE+DE＝a+4， 在Rt△ABD中，AB＝a+4，AD＝a， 由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2， 即a2+（a+3）2＝（a+4）7， 整理得：a2﹣4a﹣12＝6， 解得：a1＝6，a7＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴BE＝a＝6． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活利用三角形的内角和定理，三角形的外角定理找出角之间的关系是解决问题的关键． 三、解答题（21-22题，每题7分；23-24题，每题8分；25-27题每题10分，共计60分） 21．（7分）先化简，再求代数式的值 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解： ＝÷ ＝÷ ＝• ＝， 当a＝2cos30°+3＝2×+1＝， 原式＝＝＝． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和点D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P）请画出△MNP； （2）连接DP，在方格纸中画出以DP为斜边的等腰Rt△DEP（点E在小正方形的顶点上），连接BE 【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可； 【解答】解：（1）如图，△MNP即为所求； （2）如图，△DEP即为所求＝． 【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，等腰直角三角形等知识，利用勾股定理得出FG和EG的长是解题的关键． 23．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程） 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查了多少名学生； （2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为 　63　°； （3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数． 【分析】（1）利用选择篮球项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）求出选择乒乓球项目的人数，再补全条形统计图即可；用360°乘选择“足球”所占的百分比即可； （3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”的比例即可得． 【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：36÷30%＝120（名）， 答：本次调查了120名学生； 故选择乒乓球项目的人数为：120﹣30﹣21﹣36＝33（名）， 补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝63°， 故答案为：63； （3）2000×＝550（名）， 答：估计该校选择“乒乓球”课程的学生人数为550名． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）当点E为OA中点时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于 【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出＝，再由垂径定理得出＝＝，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论； （2）结合垂径定理求出△OAD是等边三角形，根据等边三角形的性质、圆周角定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点， ∴＝， ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴＝， ∴＝， ∴∠ADH＝∠CAD， ∴AF＝DF． （2）解：∠DAF，∠ADF，∠B 连接OD， ∵点E为OA中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分OA， ∴AD＝OD＝OA， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD＝∠DAB＝60°， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵∠B+∠ODB＝∠AOD＝∠DAB， ∴∠B＝∠DAB＝30°， 由（1）得，＝＝， ∴∠ADF＝∠DAF＝∠B＝30°＝∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CAB＝60°﹣30°＝30°＝∠DAB， ∴等于∠DAB的角有：∠DAF，∠CAB． