专题06 全等三角形的判定（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题06 全等三角形的判定 目录 【题型一 全等三角形的判定条件】 1 【题型二 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 2 【题型三 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 3 【题型四 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 3 【题型五 运用全等三角形解决实际测量问题】 5 【题型六 作辅助线构造三角形全等证明线段间的和差倍分关系】 6 【题型七 与三角形全等有关动点探究题】 6 【题型八 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 7 【题型一 全等三角形的判定条件】 例题：（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，，，，四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不一定能使的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．    【题型二 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）在和中，，，增加下列条件后，不能判断这两个三角形全等的是（    ） A． B．边和边上的高相等 C．边和边上的中线相等 D．三角形中和的角平分线相等 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【题型三 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：． 【变式训练】 1．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 【题型四 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证： ． 【题型五 运用全等三角形解决实际测量问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A，B的距离，小华同学设计出如下方案： 由如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“数学实践活动”小组同学就“测量水潭两侧，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： 测量方案： （1）如图，在地面上找能够直接到达，两点的点， （2）沿着向前走到点处，使得， （3）沿着向前走到点处，使得， （4）测出、两点之间的距离． 测试数据：米． 问题解决：“数学实践活动”小组同学根据测量方案得到米．你同意“数学实践活动”小组同学的结论吗？请说明理由． 【题型六 作辅助线构造三角形全等证明线段间的和差倍分关系】 例题：（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练】 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 【题型七 与三角形全等有关动点探究题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【题型八 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 例题：（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　 (1)如图1，中，为边上的中线，请证明； (2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______； (3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______； (4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来） 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图， 于点， 于点， ， 如果添加一个条件后，可以直接利用“”来证明， 则这个条件应该是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 8．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 9．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，平分，于点，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 10．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知，点，在线段上，与相交于点，且，．若，求的度数． 12．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，且，．求证：是等腰直角三角形． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 15．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．    (1)试说明：． (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形的判定 目录 【题型一 全等三角形的判定条件】 1 【题型二 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 3 【题型三 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 6 【题型四 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 8 【题型五 运用全等三角形解决实际测量问题】 11 【题型六 作辅助线构造三角形全等证明线段间的和差倍分关系】 12 【题型七 与三角形全等有关动点探究题】 16 【题型八 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 18 【题型一 全等三角形的判定条件】 例题：（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全等三角形的判定方法有，，，根据定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有，，，． 【详解】解： A、，，，符合，即能推出，故本选项错误； B、，，，符合，即能推出，故本选项错误； C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项正确； D、，，，符合，即能推出，故本选项错误； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）如图，，，，四点在同一条直线上，，，添加一个条件，不一定能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、添加，则，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； B、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足边边角，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）在和中，，，增加下列条件后，不能判断这两个三角形全等的是（    ） A． B．边和边上的高相等 C．边和边上的中线相等 D．三角形中和的角平分线相等 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质分析是解题的关键． 【详解】解：A．如图所示， ，， ∴，故A不符合题意； B．如图所示．， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴，故B不符合题意； C．如图所示， ∵，边和边上的中线相等 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵，， ∴，故C不符合题意； D．∵，三角形中和的角平分线相等，只有两个条件， ∴无法证明三角形全等，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据已知条件得到图中全等的三角形即可． 【详解】解：①， ∵，，， ∴； ②， ∵，，， ∴； ③， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； ④ ∵，， ∵， ∴， 因此，图中一共有4对全等的三角形， 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【题型三 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由证明，再证，即可证明，由此可得． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【变式训练】 1．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 【答案】(1)115° (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． 【题型四 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【详解】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以， 所以， 在与中 所以； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，先利用平行线的性质证得，再证明得到即可证的结论． 【详解】证明：∵，∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴（全等三角形对应角相等）， ∴． 【题型五 运用全等三角形解决实际测量问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A，B的距离，小华同学设计出如下方案： 由如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，量出的长即为A，B的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由． 【答案】小华同学的方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：小华同学的方案可行． 证明：在和中， 小华同学的方案可行． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“数学实践活动”小组同学就“测量水潭两侧，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： 测量方案： （1）如图，在地面上找能够直接到达，两点的点， （2）沿着向前走到点处，使得， （3）沿着向前走到点处，使得， （4）测出、两点之间的距离． 测试数据：米． 问题解决：“数学实践活动”小组同学根据测量方案得到米．你同意“数学实践活动”小组同学的结论吗？请说明理由． 【答案】同意，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．证明即可得米． 【详解】解，同意．理由如下： 在和中． 所以， 所以米． 因此水潭两侧，两点间距离就是线段的长12米． 【题型六 作辅助线构造三角形全等证明线段间的和差倍分关系】 例题：（20-21八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，延长到，使，连接，可证明，根据全等三角形的性质可得，在中利用三角形三边关系可求得的范围，可求得的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，    为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ， ， ， 故答案为：． 【题型七 与三角形全等有关动点探究题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的性质；分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时， 点的运动时间为 秒 ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：或或． 【题型八 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 例题：（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证； 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　 (1)如图1，中，为边上的中线，请证明； (2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______； (3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______； (4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来） 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)4或2 (4) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. （1）由中线的定义可得可得 ，则可得结论； （2）由中点的定义可得 可得 （3）由中点定义可得由三等份的定义可得或由面积的和差关系可求 或，即可求解； （4）由“”可证可得即可求解. 【详解】（1）∵为边上的中线, ， ∴ ； （2）点是的中点， ， ， ∵点是的中点, ， ， ∵点是的中点, ， ， 故答案为：； （3）如图, 连接, ∵点是的中点, ， ∵点是三等分点， 或， ，或 或, ∵点是的中点, ， 或， 故答案为：或； （4）如图，延长交于, ∵点在的平分线上， ， ， ， 又∵， ， ， ，， ， 故答案为： 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图−作角．利用作图痕迹得到，，则根据“”可判断，从而得到． 【详解】解：由作法得，， 所以根据“”可判断， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图， 于点， 于点， ， 如果添加一个条件后，可以直接利用“”来证明， 则这个条件应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了HL定理 全等三角形，根据“”定理，证明，需要有一对直角边和一对斜边；已知一对直角边相等，即，添加一对斜边相等即可 【详解】解：由题意可知，一对直角边相等，即， 根“”定理，证明，还需补充一对斜边相等，即 故选：C． 4．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若添加：，则， 在与中， ， ，不符合题意； B、若添加：，不能判定，符合题意； C、若添加， ，不符合题意； D、若添加：，则， ，不符合题意， 故选：B． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、， ∴， ∵点B与地面距离为， ∴点E到地面的距离为， ∴， ∴点D到地面的距离为：， 小丽距离地面的高度为：． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 【答案】或或．（选择其一作答即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意要证明已有一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等． 【详解】解：， 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 故答案为：或或．（选择其一作答即可） 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 8．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ，， ， 即：两堵木墙之间的距离为． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，平分，于点，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：3． 10．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知，点，在线段上，与相交于点，且，．若，求的度数． 【答案】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形及三角形内角和定理即可求解，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：， ∴， ， ，，， ， 在中，，， ， ， 在中，． 12．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，且，．求证：是等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 又 是等腰直角三角形． 13．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，，，点D在边上，，和相交于点O．    (1)试说明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． ， ，． 在和中， ； （2）解：， ，． ， 是等腰三角形， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$