精品解析：四川省遂宁市大英县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

2024年上期八年级学业质量监测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1—18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第II卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列代数式，，，，中是分式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 石墨烯是世界上目前导电性最好的材料，也是最坚硬且最薄的纳米材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度0.00000000034用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （2，4） B. （﹣2，﹣4） C. （2，﹣4） D. （4，﹣2） 4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，某校为了解八年级学生“全民读书月”活动的开展情况，现在抽取了八年级的50名学生在4月阅读的课外读物数量作了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，根据图中提供的信息，这50人在4月阅读的课外读物数量的众数、中位数和平均数分别是（ ） A. 6，6和5.68 B. 6，4和5.66 C. 4，4和5.64 D. 4，6和5.62 6. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，，，则EC的长（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在平行四边形复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：对角线相等 B. ②：对角互补 C. ③：一组邻边相等 D. ④：有一个角是直角 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 9. 如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 11. 若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 13. 小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 14. 已知等腰三角形的周长是，腰长是底边长的函数，下列函数关系式及自变量的取值范围正确的是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 15. 如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则度数是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 17. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则度数为（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 18. 如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 第II卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在第II卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 19. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 20. 一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是_____． 21. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 22. 2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为_______． 23. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 24. 如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于_______． 三、解答题（共计72分） 25. 计算或解方程： （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）先化简，然后在0，1，2，3四个数中任选一个合适的数代入求值． 26. 平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，，． 求证：四边形ABCD是菱形． 27. 为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． （1）弧形椅和条形椅单价分别是多少元？ （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 28. 已知一次函数（，为常数）与轴交于点，与反比例函数交于、两点，若点的坐标为，点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）根据图象写出当时对应自变量的取值范围； （3）若点与点关于原点成中心对称，求出的面积． 29. 定义：我们把没有一个内角度数大于四边形叫凸四边形，又将对角线相等的凸四边形叫做“对美四边形”． （1）【问题初探】在你所学的四边形中，属于“对美四边形”的是______．（写一种即可） （2）【深入探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是对美四边形； （3）【拓展应用】如图2，已知在中，，，，为线段的垂直平分线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． 30. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点． （1）求线段的长度； （2）试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； （3）已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上期八年级学业质量监测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1—18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第I卷的机读卡和第II卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列代数式，，，，中是分式的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．分母中含有字母的代数式叫做分式，根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 2. 石墨烯是世界上目前导电性最好的材料，也是最坚硬且最薄的纳米材料，其理论厚度仅为0.00000000034米，该厚度0.00000000034用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】0.00000000034用科学记数法表示为：， 故选B． 3. 平面直角坐标系中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A. （2，4） B. （﹣2，﹣4） C. （2，﹣4） D. （4，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的关系进行解答即可． 【详解】解：关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数， 所以点P（2，4）关于x轴的对称点的坐标是（2，4）， 故选：B． 【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键． 4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的定义：一般地，在某一变化过程中，有和两个变量，如果对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数．根据定义即可判断． 【详解】解：观察图象可知，C中的图象，当时，对于的每一个取值，都有两个与之对应的值，不符合函数的定义 故选：C 5. