精品解析：山东省德州市陵城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年义务教有学业质量素养监测 七年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列各数：2π，，，0.333333，，1.21221222122221…（每两个1之间依次多一个2），3.14，中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知，下列变形一定正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离 C 经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4. 把方程改写成含x式子表示y的形式为（　　） A. B. C. D. 5. 下面调查方式你认为比较合理的是（ ） A. 了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行调查． B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查． C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查． D. 了解某校学生课外阅读的情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行调查． 6. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点的坐标为，线段平行于轴且，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若点A（a+1，b﹣2）第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 《孙子算经》是中国古代数学著作，其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C D. 11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'，BC与C'D'相交于点E，若BC＝8，CE＝3，C'E＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. 12+2 B. 13 C. 2+6 D. 26 12. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒、现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的平方根是_________ 14. 如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，则∠4＝_____°． 15. 已知，则__________． 16. 最佳燃脂心率研究表明，运动过程中的最佳燃脂心率p应该不超过，不低于．则15岁的小明运动时最佳燃脂心率p应满足的范围是__________． 17. 如果关于的不等式只有4个整数解，那么的取值范围是________________________． 18. 如图，点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是________． 三、解答题（7小题，共78分） 19. 计算题． （1）计算 （2）求不等式组的整数解并把解集表示在数轴上． 20. 某学校举行了“防溺水，保安全”的知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，并绘制了如下不完整的统计图表：根据信息，解答以下问题： 组别 成绩/分 频数 A 20 B m C 60 D n 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 （1）写出统计表中的_________，_________；并将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （2）在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角是__________度； （3）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，经过平移得到，点A，B，C的对应点分别为，已知内任意一点，经平移后的对应点为． （1）请描述如何平移得到； （2）请画出平移后的，并写出三点的坐标； （3）若的面积为12，且点恰好在第一象限，求此时点P的坐标． 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． （1）求证：； （2）若平分，，求扶手与靠背的夹角 的度数． 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． （1）在方程①，②，③中，不等式组【相伴方程】是______；（填序号） （2）若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； （3）若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 24. 探索发现：（1）如图1，已知直线．若，，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，写出图1中之间的数量关系为____________； 实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题： ①如图2，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，的度数为____________； ②如图3，已知直线,若，平分平分,求的度数． 25. 某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ （3）若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年义务教有学业质量素养监测 七年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列各数：2π，，，0.333333，，1.21221222122221…（每两个1之间依次多一个2），3.14，中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：根据无理数的定义2 ，，1.21221222122221...（每两个1之间依次多一个 2），是无理数，共有4个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握无理数的概念进行判断. 2. 已知，下列变形一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：∵， A. ，故此选项不符合题意； B. 不能推出，故此选项不符合题意； C. 当时，当时，当时，故此选项不符合题意； D. 一定成立，故此选项符合题意， 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离 C 经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行公理，垂线的定义以及点到直线的距离的定义，平行线的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项错误，不符合题意； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线距离，故本选项错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的定义，以及点到直线的距离的定义，平行线的性质，熟记概念及性质是解题的关键． 4. 把方程改写成含x的式子表示y的形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 5. 下面调查方式你认为比较合理的是（ ） A. 了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行调查． B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查． C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查． D. 了解某校学生课外阅读的情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行调查． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查样本的抽取，抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行调查．不合理，因为样本的选取不能指定男同学，应该既要选男生，又要选女生．故此选项不符合题意； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查．不合理，因为样本的选取不能指定班级，应对某小区居民随机调查．故此选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查．不合理，样本不能指定周末选取，要具有代表性，随机选取天数进行调查．故此选项不符合题意； D、了解某校学生课外阅读的情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行调查．比较合理，因为抽取的样本是随机的，因此具有代表性，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对各选项分别进行判断即可． 【详解】A、根据，可以得到，故选项错误； B、根据，可以得到，故选项正确； C、根据，可以得到，故选项错误； D、根据，可以得到，故选项错误； 故选：B 7. 已知点的坐标为，线段平行于轴且，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，分点在点的左边与右边两种情况讨论求解，掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标为， 当点在点的右侧时， ∵， ∴点的横坐标为，此时点的坐标为； 当点在点的左侧时， ∵， ∴点的横坐标为，此时点的坐标为； ∴点的坐标为或， 故选：． 8. 若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案． 详解：∵点A（a+1，b-2）在第二象限， ∴a+1＜0，b-2＞0， 解得：a＜-1，b＞2， 则-a＞1，1-b＜-1， 故点B（-a，1-b）在第四象限． 故选D． 点睛：此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 9. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上，再找出它们的公共部分即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组的解集为， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线），然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找来确定不等式组的解集．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键． 10. 《孙子算经》是中国古代数学著作，其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 若设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺， 依题意，得， 故选：A． 11. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'，BC与C'D'相交于点E，若BC＝8，CE＝3，C'E＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. 12+2 B. 13 C. 2+6 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移的性质得到B′C′＝BC＝8，BC∥B′C′，CD∥C′D′，S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，然后根据S阴影部分＝S梯形BB′C′E进行计算． 【详解】解：∵四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D'， ∴B′C′＝BC＝8，BC∥B′C′，CD∥C′D′，S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′， ∴C′D′⊥BE， ∴S阴影部分＝S梯形BB′C′E＝（8﹣3+8）×2＝13． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 12. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒、现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】观察图②，可知竖式纸盒需要正方形纸板1块，长方形纸板4块，横式纸盒需要正方形纸板2块，长方形纸板3块，根据题意列方程组，再求的值． 【详解】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个， 由题意可得： ∴， 由于x，y均为整数，故为5的倍数， 选项中只有2025是5的倍数． 故选A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是正确列出方程组，并根据题意求值． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的平方根是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±. 【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±. 故正确答案为±. 【点睛】此题考查了算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义. 14. 如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，则∠4＝_____°． 【答案】72 【解析】 【分析】由已知和邻补角互补易得∠5＝∠2，则l1∥l2，所以∠6+∠4＝180°，再根据对顶角相等即可求出∠4的度数． 详解】解：如图． ∵∠5+∠1＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠5＝∠2， ∴l1∥l2， ∴∠6+∠4＝180°， ∵∠6＝∠3＝108°， ∴∠4＝180°﹣108°＝72°． 故答案为72． 【点睛】本题考查邻补角与对顶角，平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 15. 已知，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题的关键． 根据非负数的性得到，，然后根据等式的性质用，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 得：， ∴2， 故答案为：2． 16. 最佳燃脂心率研究表明，运动过程中的最佳燃脂心率p应该不超过，不低于．则15岁的小明运动时最佳燃脂心率p应满足的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的简单应用，根据题目中的“不超过即≤、不低于即≥，”列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：． 17. 如果关于的不等式只有4个整数解，那么的取值范围是________________________． 【答案】−5<a⩽−. 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可． 【详解】， 由①得：x<21， 由②得：x>2−3a， 不等式组的解集为：2−3a<x<21 ∵不等式组只有4个整数解为20、19、18、17 ∴16⩽2−3a<17 ∴−5<a⩽−. 故答案为−5<a⩽−. 【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握不等式组的运算法则. 18. 如图，点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可． 【详解】观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 点A第2024次跳动至点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（7小题，共78分） 19. 计算题． （1）计算 （2）求不等式组的整数解并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）数轴见解析，不等式组的整数解为1，2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解不等式组等知识，解题的关键是∶ （1）利用绝对值的意义、算术平方根的定义、立方根的定义等化简求值即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解∶ 解不等式①，，得 解不等式②，，得 ， 把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1，2． 20. 某学校举行了“防溺水，保安全”的知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，并绘制了如下不完整的统计图表：根据信息，解答以下问题： 组别 成绩/分 频数 A 20 B m C 60 D n 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 （1）写出统计表中的_________，_________；并将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （2）在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角是__________度； （3）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 【答案】（1）40 ；80；补全频数分布直方图见解析 （2）72 （3）1050人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先求出抽取的学生总人数，再求n与m值即可； （2）用360度乘以B组人数所占比例，计算即可； （3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生总人数为：（人）， ∴ ∴ 补充频数分布直方图为： 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计成绩高于90分的学生人数为1050人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，顶点分别为，经过平移得到，点A，B，C的对应点分别为，已知内任意一点，经平移后的对应点为． （1）请描述如何平移得到； （2）请画出平移后的，并写出三点的坐标； （3）若的面积为12，且点恰好在第一象限，求此时点P的坐标． 【答案】（1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到．或者先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到．（一种即可） （2）图见解析，，， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图，掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． （1）利用平移变换的性质即可得出答案； （2）利用平移变换的性质作出平移后图形，再根据三个顶点的位置写出坐标即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积，得关于a的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． 或者先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到．（一种即可） 【小问2详解】 解：如图所示，就是平移后的三角形，，，． 【小问3详解】 解：当时， 点P及其对应点的坐标分别为和， ∵的面积为12， ，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 22. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． （1）求证：； （2）若平分，，求扶手与靠背的夹角 的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． （1）在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号） （2）若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值； （3）若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组和一元一次方程相结合的问题： （1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程①的解为； ∵， ∴， ∴方程②的解为； ∵， ∴， ∴方程③的解为； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程①③的解是不等式组的解， ∴不等式组的【相伴方程】是①③； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴是方程的解， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：解方程得， 解方程得； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】， ∴， ∴． 24. 探索发现：（1）如图1，已知直线．若，，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，写出图1中之间的数量关系为____________； 实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题： ①如图2，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，的度数为____________； ②如图3，已知直线,若，平分平分,求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和应用，熟练掌握平行线的性质和规律是解题的关键． （1）过拐点作平行线，平行线的性质即可求解； （2）由（1）的推理过程即可得出答案； （3）①由（2）的结论即可求解； ②由（2）的结论和角平分线的性质即可求解； 【详解】解：（1）过P作 ． （2）； （3）①；由（2）知 ②平分平分 由（2）中的结论有 ． 25. 某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． （1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ （2）若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ （3）若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 【答案】（1）购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元 （2）该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；其中方案③获利最大，最大利润是264元 （3）共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元； （2）有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；再分别求出每种方案的获利，比较即可求解； （3）设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根．根据将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，列二元一次方程，求整数解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． 【小问2详解】 解：设购进乙种跳绳a根，则购进甲种跳绳根，根据题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则=64，62，60， ∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 方案①：利润为（元）； 方案②：利润为（元）； 方案③：利润为（元）； ∵， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；其中方案③获利最大，最大利润是元． 【小问3详解】 解：设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根． 根据题意可列方程： ∵m，n都是正整数 ∴或 ， 答：共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$