精品解析：山东省临沂市费县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：其中的两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这名运动员成绩的( ) 成绩/米 人数 A. 平均数 B. 中位数和众数 C. 平均数和中位数 D. 方差 4. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，过四边形的各顶点作对角线的平行线围成四边形，若四边形是菱形，则原四边形一定是( ) A. 对角线相等的四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 6. 如图，已知的顶点，若将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数（，为常数，且）的与的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（ ） … 0 1 2 … … 4 1 A. 随的增大而减小 B. 当时，的值为 C. 图象不经过第三象限 D. 图象与轴的交点在轴负半轴上 8. 如图，正方形的边长为4，点分别在上，，连接与相交于点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使在实数范围内有意义，的取值范围是______． 12. 一组数据1，3，2，5，4的方差是________． 13. 将直线向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为______． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 16. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；，是直线上不重合的两点，则；④．其中正确的有______（填写序号）． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学“创新”小组，自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度； 步骤二：如图3，小新同学将绳子末端放置头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，用皮尺测出距离． 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出部分 米 小新直立位置距旗杆底端的水平距离 8米 小新身高 米 请根据表格所给信息，完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系______； （2）根据“创新”小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高． 19. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这首《二十四节气歌》，我们从小就会背了．二十四节气也在2016年被列入人类非物质文化遗产名录，这既可以看作是现代人对古人智慧的一种肯定，同时也具有极强的文化价值与意义．某中学在七、八年级各200名学生中开展了二十四节气知识竞赛活动，并从中各随机抽取了10名学生的成绩． 【收集数据】 七年级10名学生的成绩：； 八年级10名学生测试成绩中的成绩如下：． 【整理数据】 成绩/分 七年级 八年级 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）若学生成绩大于或等于分，即为优秀，请根据抽样调查数据，估计两个年级参赛学生中成绩优秀的共有多少人？ （3）通过以上分析，你认为哪个年级学生对二十四节气知识掌握得更好？请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）过点作轴的垂线，与直线分别交于两点．当时，求的值． 21. 如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 22. 已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A、含开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．根据二次根式的加减法则和二次根式的乘除法法则进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：A．和不能合并，此选项原计算错误，不符合题意； B．，此选项原计算错误，不符合题意； C．，此选项原计算错误，不符合题意； D．，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：其中的两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这名运动员成绩的( ) 成绩/米 人数 A. 平均数 B. 中位数和众数 C. 平均数和中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知先求出这组数据中1.55和1.60的人数和，继而依据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据中和的人数和为(人)， 所以这组数据的众数为米，中位数为米，平均数和方差无法确定， 故选：B． 4. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数解析式得出，，即可得出一次函数的图象经过一、三、四象限，得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限， 故选：B． 5. 如图，过四边形的各顶点作对角线的平行线围成四边形，若四边形是菱形，则原四边形一定是( ) A. 对角线相等的四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平行四边形和菱形的判定．推出四边形、、是平行四边形，推出，则可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 同理， ， 平行四边形是菱形， 故选：A． 6. 如图，已知的顶点，若将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，从而确定向下平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， ∵将沿轴向下平移，使边的中点恰好落在轴上， ∴沿轴向下平移个单位， ∴点的坐标为． 故选：B． 7. 一次函数（，为常数，且）的与的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（ ） … 0 1 2 … … 4 1 A. 随的增大而减小 B. 当时，的值为 C. 图象不经过第三象限 D. 图象与轴的交点在轴负半轴上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，先求出一次函数解析式，再根据一次函数的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由表格可得：当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， ∵，， ∴随的增大而减小，函数图象经过一、二、四象限，故A正确； ∴图象不经过第三象限，故C正确； 当时，，故B正确； 令，则， 解得：， ∴图象与轴的交点在轴正半轴上，故D错误； 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为4，点分别在上，，连接与相交于点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．先证明，可得，进而得到，再由“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、含角的直角三角形的性质，令、交于点，由平行四边形的性质可得，，即当线段长最小，则线段的长最小，由垂线段最短可得：当时，最小，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令、交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故选：D． 10. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使在实数范围内有意义，的取值范围是______． 