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，某校为了解八年级学生“全民读书月”活动的开展情况，现在抽取了八年级的50名学生在4月阅读的课外读物数量作了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，根据图中提供的信息，这50人在4月阅读的课外读物数量的众数、中位数和平均数分别是（ ） A. 6，6和5.68 B. 6，4和5.66 C. 4，4和5.64 D. 4，6和5.62 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，平均数，根据众数，中位数及平均数的定义和判断方法解决即可． 【详解】解：因为出现最多的是6本，则众数为6本； 按从小到大的顺序排列在中间的两个人的课外读物数量都为6本，则中位数为6本， 平均数：（本）； 故选：A． 6. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，，，则EC的长（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=7，AD=BC=4，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠AED，然后根据角平分线的定义可得∠EAB=∠EAD，从而得出∠EAD=∠AED，根据等角对等边可得DA=DE=4，即可求出EC的长． 【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形， AB=7，AD=4，， ∴AB=CD=7，AD=BC=4，AB∥CD ∴∠EAB=∠AED ∵AE平分∠DAB ∴∠EAB=∠EAD ∴∠EAD=∠AED ∴DA=DE=4 ∴EC=CD－DE=3 故选B. 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键． 7. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：对角线相等 B. ②：对角互补 C. ③：一组邻边相等 D. ④：有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 直接利用各象限内点的坐标特点，分别分析得出答案． 【详解】解：A．点到轴距离是2，故此选项不合题意； B．在平面直角坐标系中，点和点不是同一个点，故此选项不合题意； C．若，则点在轴上，故此选项不合题意； D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，故此选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 10. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 11. 若点和都在一次函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据题意可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C 12. 一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、一次函数中的，，则，正比例函数中的，故本选项不符合题意； B、一次函数中的，，则，正比例函数中的，故本选项不符合题意； C、一次函数中的，，则，正比例函数中的，故本选项符合题意； D、一次函数中的，，则，正比例函数中的，故本选项不符合题意； 故选：C． 13. 小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据小明步行了5分钟，走了400米，求得小明步行的速度，由小明以同样的速度回家取作业，可得小明回家花的时间，由此得出小明骑车花的时间，用骑车的路程÷时间求得小明骑车的速度，即可得出结论． 【详解】解：由图像知： 步行了5分钟，走了400米， ∴小明步行的速度为：400÷5＝80米/分钟， ∵又以同样的速度回家取作业， ∴又花了5分钟， 后面骑车用的时间为：16－5－5＝6分钟， ∴小明骑车的速度为：1200÷6＝200米/分钟， ∴小明骑车比步行的速度每分钟快200－80＝120米/分钟， 故选：D 【点睛】本题是一次函数的综合题，也考查了行程问题：路程＝速度×时间的运用，解题时理解函数图像是关键． 14. 已知等腰三角形的周长是，腰长是底边长的函数，下列函数关系式及自变量的取值范围正确的是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】底边长周长腰长，根据两腰长之和底边长，底边长可得的取值范围． 【详解】解：依题意有， 依题意有， 解得：． 故选：D． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围． 15. 如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 16. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题． 【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M， ∵轴 ∴AB⊥y轴， ∴， ∵ ∴ 解得 ∵点B在双曲线上，且B在第二象限 ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k关系是解题的关键． 17. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ） A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数． 【详解】解：正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°， ∵， ∴△AOF≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE=∠OAF， ∵OE=OF，∠EOF=90°， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∵， ∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°， ∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 18. 如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；由，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确． 【详解】解：是等边三角形，且， ，， 由折叠的性质得：， ，是定值，则结论①正确； ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形，则结论②正确； 如图，当点与重合时， ， ， 由折叠的性质得：， ，， ， ，则结论③错误； 当最短时，则， 如图，过点作于点，连接，交于点， ， ， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 设，则，， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，则结论④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、折叠的性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形、菱形的判定，用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 第II卷（非选择题，满分96分） 注意事项： 1．用钢笔或签字笔在第II卷答题卡上作答，不能答在此试卷上． 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，需要你在答题卡上作答． 3．答题前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分） 19. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 20. 一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 【详解】这组数据的平均数是：， 则方差； 故答案为2． 【点睛】此题考查方差，解题关键在于掌握方差的计算公式． 21. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 22. 2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和表格中的数据，可以求得（）关于（）的函数表达式，将代入函数解析式，即可得到相应的华氏温度的值； 【详解】解：设（）关于（）的函数表达式为， 把（），（）代入得， ， 解得，， 即（）关于（）的函数表达式为； 当时， 故答案为：． 23. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】0或2##2或0 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程解法，理解分式方程解的定义．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程得： ， 即， 由于分式方程无解， 所以或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，的值为0或2， 故答案为：0或2． 24. 如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于_______． 【答案】7.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和线段最值问题，点到直线的所有线段中，垂线段最短，连接交于点O，连接，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出的长度，再根据建立等式推算出的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的值为定值， 当最小时，有最小值， ∵当时，的最小值， ∴的最小值， 故答案为：． 三、解答题（共计72分） 25. 计算或解方程： （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）先化简，然后在0，1，2，3四个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）3 （2）； （3）原方程无解； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的乘除法，解分式方程以及分式的化简求值，负整数指数幂以及零指数幂，准确熟练进行计算是解答本题的关键： （1）原式先化简，然后再进行加减运算即可； （2）直接根据分式乘除法法则进行计算即可； （3）按照解分式方程的步骤进行计算即可； （4）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件确定a的值，从而代入计算计可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 经检验，当时，分母为0， 是原方程的增根； 【小问4详解】 解： ， 又、2、3 ， 原式 26. 平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，，． 求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形AEBO是平行四边形，再证AB=OE，则四边形AEBO是矩形，则AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形． 【详解】∵，， ∴四边形AEBO是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD． 又∵OE=CD， ∴AB=OE， ∴平行四边形AEBO是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定和性质是解题的关键． 27. 为加速升腾“成渝之星”的总体工作，遂宁市确立了筑“三城”（绿色智造名城、生态公园名城、养心文旅名城）兴“三都”（西部水都、东方气都、锂电之都）和实施“六大对标竞进行动”．一景区管理委员会为了改善景区生态环境，决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张． （1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人，怎样购买最省钱． 【答案】（1）弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； （2）购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题． （1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多8张”列分式方程解答即可； （2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，至少可坐1000人”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元； 【小问2详解】 解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张，由题意得： ， 解得； 设购买休闲椅所需的费用为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， ； 答：购进50张弧形椅，250张条形椅最节省费用 28. 已知一次函数（，为常数）与轴交于点，与反比例函数交于、两点，若点的坐标为，点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）根据图象写出当时对应自变量的取值范围； （3）若点与点关于原点成中心对称，求出的面积． 【答案】（1），图见解析 （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于原点对称的点的坐标特点： （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式 画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可； （3）先求出，再根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出点D的坐标，过点作轴交于点，则，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：B点的横坐标为且在反比例函数的图象上， 点B的坐标为， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为， 函数图象如图所示； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时对应自变量的取值或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴ 点与点关于原点成中心对称， 点， 过点作轴交于点． 将代入，得， 即的面积是2． 29. 定义：我们把没有一个内角度数大于的四边形叫凸四边形，又将对角线相等的凸四边形叫做“对美四边形”． （1）【问题初探】在你所学的四边形中，属于“对美四边形”的是______．（写一种即可） （2）【深入探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是对美四边形； （3）【拓展应用】如图2，已知在中，，，，为线段的垂直平分线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． 【答案】（1）矩形（或正方形）； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解对美四边形的定义并运用是解题的关键． （1）由矩形和正方形的性质可直接求解； （2）画出图形，利用对美四边形的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，由勾股定理求出长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形、正方形的对角线相等， ∴矩形和正方形是“对美四边形”， 故答案为：矩形（或正方形）； 【小问2详解】 证明：连接 四边形是正方形， ， 且四边形为凸四边形， ， ， ， 四边形是对美四边形。 【小问3详解】 解：①当点D在的上方时，如图2， 是的中垂线， ， ，，， ， 四边形为对美四边形， ， ， ； ②当点在下方时，如图3，过点作，交的延长线于， 四边形为对美四边形， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 综上所述：这个对美四边形的面积为或. 30. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点． （1）求线段的长度； （2）试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； （3）已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点在函数的图像上．理由见解析 （3）点坐标为 【解析】 【分析】（1）先求得C的坐标可得，然后再说明四边形为矩形即可解答； （2）由题意可得点坐标为，设直线的函数表达式为，进而得到；再确定点的横坐标为，然后代入即可解答； （3）如图：过点作于点，先根据坐标求得，设点坐标为，则，由平行四边形的性质可得，进而证明≌可得，最后结合即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 坐标为，即， 轴，轴， ， ， 四边形为矩形， ． 【小问2详解】 解：点在函数的图像上．理由如下： 点在函数的图像上， 点坐标为， ， 可设直线的函数表达式为， ， 点A坐标为 点的横坐标为， 当时，，即 ， 点在函数的图像上． 【小问3详解】 解：如图：过点作于点， 由（2）得， ， ， ，即 设点坐标为，则 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ≌ ，即， ，即点坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数图像的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$