精品解析：四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

自贡一中高2025届高二下学期六月月考 数学试题 第一部分（选择题共58分） 一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导运算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 24 B. 28 C. 20 D. 32 3. 某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ） A. 3173 B. 6346 C. 6827 D. 13654 4. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位 B. 线性回归方程中 C. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 5. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分） 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数越接近，变量相关性越强 B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C. 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 10. 下列说法正确的是（    ） A. 空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体 B. 甲､乙､丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表 C. 从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个 D. 个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 第二部分（非选择题共92分） 三．填空题（每题5分，共15分） 12. 已知随机变量，且，则____________． 13. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是____________ 14. 甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种. 解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望； （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件） 17. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）请表示2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性. （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 18. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； （2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 19. 已知函数. （1）当时，证明：是增函数. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）证明：（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡一中高2025届高二下学期六月月考 数学试题 第一部分（选择题共58分） 一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导运算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C 2. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 24 B. 28 C. 20 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可. 【详解】设展开式中第项含x项，则， 令，解得，因此， 所以的展开式中含项的系数为28. 故选：B 3. 某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ） A. 3173 B. 6346 C. 6827 D. 13654 【答案】A 【解析】 【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，又， 故， 则80分以上的人数大约是人. 故选：A. 4. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位 B. 线性回归方程中 C. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断C选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断AD选项. 【详解】根据线性回归方程可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故A正确. 由已知数据得，， 代入中得到，故B错误； 从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故C正确； 将代入中得到，故D正确. 故选：B. 5. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【详解】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C 6. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，由得到函数的单调递减区间，则是函数单调递减区间的子集，从而求出的取值范围． 【详解】， ，令得：， 函数的单调递减区间为，函数在上单调递减， ，， 又函数在上连续，或， 或. 故选：C． 7. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案. 【详解】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解. 二．多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分） 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数越接近，变量相关性越强 B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C. 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相关系数与决定系数的意义分析判断即可. 【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确； 对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误； 对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确； 对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（    ） A. 空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体 B. 甲､乙､丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表 C. 从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个 D. 个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用组合数计算，判定A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B；按照首位分类，利用排列数计算可以判定C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D. 【详解】对于：空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以 有种取法，即可以作个不同的四面体，A正确； 对于B：分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六， 有种排法；则值班方案种数为种，B错误； 对于C：分种情况讨论：①五位数的首位为时，有个五位数， ②五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个五位数， 则共有个大于五位数，C正确； 对于D：分步进行：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中 任选个，放入三组小球，有种情况，则有种不同的放法，D正确； 故选：ACD. 11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A；数形结合判断B、C；赋值方法判断D 【详解】由题意得， 当时，，得， 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1， 又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对； 当时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以 分别画出和的图象， 得函数的零点个数为3，B对； 令，得或或， 令，得，或， 如图，分别画出的图象， 由图可知：函数的零点个数为7， C 对； 令，则， 故D错； 故选：ABC 【点睛】方法点睛： 对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第二部分（非选择题共92分） 三．填空题（每题5分，共15分） 12. 已知随机变量，且，则____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，则，由二项分布可知，根据题意列式求解即可. 【详解】因为，且， 可知，即，则， 又因为，则， 且，即，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用导数分析可知为奇函数，且在内单调递增.根据单调性和奇偶性解不等式. 【详解】因为的定义域为， 且， 可知为奇函数， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可知，则， 可知在内单调递增， 综上所述：为奇函数，且在内单调递增. 因为，则， 可得，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有___________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分甲或乙参加A活动和甲和乙都不参加A活动，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种. 故答案为：. 解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）直接利用导数的几何意义求解； （2）求出函数的极值点，极值，再计算端点的函数值并比较大小得出最值. 【小问1详解】 因为，所以，则， 又，则切点， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 令，解得；令，解得 则、、情况如下： 2 － 0 + 递减 极小值0 递增 易知；又，所以. 16. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望； （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件） 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 P ； （2），合理性：新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈， ∴ 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【解析】 【分析】（1）先分析的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出的概率分布以及数学期望； （2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性. 【详解】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2 ，， ∴X的分布列如下： X 0 1 2 P ． （2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈， ∴ 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系： （1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题； （2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题； （3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布. 17. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）请表示2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性. （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 【答案】（1） 由已知可得，，， 由题可列下表： 0 1 2 1.3 0.4 则， 可得， 因为很接近于1，所以与之间具有较强的线性相关关系. （2） 由（1）可知：可用线性回归模型进行描述． 则，， 所求经验回归方程为． 令，则， 预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为． 【解析】 【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数求，即可得出答案； （2）根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程；将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； （2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值，由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望； （2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得: 解得 这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为: 0 1 2 3 则其期望为 【小问2详解】 由（1）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 19. 已知函数. （1）当时，证明：是增函数. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）证明：（，）. 【答案】（1） 证明：当时，，定义域为， 则. 令，则在上恒成立， 则在上单调递增， 则，故在上恒成立，是增函数. （2） （3） 证明：由（2）可知，当时，有，则， 所以，…，， 故. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到，求出的求值范围； （3）由（2）可知，当时，，所以，…，，相加后得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，等价于， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以. 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，所以，即，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由前面几问中的特征式的特征而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $