精品解析：黑龙江省绥化市明水县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测八年级数学试卷 班级： 姓名： 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　） A. 70° B. 110° C. 90° D. 45° 3. 若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（　　） A. ±2 B. ﹣2 C. D. 4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是___________． 5. 计算的结果正确的是（ ）． A. 1 B. C. 5 D. 9 6. 如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A. 48 B. 60 C. 76 D. 80 7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 10. 已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 12. 如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、选择题（每题3分，共30分） 13. 函数的自变量的取值范围是_____． 14. 如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是__________． 15. 如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 16. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 17. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是__________． 18. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________． 19. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____． 20. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上） 21. 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 _____． 22. 如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________． 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 24. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，且BE2-AE2=AC2， （1）试说明：∠A=90°； （2）若DE=3，BD=4，求AE的长； 25. 甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 70 （1）根据统计表求，甲同学成绩的中位数，乙同学成绩的众数； （2）小林计算出甲同学的成绩平均数为60，方差是．请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 26. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 27. 为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元． （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 28. 一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． （1）求所在直线的表达式． （2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ （3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测八年级数学试卷 班级： 姓名： 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A、当时，是二次根式，当时，没有意义，故不符合题意； B、不是二次根式，故不符合题意； C、是二次根式，故符合题意； D、没有意义，故不符合题意； 故选C． 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　） A. 70° B. 110° C. 90° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3. 若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（　　） A. ±2 B. ﹣2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，m2﹣3＝1且2﹣m≠0， 解得m＝±2且m≠2， 所以m＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 4. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是___________． 【答案】79 【解析】 【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可． 【详解】将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， 中间数据是79， 故中位数是79． 故答案为：79． 【点睛】本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 5. 计算的结果正确的是（ ）． A. 1 B. C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(　　) A. 48 B. 60 C. 76 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴AB= ∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102- =100-24 =76. 故选：C. 7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 8. 下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了函数的定义．对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，据此逐一判断即可求出答案．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，正确理解定义是解题关键． 【详解】解：A．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， B．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， C．对于自变量的任何值，有时有两个值与之相对应，故不是的函数，不符合题意， D．对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故是的函数，符合题意， 故选：D． 9. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论． 【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4， ①4是此直角三角形的斜边长； ②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为． 综上所述，斜边长为4或5. 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10. 已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件得出，再由一次函数图象与系数的关系可得出结论． 【详解】解：由正比例函数的函数值随的增大而增大，可知， 所以一次函数的图象大致为过一、二、四象限的一条直线， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，掌握的图象与系数的关系是解题的关键．当，时，图象过一、二、三象限，当，时，图象过一、三、四象限，当，时，图象过一、二、四象限，当，时，图象过二、三、四象限． 11. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：分， 故选：B． 12. 如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得到，可判断①；证明得到，，进而，可判断③④正确；根据平行线的性质得，进而可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故选：B． 二、选择题（每题3分，共30分） 13. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 16. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 17. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质得到，，在中利用勾股定理得到，从而可以得到答案． 【详解】解：在菱形的两条对角线相交于点，若，， ，， 在中利用勾股定理得到， 菱形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． 18. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________． 【答案】（－2，0） 【解析】 【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y=mx+n的y值为0，则mx+n=0；已知此方程的解为x=-2．因此可得答案． 【详解】∵方程的解为x=-2， ∴当x=-2时mx+n=0； 又∵直线y=mx+n与x轴的交点的纵坐标是0， ∴当y=0时，则有mx+n=0， ∴x=-2时，y=0． ∴直线y=mx+n与x轴的交点坐标是（-2，0）． 19. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____． 【答案】AC⊥BD 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直． 【详解】解：如图， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； 要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD； 故答案为：AC⊥BD． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形，解题关键是掌握中位线的定义和菱形的判定方法． 20. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了10分钟； ④兔子在途中750米处追上乌龟． 其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【详解】根据图象可知： 龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确； 兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误； 乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确； y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟， 此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5， y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确， 综上可得①③④正确. 21. 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标． 【详解】解：直线①与直线②相交于， 联立①②解得，，， ，； 在中，当时，， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图： 设直线的解析式为， 把，，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令时， 点． 故答案为：． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键． 22. 如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据线段的中点的坐标为，易得，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长，，然后分别从①当时，②当时，③当时去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①过点作于，延长交于点，连接， ∵点的坐标为， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点为菱形的边的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴； ②过点作于，延长交于点， ∵点为菱形的边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点是线段的中点，点是线段的中点， 由①知：，， ∴，，， ∴， ∴； ③过点作于，延长交于点，连接，， 由①知：，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴点是线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，菱形关于坐标轴和原点对称， ∴． 综上所述，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、零次幂、乘方、算术平方根、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据零次幂、绝对值、二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）先根据乘方、算术平方根、二次根式的混合运算法则化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 24. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，且BE2-AE2=AC2， （1）试说明：∠A=90°； （2）若DE=3，BD=4，求AE的长； 【答案】（1） 证明：连接CE，如图， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE ∵BE2－EA2＝AC2， ∴CE2－EA2＝AC2， ∴EA2＋AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2） 【解析】 【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论； （2）在Rt△BDE中可求得BE，即求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解　∵DE＝3，BD＝4， ∴BE＝＝5＝CE， ∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2， ∵BC＝2BD＝8， ∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得：BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2， ∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，解得AE＝． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理， 勾股定理，熟练掌握其性质是解题关键． 25. 甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 70 （1）根据统计表求，甲同学成绩的中位数，乙同学成绩的众数； （2）小林计算出甲同学的成绩平均数为60，方差是．请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】（1）a＝40，甲同学成绩的中位数是60，乙同学成绩的众数是70 （2）平均数60，方差160 （3）乙同学 【解析】 【分析】（1）用甲的总成绩减去乙第1、2、3、5次的成绩可得a的值，根据中位数、众数的计算方法即可求解； （2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案； （3）平均数相同时，根据方差的意义求解可得答案． 【小问1详解】 解：a＝（80＋40＋70＋50＋60）－（70＋50＋70＋70）＝40， 将甲同学成绩从小到大排列为：40，50，60，70，80， 所以甲同学成绩的中位数是60， 由成绩统计如表得，乙同学成绩的众数是70， 即：的值为40，甲同学成绩的中位数为60，乙同学成绩的众数为70； 【小问2详解】 乙同学的成绩平均数为×（70＋50＋70＋40＋70）＝60， 方差 ； 【小问3详解】 因为甲乙两位同学的平均数相同， ， 所以乙同学的成绩更稳定． 【点睛】本题主要考查方差，平均数，中位数，众数，解题的关键是掌握方差、平均数、极差的定义和方差的意义． 26. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°， ∵， ∴△CBE△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）成立 【解析】 【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【详解】解：（1）略 （2）GE=BE+GD成立． 理由：∵由（1）得：△CBE△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF． ∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC， ∴△ECG△FCG（SAS）． ∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． 【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定． 27. 为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元． （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】（1）购买一个甲种文具元，一个乙种文具元（2）有种购买方案（3）购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元 【解析】 【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可； （2）根据题意列不等式组解答即可； （3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得： ，解得， 答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元； （2）根据题意得： ， 解得， 是整数， 有种购买方案； （3）， ， 随的增大而增大， 当时，（元）， ． 答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程 28. 一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象． （1）求所在直线的表达式． （2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ （3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】（1） （2）出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 （3）两地间的距离为600米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【小问1详解】 ∵， ∴所在直线的表达式为． 【小问2详解】 设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． 【小问3详解】 设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $