精品解析：吉林省长春市宽城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初二期末测试题 数学2024．7 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴． 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，直接根据二次根式有意义的条件是被开方数非负作答即可． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 4. 如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为( ) A. (－3，－2) B. (－2，3) C. (－2，－3) D. (2，－3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，利用中心对称即可解题． 【详解】解：由题可知▱ABCD关于点O中心对称， ∴点A和点C关于点O中心对称， ∵A(2，3)， ∴C(－2，－3)， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，解题的关键是熟悉中心对称的点的坐标变换． 5. 某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 专业知识 语言表达 测试成绩（分） 70 80 92 这三项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩，则这位应聘者的最终成绩为（ ） A. 79.5分 B. 80.2分 C. 80.7分 D. 82.3分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，在计算过程中要弄清楚各数据的权． 根据加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解： （分． 故这位应聘者最后的得分为79.5分． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且随着的增大而减小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的增减性，先根据一次函数经过得到，则，再由增减性可得，则，据此求出函数解析式，进而求出点A的坐标即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∵随着的增大而减小， ∴，即， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，先证明四边形是矩形，可得，从而得到当最小时，取得最小值，当时，线段的值最小，再由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，取得最小值， ∴由垂线段最短可得，当时，线段的值最小， 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点的坐标求出值即可． 【详解】解：∵点横坐标为， ∴， ∵直线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方．根据二次根式的乘方运算法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 一组数据，，，的平均数是2，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数的定义列式，再计算即可． 【详解】∵的平均数是2， ∴， 解得． 故答案为：6． 11. 在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1向上平移3个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是_____． 【答案】y＝2x+2 【解析】 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式． 【详解】解：把直线y=2x-1向上平移3个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是y=2x-1+3，即y=2x+2． 故答案为：y=2x+2． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 12. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理；由菱形的性质得，，，所以，则，根据三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 为的中点，为边的中点， ， 故答案为：． 13. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为__________． 【答案】2500 【解析】 【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得， 即反比例函数为：， 将代入， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．根据矩形对边相等及勾股定理可判断①；根据矩形的判定定理可判断③；先证，推出，再证，推出，可判断④． 【详解】解：矩形中，，， ，， ， 故①正确； ，，， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 故③正确； 矩形中，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 如图，设、分别交于J，K， ， ， 又，， ， ， 四边形是矩形， ，， 平分四边形的周长． 故④正确； 现有条件不能证明②； 综上可知，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． （1）求、的值； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，再分别求得的坐标，据此即可求解． 【小问1详解】 解：将分别代入与中， ， ，． 【小问2详解】 轴， 轴． ， 点、的纵坐标为1． ，． ． 17. 如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ． 【详解】证明：∵四边形平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，点在上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图1中，画出线段的中点； （2）在图2中，以为对角线画一个矩形； （3）在图3中，以为边画一个▱． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质； （1）根据网格的特点和网格线的交点即为所求； （2）根据网格的特点构造矩形，即可求解； （3）根据网格特点，利用平行四边形的性质，构造平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 点即为所作； 【小问2详解】 如图，四边形即为所作； 【小问3详解】 如图，四边形即为所作； 19. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． （1）求、两点的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【小问1详解】 解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 20. 6月5日是世界环境日，为了提高学生的环保意识，某校七、八年级举行了环保知识竞赛，全体学生参加比赛．为了解学生的答题情况，学校从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如下信息： 七、八年级各抽取的10名学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 87 八年级 85.5 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________． （2）七、八年级各抽取的这10名学生成绩的方差分别记为、，请判断________．（填“>”“<”或“=”） （3）若规定成绩85分及以上为优秀，七、八年级各有200名学生，请估计该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数． 【答案】（1）80，86 （2）> （3）该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数约为280人 【解析】 【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为m的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为n的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，由方差的意义进行判断即可； （3）分别用七、八年级的学生数乘以85分以上所占的比例，然后求和即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现3次数最多的是80， ∴众数； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵波动越小，方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 解： 答：该校七、八年级学生中成绩为优秀的总人数约为280人． 【点睛】本题主要考查了数据的分析、众数、中位数、方差的意义、用样本估计整体等知识点，熟练掌握众数，中位数的确定方法以及运用本估计整体是解题的关键． 21. 如图，正方形的对角线、相交于点，，. (1)求证：四边形是正方形. (2)若，则点到边的距离为______. 【答案】(1)证明见解析；(2)1.5. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件可判定四边形OCED是平行四边形，然后根据正方形对角线互相平分的性质，可判定四边形OCED是菱形，又根据正方形的对角线互相垂直，即可判定四边形OCED是正方形； （2）首先连接EO，并延长EO交AB于点F，根据已知条件和（1）结论，可判定EF即为点E到AB的距离，即为EO和OF之和，根据勾股定理，可求出AD和CD，即可得解. 