精品解析：湖南省衡阳市衡南县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年上学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 时量：120分钟满分：120分 请考生注意：请把答案写在2~6页的答卷上 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．） 1. 下面是小红所写的式子，其中，是一元一次方程的有（　　） ①5x﹣2；②3+5=﹣1+9；③5﹣x=2x﹣8；④x=0；⑤x+2y=9． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不能用同一种作平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 不等式的正整数解有（ ）个 A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 已知三角形的两边长分别是和，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 3 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 7 10. 如图：在边长为正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置（ ） A. 在线段上 B. 在线段上 C. 处 D. 在线段上 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 11. 已知是关于x的一元一次方程，则m的值为_______． 12. 若满足方程组，互为相反数，则的值为________________． 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 14. 某品牌电热水壶的进价为每个200元，以每个300元的标价山售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可按标价的______折出售． 15. 已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 _____． 16. 将沿方向平移3个单位得到．若的周长等于8，则四边形的周长为____． 17. 如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，_________． 18. 在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共8小题，共计66分） 19. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 20. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 21. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为． （1）求这个多边形的边数； （2）如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________． 22. 如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 23. 已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 24. 衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货单价各是多少元？ （2）商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ （3）在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 25. 定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． （1）若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； （3）已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． （4）已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 26. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 时量：120分钟满分：120分 请考生注意：请把答案写在2~6页的答卷上 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．） 1. 下面是小红所写的式子，其中，是一元一次方程的有（　　） ①5x﹣2；②3+5=﹣1+9；③5﹣x=2x﹣8；④x=0；⑤x+2y=9． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义对各小题分析判断即可得解．通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的方程叫一元一次方程. 【详解】①5x−2不是等式； ②3+5=−1+9不是方程； ③5−x=2x−8是一元一次方程； ④x=0是一元一次方程； ⑤x+2y=9是二元一次方程； 综上所述，是一元一次方程的有③④共2个． 故选B. 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，需要注意的是：必须是整式方程. 2. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟记概念是关键． 3. 下列图形中，不能用同一种作平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌、正多边形的内角和等知识点，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件逐项判断即可解答． 【详解】解：A、正三角形的每个内角的度数为，且是整数，则正三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意； B、正方形的每个内角的度数为，且是整数，正方形能实施平面镶嵌，此项不符题意； C、正五边形的每个内角的度数为，且，不是整数，正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意； D、正六边形的每个内角的度数为，且是整数，正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意． 故选：C． 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． 5. 不等式的正整数解有（ ）个 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握好解一元一次不等式的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．注意系数化为1时，若未知数系数为负，不等号的方向要改变．先去分母，再移项，系数化为1，即可得到不等式的解集，从而得到正整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解有，，，共3个； 故选A 6. 已知三角形的两边长分别是和，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形三边的大小关系即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，设第三边长为， ∴，即， ∴第三边长可能是， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形三边长的数量关系，掌握两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的知识是解题的关键． 7. 已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接把两式相加即可得出结论． 【详解】， ①+②得，4x+4y=20，解得x+y=5． 故选A． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键． 由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为：． 故选：C． 10. 如图：在边长为的正的边上有甲、乙两个动点，它们从处同时出发，沿着三角形的三边顺时针不停的运动．若甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，则乙在第2024次追上甲时，这两个动点所在的位置（ ） A. 在线段上 B. 在线段上 C. 处 D. 在线段上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，涉及行程问题公式：路程速度时间、环形运动追击问题等知识，读懂题意，理解追击问题相遇后两者路程相距圈数的整数倍是解决问题的关键． 【详解】解：乙在第2024次追上甲时， 设花费时间为秒，则可得，解得， 甲、乙两个动点相遇，则处于同一点， 甲运动的路程为， 正的边长为， 甲运动一周是， ，即甲在处， 这两个动点所在位置在处， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 11. 已知是关于x的一元一次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若满足方程组的，互为相反数，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法及相反数的性质是解本题的关键． 把m看作已知数表示出x与y，代入计算即可求出m的值． 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∵x与y互为相反数， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 13. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】a≤－1 【解析】 【分析】由于大大小小找不到，得到，解不等式即可求出a的取值范围. 【详解】不等式组, 因为不等式组无解， 所以, 解得： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确理解“大大小小找不着”． 14. 某品牌电热水壶的进价为每个200元，以每个300元的标价山售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可按标价的______折出售． 【答案】7 【解析】 【分析】设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可． 【详解】解：设按标价的x折出售 由题意得： 解得： 最低可按标价的7折出售 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 15. 已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解：为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 16. 将沿方向平移3个单位得到．若的周长等于8，则四边形的周长为____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：的周长为8， ， 由平移的性质可知：，， 四边形的周长= ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查是平移的性质，熟记平移的性质、平移前后的两个图形对应点的连线相等是解题的关键． 17. 如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时，_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小，， 当周长最小时，， 故答案为：3． 18. 在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴；故②正确， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确， 综上正确有：①②④． 【点睛】此题考查了三角形内角和性质和外角和的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 三、解答题（本大题共8小题，共计66分） 19. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，熟知加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， ∴； 【小问2详解】 解：， 用得：， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； 20. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 21. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为． （1）求这个多边形的边数； （2）如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________． 【答案】（1）12 （2）150° 【解析】 【分析】（1）已知一个多边形的内角和与外角和的差为，外角和是360度，因而内角和是1800度．n边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n； （2）根据正多边形每个内角相等，用多边形的内角和除以边数计算即可． 【小问1详解】 解：设此多边形的边数为n，则： ， 解得：． 答：这个多边形的边数为12． 【小问2详解】 解：这个正多边形的每一个内角是： 【点睛】本题考查多边形内角和与外角和，正多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和是解题的关键． 22. 如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）10° （2）125° 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得，结合直角三角形的两个锐角互余，得，即可作答． （2）先由角平分线的定义得，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的平分线， ∴ ∵是高， ∴在中， ∴ 【小问2详解】 解：∵是角平分线 ∴ ∴ 23. 已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴, ∴ ； 【小问3详解】 解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 24. 衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ （3）在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元 （2）共有4种进货方案 （3）方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．根据题意找出数量关系，列出方程或不等式组是解题关键． （1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，求出m的解集，结合m的实际意义，即可确定m的值，即得出几种方案． （3）最后根据A、B的进货单价，先判断最低费用的方案，再计算即可． 【小问1详解】 解：设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元； 【小问2详解】 解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取72、73、74、75， ∴共有4种进货方案， 方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台； 方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台； 方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台； 方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台． 答：共有4种进货方案． 【小问3详解】 解：∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价， ∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低， 最低费用为元． 答：方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元． 25. 定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． （1）若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； （3）已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． （4）已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 【答案】（1）A （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值； （4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可． 【小问1详解】 解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为， ∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集， 故答案为：A； 【小问2详解】 解：不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中， ∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：解不等式组M：得：， ∵不等式组M有解， ∴， ∵N：是不等式组的“子集”， ∴，， ∴， 故答案为：． 26. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）能，或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：是的内半角，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： ， ， ，， 是的内半角， ， ， 旋转的角度为时，是的内半角； 【小问3详解】 解：在旋转一周过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1，是的内半角，， ， ， 解得：， ； 如图2，是的内半角，， ， ， ， ； 如图3，是的内半角，， ， ， ， ， 如图4，是的内半角，， ， ， 解得：， ， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$