第十一章 三角形单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

第11章 三角形单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第11章 三角形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 2．将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 5．如图，为了估计池塘两岸、间的距离，在池塘一侧选取了点，测得，，则、两点的距离不可能是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 7．如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线l上摆放着两个大小相间的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论： ①； ②； ③和的周长之和等于的周长； ④图中阴影部分的面积之和大于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 12．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ． 13．如图中，，平分，平分，则 度． 14．如图，，是五边形的四个外角．若，则 度． 15．已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分， ； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则 ． 16．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 18．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 19．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 20．如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，六边形的各个内角都相等，且． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 22．如图，、、、是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 23．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 25．如图，，连接是内部的任意一条射线． (1)当为的角平分线时， ①如图1，作的角平分线交与点E，求证：； ②如图2，过点B作平分交于点P，求的度数； (2)如图3，，是内的任意一条射线，与交于点P，若，，则直接写出__________．（请用含k的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第11章 三角形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三边关系是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A选项错误； B、∵， ∴不能组成三角形，故B选项错误； C、∵， ∴不能组成三角形，故C选项错误； D、∵， ∴能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 2．将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：B． 3．从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，最后根据对顶角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， ， 故选：B 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 【答案】A 【分析】利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案．本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为，内角和为， 多边形外角和为， 解得：， 故选：A． 5．如图，为了估计池塘两岸、间的距离，在池塘一侧选取了点，测得，，则、两点的距离不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边． 根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：在中，， 则，即， ∴、间的距离不可能是， 故选：D． 6．如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积推出，，再根据四边形的面积为20，得到，据此求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 同理可得， 同理可得， ， 四边形的面积为20， ， ， ， 故选：B 7．如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，直线l上摆放着两个大小相间的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论： ①； ②； ③和的周长之和等于的周长； ④图中阴影部分的面积之和大于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，三角形面积的计算，掌握平移的性质，掌握三角形、平行四边形、长方形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和， ，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； 和的周长之和为 ′， 即与的周长相等，而与形状大小完全一样， 和的周长之和等于的周长， 因此③正确； ， ， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 9．若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：三个角的大小满足， ， ， 故选A． 10．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和除以即可求解，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴这个多边形的边数为12． 故答案为：12 12．如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形的面积，三角形的中线，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解． 根据是的中线，，算出同理，是的中线，得出，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵是的中线，， ， 同理，是的中线，， ， 又∵， ， 故答案为：3． 13．如图中，，平分，平分，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据角平分线的定义求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：115． 14．如图，，是五边形的四个外角．若，则 度． 【答案】/290度 【分析】本题考查多边形的内角和和邻补角的定义，先根据多边形内角和定理求出的度数，再根据邻补角的定义理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知直线，直线分别与，交于点E，F． （1）如图1中，若平分，平分， ； （2）如图2，若，平分，平分交于H，平分交于P，则 ． 【答案】 90 35 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义即可求解； （2）由，平分交于H，可得，再由平分，平分交于P，可得，再由外角的性质得，从而得出 ，再求解即可． 【详解】（1）解： ， ． 平分，平分， ， ， ； 故答案为：90； （2），平分交于H， ， 平分，平分交于P， ， ， ， ， ， 故答案为：35 16．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 是的中点，， ，， 又， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：12． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】12． 【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 求出每个外角度数，再拿外角和除以每个外角度数即为边数． 【详解】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数为12． 18．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 19．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查三角形的外角： （1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵， ∴（等式的性质）， ∴（已知）， ∴（等量代换）． 20．如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，即可得到的度数． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ． （2）是的高， ， ， ， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，六边形的各个内角都相等，且． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角和，平行线的判定： （1）根据多边形的内角和的计算方法，求出的度数即可； （2）求出的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1） 解：∵六边形的各内角相等， ∴一个内角的大小为 ∴． （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，、、、是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． （1）根据得出，进而得出，即可求证； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，则，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒． (1)当________秒时，把的周长分成相等的两部分； (2)当为何值时，的面积恰好等于面积的一半？ 【答案】(1)6 (2)或2 【分析】本题考查三角形中的动点问题，三角形的中线，通过点P运动到不同位置所满足的条件，确定点P的位置，然后计算出运动的时间t，其中，分析周长平分以及的面积为具体的数值时点P所处的位置特点是解题的关键． （1）点P运动的路程是三角形的周长的一半，点P运动的路程速度时间，由此列出方程，求得t； （2）分点为边的中点和点为边的中点，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴的周长， 当把的周长分成相等的两部分时， 点P运动的路程的周长， 即， 解得， ∴当秒时，把的周长分成相等的两部分； （2）∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当点为边的中点或点为边的中点时，的面积恰好等于面积的一半， 当点为边的中点时，即， 则， ∴点P的运动的路程， 即， 解得， 当点P是中点时，此时，； 综上所述，满足条件的t的值为或2． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用] 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键． [实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； （2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； [猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解； [结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：[实验探究] （1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： [猜想证明]  ，证明如下： 如图，连接， 在中，， 在中，， ∴ ， 即； [结论应用]  由[猜想证明]得：，， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 解得：． 25．如图，，连接是内部的任意一条射线． (1)当为的角平分线时， ①如图1，作的角平分线交与点E，求证：； ②如图2，过点B作平分交于点P，求的度数； (2)如图3，，是内的任意一条射线，与交于点P，若，，则直接写出__________．（请用含k的式子表示） 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）根据角平分线的意义结合，即可得到，故可证明； （2）①可设，设，由可得，即，由，则； ②由题意设，，则，，则，，同上知，因此，故，同上可知． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， 平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴设， ∴ ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∴， 化简得，， ∵， ∴； ②如图， 由题意设，，则， ∵， ∴，， 同上知， ∴， ∴， 同上可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$