【详解】解：(1)∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD， ， ∴OC=OD． ∴四边形OCED是菱形． ∵AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∴四边形OCED是正方形． (2)解：连接EO，并延长EO交AB于点F，如图所示 由（1）中结论可得，OE=CD 又∵正方形ABCD，，AD=CD，OF⊥AB ∴ ∴AD=CD=1， ∴ ∴ EF即为点E到AB的距离， 故答案为1.5. 【点睛】此题主要考查正方形的判定和利用正方形的性质求解线段的长度，熟练运用即可解题. 22. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示． （1）　　　　； （2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 【答案】（1） （2） （3）厘米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题可得； （2）设所求函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）依题意，，解方程，得出，将代入（2）中的函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米． 当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 设所求函数关系式为. 将点代入，得 解得 所以，与之间的函数关系式为 【小问3详解】 根据题意，得 ， 解得. 因为(千克)， 所以，当时，． 答：此时乙弹簧的长度为厘米． 23. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判定的依据是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和，其中，，将它们按图②放置，落在边上，、与边分别交于点、．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长、交于点，得到图③．若四边形的周长为，，则四边形的面积为______． 【答案】操作发现：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；探究提升：见解析；结论应用： 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质定理是解题的关键． 操作发现：根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 探究提升：根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论； 结论应用：根据平移的性质得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，证得四边形是菱形，根据菱形的性质得到，由探究提升知是菱形，，推出四边形是菱形，由勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】操作发现：解：四边形总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 探究提升：证明：∵四边形纸条和是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是菱形； 结论应用：解：∵将平行四边形纸条沿或平移， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由探究提升知是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 过P作于Q， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与相交于点．边、的长满足式子． （1）直接写出、的长； （2）求证：； （3）求点的坐标； （4）若点在轴上，点在坐标平面内，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）点的坐标为 （4）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出的长即可解决问题； （2）根据矩形的性质可证明，再由折叠的性质可得，，从而得到，即可求证； （3）设，则，在中，根据勾股定理，构建方程求出a，可得点E坐标； （4）分三种情形，根据菱形的性质分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 【小问4详解】 解：如图， ∵， ∴， 当为菱形的边时，， ∴，点与点B关于x轴对称， ∴点，，； 当为菱形的对角线时，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了勾股定理，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二期末测试题 数学2024．7 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点，若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为( ) A. (－3，－2) B. (－2，3) C. (－2，－3) D. (2，－3) 5. 某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 专业知识 语言表达 测试成绩（分） 70 80 92 这三项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩，则这位应聘者的最终成绩为（ ） A. 79.5分 B. 80.2分 C. 80.7分 D. 82.3分 6. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且随着的增大而减小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，为边上一动点，作于点，于点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，顶点在函数的图象上，、两点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9 计算：______． 10. 一组数据，，，的平均数是2，则的值是______． 11. 在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1向上平移3个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是_____． 12. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则______． 13. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为__________． 14. 如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、． （1）求、的值； （2）当时，求线段的长． 17. 如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形． 18. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，点在上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图1中，画出线段的中点； （2）在图2中，以为对角线画一个矩形； （3）在图3中，以为边画一个▱． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． （1）求、两点的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式． 20. 6月5日是世界环境日，为了提高学生环保意识，某校七、八年级举行了环保知识竞赛，全体学生参加比赛．为了解学生的答题情况，学校从这两个年级中各随机抽取10名学生的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如下信息： 七、八年级各抽取的10名学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 87 八年级 85.5 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________． （2）七、八年级各抽取的这10名学生成绩的方差分别记为、，请判断________．（填“>”“<”或“=”） （3）若规定成绩85分及以上为优秀，七、八年级各有200名学生，请估计该校七、八年级学生中成绩为优秀总人数． 21. 如图，正方形的对角线、相交于点，，. (1)求证：四边形是正方形. (2)若，则点到边距离为______. 22. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示． （1）　　　　； （2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在弹性限度内，把两个质量相同重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 23. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判定的依据是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和，其中，，将它们按图②放置，落在边上，、与边分别交于点、．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长、交于点，得到图③．若四边形的周长为，，则四边形的面积为______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与相交于点．边、的长满足式子． （1）直接写出、的长； （2）求证：； （3）求点的坐标； （4）若点在轴上，点在坐标平面内，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$