精品解析：山东省济南市钢城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023--2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题．分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后， 由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 40分） 1. 已知，则下列结论一定成立的是( ) A. B. C. > D. 2. 用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（ ） A. SAS或SSA B. SAS或ASA C. AAS或SSS D. ASA或AAS 3. 如图， 直线， 直角三角尺如图放置，， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 解不等式组时，不等式①②解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 6. 被历代数学家尊为“算经之首 ”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今 有五雀、六燕，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，”译文为：“今有5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．”设雀重 x 斤，燕重y 斤，则可列方 程组为（ ） A B. C. D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 不等式的解集为____________． 12. 如图所示．一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5.从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率是_______________． 13. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 14. 若是二元一次方程的一组解，则的值为______． 15. 如图，在中，，于点，则与的关系为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16 分解因式 （1） （2） 17. 解二元一次方程组． 18. 解不等式组，把它解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 19. 京剧，是我国的国粹艺术，素有“国剧"之称．李丽是一位京剧爱好者，她有四张如图所示印有生、旦、净、丑卡通形象的明信片（除卡通形象外，其余均相同），准备送给好友王娟两张，李丽将四张明信片背面朝上放在桌面上，洗匀后让王娟先随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张． （1）“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法求王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率． 20. 如图，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，，，求证：． 21. 我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 22. 如图，为等边三角形，即，分别是，上的点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 某校开展运动会，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．已知买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元．商店开展促销活动：活动方案一：商店内所有商品9折出售．活动方案二：用35元购买会员卡，凭会员卡购买，商品价格打8折； （1）该商店在无促销活动时，求 A 款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）促销期间，若购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若参与活动方案一，共需要 元；若参与活动方案二，共需要 元．（均用含m的代数式表示） （3）在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，参与活动方案二购买方式更合算？ 24. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 25. 如图1，在 中， ，平分，试判断和、之间的数量关系．数学研究小组发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． （1）在图2中哪两个三角形是全等三角形，请说明理由； （2）和、之间的数量关系是： ． 说明理由； 参考数学研究小组发现思考问题的方法，解决问题： （3）如图3， 在四边形中， 平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题．分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后， 由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 40分） 1. 已知，则下列结论一定成立的是( ) A. B. C. > D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质对每一项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，a2不一定大于b2，例如，a=0，b=-1，故本项错误； B、∵，∴，故本选项错误； C、当时，ac2不一定大于bc2，例如c2=0时，故本选项错误； D、∵，∴-a<-b，∴，故本项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握知识点是解题关键． 2. 用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（ ） A. SAS或SSA B. SAS或ASA C. AAS或SSS D. ASA或AAS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，即可解答． 【详解】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△AOB和△DOC中，， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， 方法二： ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵∠AOB＝∠COD，∠AOB+∠BAO＝90°，∠COD+∠CDO＝90°， ∴∠BAO＝∠CDO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3. 如图， 直线， 直角三角尺如图放置，， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选A． 4. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并将不等式的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键．分别求出不等式①，②的解集，再将其表示在数轴上即可得出结论． 【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上为： 故选：A． 5. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式”，逐项判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，原式不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等号的右边不是积的形式，且等式不成立，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 6. 被历代数学家尊为“算经之首 ”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今 有五雀、六燕，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，”译文为：“今有5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．”设雀重 x 斤，燕重y 斤，则可列方 程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的古代问题，设雀重 x 斤，燕重y 斤，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设雀重 x 斤，燕重y 斤， 根据题意得：， 故选：A． 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，先将解的值代入到方程组中，可得到有关和的一个二元一次方程，再根据加减消元法可得到和的值，计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 根据得：，解得：， 根据得：，解得：， ∴， 故选：D． 8. 如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据函数图象写出直线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：因为直线与相交于点， 所以，不等式的解集是． 故选：C． 9. 如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故B，D不符合题意； 无法证明，故C符合题意， 故选：C． 10. 如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和平分，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于， ，，是的中线， ，平分， 在上， 在中，由勾股定理得：， ， ， 关于的对称点， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即最小值是， 故选：B． 【点睛】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 不等式的解集为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法计算即可． 【详解】解：， 移项，得， 解得． 故答案为：． 12. 如图所示．一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5.从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于2的概率是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球， 任意摸出1个，摸到大于2的概率是． 故答案为：． 13. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若是二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， 故答案为：2021． 15. 如图，在中，，于点，则与的关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式提取3，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 解二元一次方程组． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．用加减消元法解方程组即可． 【详解】 解：得， 解得．                     将代入①得． 所以该方程组的解为． 18. 解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解为：3，4，5，6，7 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：3，4，5，6，7 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 京剧，是我国的国粹艺术，素有“国剧"之称．李丽是一位京剧爱好者，她有四张如图所示印有生、旦、净、丑卡通形象的明信片（除卡通形象外，其余均相同），准备送给好友王娟两张，李丽将四张明信片背面朝上放在桌面上，洗匀后让王娟先随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张． （1）“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法求王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式： （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的结果有1种， ∴“王娟抽取的第一张明信片上的卡通形象是旦”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 生 旦 净 丑 生 （生，旦） （生，净） （生，丑） 旦 （旦，生） （旦，净） （旦，丑） 净 （净，生） （净，旦） （净，丑） 丑 （丑，生） （丑，旦） （丑，净） 共有12种等可能的结果，其中王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的结果有：（生，丑），（旦，丑），（净，丑），（丑，生），（丑，旦），（丑，净），共6种， ∴王娟抽取的两张明信片上的卡通形象有一张为丑的概率为． 20 如图，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，利用对顶角的性质可得，等量代换可得，进而证明，根据平行线的性质推出，等量代换可得，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 我们曾探究过“以方程 的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．规定：以方程 的解为坐标的所有点的全体叫做方程． 的图象；结论：一般的，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线示例：如图1，我们在画方程 的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程中的两个二元一次方程的图象． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 ； 【拓展延伸】 （3）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程 的图象 和 的图象 ，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组 的解的情况 ． 【答案】（1）见解析；（2），，（3）无解． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的解构建是关键． （1）根据题意，通过方程组的解，画出图象即可； （2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个方程共同的解，即交点即可得到方程组的解； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解即可． 【详解】解：（1）如图示： （2）观察图象，两条直线的交点坐标为，由此你得出这个二元一次方程组的解是； 故答案为：，； （3）根据图象，两直线没有交点，方程组无解． 故答案为：无解． 22. 如图，为等边三角形，即，分别是，上的点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）通过证明，即可得出； （2）通过证明，即可得出度数． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， ． 23. 某校开展运动会，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．已知买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元．商店开展促销活动：活动方案一：商店内所有商品9折出售．活动方案二：用35元购买会员卡，凭会员卡购买，商品价格打8折； （1）该商店在无促销活动时，求 A 款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）促销期间，若购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若参与活动方案一，共需要 元；若参与活动方案二，共需要 元．（均用含m代数式表示） （3）在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，参与活动方案二购买方式更合算？ 【答案】（1）该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元 （2）， （3）当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式，准确计算． （1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，根据买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据参与活动方案二购买方式更合算列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； 【小问2详解】 解：活动方案1， 共需要元； 活动方案2， 共需要元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 24. 盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示． （1）请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式； （2）研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1）根据题意直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据两种植物高度差距不超过建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设植物B生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 解得 ． 将代入 得． ∴交点坐标为． 设植物A生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得 ，解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得 故盆栽呈现别致美的时候，药物施用量的取值范围为 25. 如图1，在 中， ，平分，试判断和、之间的数量关系．数学研究小组发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）． （1）在图2中哪两个三角形是全等三角形，请说明理由； （2）和、之间的数量关系是： ． 说明理由； 参考数学研究小组发现思考问题的方法，解决问题： （3）如图3， 在四边形中， 平分，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），见解析；（3）21 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用“”证明三角形全等即可； （2）由（1）可得，，即，，再根据直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质可得，再根据等角对等边可得，可得，利用等量代换即可得证； （3）在上截取，连接，证得，可得，，过点C作于点F，由等腰三角形的性质可得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解∶（1），理由如下： ∵平分， ∴， 又∵，， ∴； （2），理由如下： 由（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ，， 过点C作于点F， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、直角三角形的性质、三角形外角的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$