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 25．（10分）在城市创卫工作中为“保护好环境，拒绝冒黑烟”，武汉市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆 （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； （2）若该公司购买A型和B型环保节能公交车共10辆，且总费用不超过360万元，则至少购进A型环保节能公交车多少辆？ 【分析】（1）设购买A型公交车每辆需要x万元，B型公交车每辆需要y万元，根据若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10﹣m）辆，根据总费用不超过360万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需要x万元，B型公交车每辆需要y万元， 依题意，得：， 解得： 答：购买A型公交车每辆需要30万元，B型公交车每辆需要45万元． （2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10﹣m）辆， 依题意，得：30m+45（10﹣m）≤360， 解得：m≥6， 答：至少购进A型环保节能公交车5辆． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 26．（10分）【问题情境】在“综合与实践”课上，老师准备一个直角三角形ABC，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，其中点A和点C的对应点分别为点A′、C′． （1）【数学思考】如图1，当点A′落在AC的延长线上时，则AA′＝　8　； （2）【深入探究】学生在旋转△ABC的过程中， ①“善思小组”提出问题：如图2，连接AA′、CC′交于点D，猜想：∠A′CD+∠ACD＝180°； ②“智慧小组”提出问题：如图3，连接AA′、CC′，射线C′C与A′B交于点M，点E为AC的中点，连接DE，若 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知AB＝A′B，最后由等腰三角形的性质即可求出AA′的长． （2）①根据旋转的性质可得AB＝A′B，CB＝C′B，∠ABA'＝∠CBC'，得出∠BAA'＝∠BA'A＝∠BC'C＝BCC'，进而得出∠A'C'D＝90°﹣α，∠ACD＝90°+α，即可求解； ②作AP且交C′D延长线于点P，连接A'C，由题意易证明∠BCC'＝∠BC'C，∠ACP＝90°﹣∠BCC'，∠A'C'D＝90°﹣∠BC'C，即得出∠ACP＝∠A′C′D，再由平行线性质可知∠APC＝∠A′C′D，即得出∠ACP＝∠APC，即可证明AP＝AC＝A'C'，由此即易证△APD≌△A'C'D（AAS），得出AD＝A′D，即点D为AA′中点，从而证明DE为△ACA′的中位线，即，进而根据等面积法求得MN的长度，根据平行线分线段成比例可得，得出△MNC是等腰直角三角形，然后得出BC∥A'C'，延长AC交A'C'于点Q，连接A'C，得出四边形CBC′Q是正方形，勾股定理求得A'C，即可求解． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，， 根据旋转性质可知AB＝A'B， 即△ABA'为等腰三角形， ∵∠ACB＝90°， 即BC⊥AA'， ∴A'C＝AC＝4， ∴AA'＝6， 故答案为：8． （2）①证明：∵将△ABC绕着点B顺时针旋转得到△A'BC'， ∴AB＝A′B，CB＝C′B， ∴∠BAA'＝∠BA'A＝∠BC'C＝BCC'， 设∠BAA'＝∠BA'A＝∠BC'C＝BCC'＝α， ∴∠A'C'D＝90°﹣α，∠ACD＝90°+α， ∴∠A'C'D+∠ACD＝180°； ②解：如图，作AP∥A'C'且交C′D延长线于点P，过点M作MN⊥A′C′于点N， ∵BC＝BC'， ∴∠BCC'＝∠BC'C， ∵∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'， 即∠ACP＝90°﹣∠BCC'， 又∵∠A'C'D＝90°﹣∠BC'C， ∴∠ACP＝∠A'C'D， ∵AP∥A'C'， ∴∠APC＝∠A'C'D， ∴∠ACP＝∠APC， ∴AP＝AC， ∴AP＝A'C'， 在△APD和△A′C′D中， ， ∴△APD≌△A'C'D（AAS）， ∴AD＝A′D， 即点D为AA′中点， ∵点E为AC中点， ∴DE为△ACA′的中位线， ∴， ∴A'C'＝AC＝4，S△A′MC′＝， ∴MN＝， ∵∠A'C'B＝∠ACB＝90°， ∴MN∥BC， ∴， ∴， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∴∠CC'B＝∠A'CB﹣∠A'C'B＝45°， 又∵BC＝BC′， ∴△BCC′是等腰直角三角形， ∴∠CBC'＝90°， ∴BC∥A'C'， 延长AC交A'C'于点Q，连接A'C， ∴四边形CBC'Q是矩形， 又∵BC＝BC'， ∴四边形CBC′Q是正方形， ∴C′Q＝CQ＝4，A'Q＝A'C﹣C'Q＝4﹣3＝6， 在Rt△A'CQ 中，， ∴． 