第1章 勾股定理（单元测试·基础卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 勾股定理（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，6，7 D．6，8，9 2．（20-21八年级下·云南普洱·期中）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024年四川省巴中市中考数学试题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 6．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（    ） A．5 B．4 C． D．3 7．（2023·江苏南京·模拟预测）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有-道问题:“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何?”问题大意:如图，在△ABC中，AB = 13里，BC = 14里，AC = 15里，则△ABC的面积是（   ） A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 8．（22-23七年级下·陕西西安·期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 9．（22-23八年级上·山西长治·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·浙江·期中）三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形，，都是正方形，若正方形的面积等于100，面积等于，且已知，则的面积等于（　　） A． B．39 C． D．52 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 12．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）若中，，，，是高线，那么高线 ． 13．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了到达A处，在港口的东南方向处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为 ． 14．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接交于点F，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）四个全等的直角三角形可以拼成两个正方形，有两种拼法，如图所示，两直角边长分别为，图中空白部分的面积分别为，若，则 ． 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 17．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 18．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．   （1）_____ （2）求线段的长． 20．（8分）（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．   （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（10分）（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． （1）根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； （2）请再举一例证明猜想成立． 22．（10分）（15-16八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 23．（10分）（2022·安徽·模拟预测）如图，在等腰与等腰中，，连接，相交于点，连接，，．   （1）探究线段，有何关系？写出结论并说明理由． （2）若，，求的值． （3）直接写出的值． 24．（12分）（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．D 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 4．D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理用表示出，用表示出，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定． 首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 根据勾股定理，可得：， ∴， ∴正方形的面积． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理得应用，过点作于点，构造两个直角三角形，在和中，由勾股定理得：，得出，在中，由勾股定理得出，即可求沙田的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 在和中，由勾股定理得： ，解得： 在中， 这块沙田的面积． 故选：C． 8．D 【分析】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，再根据勾股定理求解即可． 【详解】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，能够根据题意找出点E是解题的关键． 9．A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 10．A 【分析】设，则，由勾股定理得出，解得，则，由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，正方形的面积等于100， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得舍去， ∴， ∵面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 12． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再利用即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 13． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：． 14．5 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质及尺规作线段垂直平分线；掌握尺规作线段垂直平分线是关键；由勾股定理可求得，由作图知，，即可得的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：； 由作图知，， ． 故答案为：5． 15．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及完全平方公式的运算，通过正方形的面积等于边长的平方以及两个空白正方形面积之间的关系，进行列式，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的斜边为c， 因为图中空白部分的面积分别为， 则，， ∴， 故答案为：4． 16．     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 17．15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：如图， 在直角三角形中， ∵尺，尺， ∴尺， 即这根藤条的长度是15尺． 故答案为：15 18．70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19．(1)16 (2)． 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， 故答案为：16； （2）解：∵将沿折叠， ∴， 设， 则， 即， 解得，即． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21．(1)24，26 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 22．见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．(1)且，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－“手拉手”模型，熟记模型的构成及结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）根据 即可求解； （3）过点作，交于点．证得，即可求解． 【详解】（1）解： 且．理由如下： 和都是等腰直角三角形， ， ， 即 ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， 由勾股定理得： ． （3）解：如图，过点作，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ． 24．(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$