【答案】一切实数 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数即可得出答案． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，的取值范围是一切实数， 故答案为：一切实数． 12. 一组数据1，3，2，5，4的方差是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．先计算数据的平均数，再计算方差即可． 【详解】解：平均数为 ， 方差为： ， 故答案为：2． 13. 将直线向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减、上加下减，即可得出答案，熟练掌握一次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将直线向右平移1个单位长度，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 15. 甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案． 【详解】解：由题意得，甲组单独每天可挖掘， ∴甲组一共挖掘了， ∴乙组一共挖掘了， ∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多， 故答案为：． 16. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；，是直线上不重合的两点，则；④．其中正确的有______（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得出，，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，故①正确； 将分别代入和得：，， 观察图象可得点在点的上方， ∴，故②正确； ∵，是直线上不重合的两点， ∴由图象可得：当时，，则，当时，，则，故③正确； 由图象可得，与交点的横坐标为， ∴当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可； （2）先将用平方差、完全平方公式将原式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学“创新”小组，自主开展测量学校旗杆高度的项目研究，他们制订了测量方案，并进行实地测量． 项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度； 步骤二：如图3，小新同学将绳子末端放置头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，用皮尺测出距离． 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出部分 米 小新直立位置距旗杆底端的水平距离 8米 小新身高 米 请根据表格所给信息，完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系______； （2）根据“创新”小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解应用题，涉及矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，读懂题意，构造直角三角形由勾股定理求解是解决问题的关键． （1）根据题意，旗杆的绳子长度始终保持不变，由图2与图3中的描述即可得到答案； （2）由题意，得到相关线段长度及关系，过点作于点，如图所示，设，则，，在中，由勾股定理可得列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图2可知，旗杆的绳子长为； 由图3可知，旗杆的绳子长为； 绳子垂到地面多出部分米， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 过点作于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， 则，解得， 答：学校旗杆的高度为． 19. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这首《二十四节气歌》，我们从小就会背了．二十四节气也在2016年被列入人类非物质文化遗产名录，这既可以看作是现代人对古人智慧的一种肯定，同时也具有极强的文化价值与意义．某中学在七、八年级各200名学生中开展了二十四节气知识竞赛活动，并从中各随机抽取了10名学生的成绩． 【收集数据】 七年级10名学生的成绩：； 八年级10名学生测试成绩中的成绩如下：． 【整理数据】 成绩/分 七年级 八年级 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）若学生成绩大于或等于分，即为优秀，请根据抽样调查数据，估计两个年级参赛学生中成绩优秀的共有多少人？ （3）通过以上分析，你认为哪个年级学生对二十四节气知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1），， （2）人 （3） 八年级学生对二十四节气知识掌握得更好．理由如下： 八年级10名学生测试成绩的平均数、中位数均高于七年级，且方差小于七年级，说明八年级学生的测试成绩更好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体； （1）根据各组数据之和等于即可求出的值，根据平均数的定义可求出的值，根据中位数的概念可求的值； （2）用各年级人数乘以对应的优秀学生占的比例，然后相加即可； （3）根据平均数、中位数、方差的意义解答即可（答案不唯一，合理均可）． 【小问1详解】 解：由题意可得，． 平均数 ． 八年级名同学测试成绩中，前面两组共有人，第三组人，第三组成绩从小到大排列为，，， 所以中位数． 故答案为：，，； 【小问2详解】 （人）， 故可估计两个年级参赛学生中成绩优秀的共有人； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）过点作轴的垂线，与直线分别交于两点．当时，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一次函数的图象与性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入直线得即可得出点的坐标，再利用待定系数法即可得出直线的解析式； （2）由题意得，求出，，从而得出，结合建立方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：将代入直线得：， ∴， 将，代入直线得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 21. 如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】 这两位同学的说法都正确，证明如下， 证明：如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明． 【详解】略 22. 已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地． （1）求甲的速度； （2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象； （3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值． 【答案】（1） （2），函数图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）根据图中数据，利用路程、时间、速度之间的关系可得答案； （2）先计算出乙的行驶时间，分和两段，利用待定系数法求出解析式，再描点作图即可； （3）同（2）求出甲与B地的距离与之间的关系式，分相遇前、相遇后两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：甲的速度为； 【小问2详解】 解：由题意知，乙的行驶时间为：， ， 当时，乙与B地的距离， 当时，设， 将，代入，得：， 解得， 当时， 综上可知，， 函数图象如下： 【小问3详解】 解：同（2）可得，甲与B地的距离与之间的关系式为：， 令，即时，乙追上了甲． 乙在行驶途中与甲相距时，分两种情况： ①相遇前：，令，解得， ②相遇后：，令，解得． 综上，x的值为或． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）略 （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $