精品解析：辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

沈河区2023—2024学年度下学期 八年级数学教学数据采集试题 （考试时间100分钟，试卷满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义．中心对称图形指一个图形绕着某点顺时针或逆时针旋转后与自身重合的图形，根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.是中心对称图形，此项符合题意； B. 不是中心对称图形，此项不符合题意； C. 不是中心对称图形，此项不符合题意； D. 不是中心对称图形，此项不符合题意． 故选：A． 2. 若，则下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答的关键． 根据不等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A．不等式的两边减去，不等号的方向不变，原变形成立，故此选项不符合题意； B． 不等式的两边除以，不等号的方向改变，原变形成立，故此选项不符合题意； C． 不等式的两边都乘以，不等号的方向不变，原变形成立，故此选项不符合题意； D． 不等式的两边都减去1，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断．根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选C． 4. 若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下： 故选：C． 5. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出与轴的交点坐标．根据点A的坐标找出值，令一次函数解析式中求出值，从而找出与轴的交点坐标，观察函数图象，找出在轴上方的函数图象，由此即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， 令中，则， 解得：， 的图象交轴于点． 观察函数图象，发现： 当时，一次函数图象在轴上方， 不等式的解集为． 故选：A． 6. 《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，用时间作等量关系列出方程即可． 【详解】解：依题得 即． 故选：B． 7. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 在和中， ， ∴， 故选：C． 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 9. 如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，先由菱形对角线互相垂直平分得到，，再由旋转的性质可得，则三点共线，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转得到，点D的对应点E恰好落在线段上， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，后用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确理解分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义，分母不为零即得答案． 【详解】分式有意义， ， ． 故答案为：． 13. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是___________． 【答案】100 【解析】 【分析】 【详解】如图， 根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠5=360-4×70=80°， ∴∠AED=180-∠5=180-80=100°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向右平移个单位．若平移后的直线恰好平分的面积，则m的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直线平移，中点坐标公式，连接、，则、交于点D，过点D任意作直线，分别交、于点E，F，先求出直线沿x轴向右平移个单位后，解析式为：，证明过点D的直线可以将平均分成面积相等的两部分，说明当直线经过点D时，将平均分成面积相等的两部分，把代入得：，求出m的值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点D，过点D任意作直线，分别交、于点E，F，如图所示： 直线沿x轴向右平移个单位后，解析式为：， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴， 即， ∴过点D的直线可以将平均分成面积相等的两部分， ∴当直线经过点D时，将平均分成面积相等的两部分， 把代入得：， 解得：． 故答案为：2． 15. 如图，是等边三角形，点D是射线上的一点（不与点B、C重合）连接，在的右侧作等边三角形，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，交于点M．当，时，则AM的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，分两种情况讨论：①当点在延长线上时；②当点在上时，根据等边三角形的性质，证明，再结合旋转的性质，推出四边形是平行四边形，根据等边三线合一的性质，由勾股定理求出AM的长即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ①当点在延长线上时， 和是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 在等边中，，， ，， ， ， ， 在等边中，是中点，， ， ； ②当点在上时，同理可得四边形是平行四边形， ， 等边中，，， ，， ， ， ， 在等边中，是中点，， ， ； 综上可知，AM的长为或， 故答案为诶：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，旋转的性质等知识，正确作辅助线，证明是中点是解题关键． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）利用数轴解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，取它们的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）原式括号内的通分并利用同分母分式的加法法则，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把a的值代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 则原不等式组的解集为：； 【小问2详解】 原式 当时，原式． 17. 如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接． （1）直线的尺规作图过程是在作线段________的________线； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；垂直平分线（或中垂线） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质． （1）由作图知，直线的尺规作图过程是在作线段的垂直平分线（或中垂线）； （2）四边形是平行四边形和直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线证明，得到，再推得四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 解：由题意知，直线的尺规作图过程是在作线段的垂直平分线（或中垂线）， 故答案为：，垂直平分或中垂； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形 ∴，，， 由题意知，直线是的垂直平分线，直线是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴． 即， ∴四边形是平行四边形． 18. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． （1）在图1中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． ①画出平移后的； ②如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为________； （2）在图1中， ①作出关于原点的中心对称图形； ②写出的坐标为________； （3）在图2中，只用无刻度的直尺，不用圆规，在给定网格中完成画图． ①画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为________； ②画的角平分线． 【答案】（1）①作图见解析；② （2）①作图见解析；② （3）①作图见解析，；②作图见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质分别作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； ②利用勾股定理求的长即可； （2）①根据中心对称的性质分别作出点、、的对称点、、，然后顺次连接即可； ②结合图形可得答案； （3）①通过三种情况的分析可知：当以，为平行四边形的边时，平行四边形的周长最小，结合平行四边形的判定画图，即可得出答案； ②结合等腰三角形的性质，连接，得，取格点，连接、，作射线，交于点，即可得． 【小问1详解】 解：①如图，即为所作； ②连接1， 由题意知，小正方形的边长为， ∴， ∴平移距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①如图，即为所作； ②由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，即， ①以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：； 以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：； 以，为平行四边形的边时， 平行四边形的周长为：， ∵， ∴以，为边平行四边形的周长最小， 如图，平行四边形即为所作， 由图可得，点的坐标为， 故答案为：； ②连接，取格点，连接、，作射线，交于点， ∴，，， ，， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴、、三点共线，点是的中点， 又∵， ∴平分， ∴是的角平分线， 则即为所作． 【点睛】本题考查作图—平移变换、中心对称，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，掌握平移和中心对称的性质是解题的关键． 19. 【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法和公式法． （1）利用提公因式法和公式法即可； （2）先用公式整理后，再用非负性求出，最后根据等腰三角形这个条件分情况讨论即可； （3）先去括号，再根据提公因式法即可． 详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2） 当为腰时，三边长为3，3，6，不符合三角形三边关系，舍去； 当为腰时，三边长为6，6，3，此时周长为； （3）， ． 20. 端午节是我国民间传统节日，沈阳某商家特准备两种口味的粽子供顾客选购．其中，款甜粽的售价比款咸粽的售价每盒贵元，某单位在该店集体采购，在购买时了解到，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同． （1）求该店款甜粽和款咸粽每盒的售价； （2）该单位决定购买款甜粽和款咸粽共盒，实际购买时，款甜粽打九折，款咸粽的售价不变．若该单位用于购买两种粽子的总费用不能超过元，求最多可购买多少盒款甜粽？ 【答案】（1）款甜粽、款咸粽每盒的价格分别是元和元； （2）最多可购买盒款甜粽． 【解析】 【分析】（）设款咸粽每盒的售价为元，则款甜粽每盒的售价为元，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同列出方程即可； （）设可购买盒款甜粽，则购买盒款甜粽，由购买两种粽子的总费用不能超过元列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设款咸粽每盒的售价为元，则款甜粽每盒的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程根，且符合实际， ∴， 答：款甜粽、款咸粽每盒的价格分别是元和元； 【小问2详解】 设可购买盒款甜粽，则购买盒款甜粽， 由题意得，， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买盒款甜粽． 21. 某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． （3）已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】（1）1；作图见解析 （2）①；2；②或2 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； 【小问2详解】 观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； 【小问3详解】 画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． 【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．乙、丁 D．全正确 【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； 【定理应用】 ①如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示） ②已知和直角顶点重合，如图所示，，，（）．过点分别作，，直线与直线相交于点，过点分别作，，直线与直线相交于点，连接．分别取的中点和，连接．在绕点旋转过程中，求的长度的最大值（用含的代数式表示）． 【答案】【定理探究】：D；【定理证明】：见解析；【定理应用】：①；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质． 定理探究：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； 定理证明：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形即可； 定理应用： ①连接并延长交的延长线于，先证明得为的中点，再得是的中位线即可； ②取中点，连接,先证明得，，推出，再证明四边形是平行四边形得为的中点，即是的中位线，是等腰直角三角形得，最后推得当最大时，最大，此时，共线即可． 【详解】解：定理探究：观察四位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理， 故选：D； 定理证明： 证明：如图， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 ； 定理应用： ①如图，连接并延长交的延长线于， 在和中 ，即为的中点， 为的中点 是的中位线 故答案为：； ②如图，取中点，连接, 在和中 四边形是平行四边形 为的中点 为的中点，三点共线 是的中位线 为的中点 是的中位线 是等腰直角三角形 当最大时，最大，此时，共线，如图， 的最大值为 的最大值为． 23. 【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 【答案】 【 初步探索 】 （1） （2），理由见解析 【 结论应用 】 的度数是 【解析】 【分析】【 初步探索 】 （1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． 【 结论应用 】 连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：【 初步探索 】 （1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【 结论应用 】 如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈河区2023—2024学年度下学期 八年级数学教学数据采集试题 （考试时间100分钟，试卷满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题：今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行尺，则列分式方程可整理为（ ） A B. C. D. 7. 如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. 如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 10. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 13. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，，点B在第一象限，将直线沿x轴向右平移个单位．若平移后的直线恰好平分的面积，则m的值是________． 15. 如图，是等边三角形，点D是射线上的一点（不与点B、C重合）连接，在的右侧作等边三角形，将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接，交于点M．当，时，则AM的长为________． 三、解答题（共8小题） 16. 计算 （1）利用数轴解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，作直线，交于点，连接． （1）直线的尺规作图过程是在作线段________的________线； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 18. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． （1）在图1中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． ①画出平移后的； ②如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为________； （2）在图1中， ①作出关于原点的中心对称图形； ②写出的坐标为________； （3）在图2中，只用无刻度的直尺，不用圆规，在给定网格中完成画图． ①画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为________； ②画的角平分线． 19. 【阅读材料】 将四项及四项以上多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 20. 端午节是我国民间传统节日，沈阳某商家特准备两种口味的粽子供顾客选购．其中，款甜粽的售价比款咸粽的售价每盒贵元，某单位在该店集体采购，在购买时了解到，用元购买的款甜粽和用元购进的款咸粽的盒数相同． （1）求该店款甜粽和款咸粽每盒的售价； （2）该单位决定购买款甜粽和款咸粽共盒，实际购买时，款甜粽打九折，款咸粽的售价不变．若该单位用于购买两种粽子的总费用不能超过元，求最多可购买多少盒款甜粽？ 21. 某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． （3）已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 以下，是对此定理的探究及证明过程： 已知，如图，在中，分别是的中点． 求证：且． 【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 乙：延长到点，使，连接． 丙：作，延长，使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交延长线于点． 则四位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是________； A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．乙、丁 D．全正确 【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整； 【定理应用】 ①如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点．若测得米，米，则两地间的距离________米（用含的代数式表示） ②已知和直角顶点重合，如图所示，，，（）．过点分别作，，直线与直线相交于点，过点分别作，，直线与直线相交于点，连接．分别取的中点和，连接．在绕点旋转过程中，求的长度的最大值（用含的代数式表示）． 23. 【问题背景】 如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图，延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段，，之间的数量关系是________． （2）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图，在四边形中，，，，在边和分别有一点和点，使的周长恰好是长的倍，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$