【点评】本题是几何变换的综合题，考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，正确的作出辅助线是解题关键． 27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线OA与x轴所交的锐角为60°． （1）如图1，求直线OA解析式； （2）如图2，点P是第二象限直线OA上一点，点C为x轴正半轴上一点，若点B为PC中点，设OB的长度为t，求S与t的函数关系式；（不用写出自变量t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，K为PO延长线上一点，且，点F在OB上，连接EF，点H在GE上，连接HK，若EG＝FG＝KD，∠FHK＝60°，当时 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，设HO＝a（a＞0），根据含30°角直角三角形的性质，得到AH＝a，根据第二象限内点的特征，可得点A的坐标为（﹣a，a），由直线OA经过坐标原点，设OA的解析式为y＝kx，运用待定系数法即可求得答案； （2）过点P作PT⊥y轴于点T，由点B为PC中点，得到△PBT≌△CBO（AAS），用含t的代数式，依次表示出BT，OT，根据锐角三角函数，表示出PT，OC，Z再运用三角形面积公式即可求解； （3）过点G作GJ⊥y轴于J，作FL⊥OA于L，在射线LO上截取LM＝JG，作GN⊥x轴于N，作KQ⊥x轴于Q，连接FM，MG，GD，由S＝72，得到t，进而求出OB，CO，结合OB＝OK，求出OK，由△FLM≌△FJG，得到FM＝FG，△FMG是等边三角形，再证得四边形MKDG是平行四边形，设ND＝a，由△BCO∽△GCN，可得CN＝2a，再运用勾股定理即可求得答案． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴于点H，如图1， ∵直线OA与x轴所交的锐角为60°， ∴∠AOH＝60°， 在Rt△AOH中，设HO＝a（a＞0）， 则＝tan∠AOH＝tan60°＝， ∴AH＝a， ∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为（﹣a，a）， ∵直线OA经过坐标原点， ∴设直线OA的解析式为y＝kx， 将A（﹣a，a）代入y＝kxa＝﹣ka， 解得：k＝﹣， ∴直线OA解析式为y＝﹣x； （2）解：过点P作PT⊥y轴于点T，如图2， ∵点B为PC中点， ∴PB＝CB， ∵∠PTB＝∠COB＝90°，∠PBT＝∠CBO， ∴△PBT≌△CBO（AAS）， ∴PT＝CO，BT＝OB＝t， ∵∠POT＝90°﹣60°＝30°， ∴CO＝PT＝OT•tan∠POT＝2t•tan30°＝t， ∴S＝CO•OT＝×t2， 即S与t的函数关系式为S＝t2； （3）解：当S＝72时，t2＝72， 解得：t＝6， ∴OB＝t＝6，CO＝t×6， ∵OB＝OK， ∴OK＝OB＝×6， 如图7，过点G作GJ⊥y轴于J，在射线LO上截取LM＝JG，作KQ⊥x轴于Q， 连接FM，MG， ∵EG＝FG，JG∥OE， ∴＝＝1， ∴FJ＝JO， ∵∠LOF＝90°﹣60°＝30°，∠FLO＝90°， ∴FL＝OF＝， 在△FLM和△FJG中， ， ∴△FLM≌△FJG（ASA）， ∴FM＝FG，∠LFM＝∠JFG， ∴∠LFM﹣∠OFM＝∠JFG﹣∠OFM， 即∠LFO＝∠MFG＝60°， ∴△FMG是等边三角形， ∴MG＝FG＝KD，∠FGM＝60°， ∵∠FHK＝60°， ∴MG∥AD， ∴四边形MKDG是平行四边形， ∴GD＝MK，GD∥OK， ∴∠GDN＝60°， 设ND＝a，则NG＝a， ∵GN∥BO， ∴△BCO∽△GCN， ∴＝，即＝， ∴CN＝2a， ∴JG＝ON＝OC﹣NC＝12﹣2a，FJ＝JO＝NG＝a， 在Rt△FJG中，FG2＝JG2+JF5＝（12﹣2a）2+（a）2， ∵OP＝OK＝，QK＝×6＝3， ∴QD＝OC﹣OQ﹣DC＝12﹣3﹣a＝9﹣a， 在Rt△QKD中，KD3＝QK2+QD2＝（3）2+（4﹣a）2， ∵KD＝FG， ∴（3）2+（9﹣a）5＝（12﹣2a）2+（a）2， 解得：a＝2或a＝5（舍去）， ∴OD＝OC﹣DC＝12﹣a＝12﹣2＝10， ∴D（10，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了运用待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质与判定等，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:32:13；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$