精品解析：湖南省长沙市长沙县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年初中八年二期期末质量监测试卷 数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算，结果正确的是（ ） A B. C. 3 D. 9 2. “心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 转动抽奖转盘一次，中奖 C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 4. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. “志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．下表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计： 参与次数 5 4 3 2 1 参与人数 2 3 2 2 1 则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2，2 B. 2，3 C. 4，3 D. 4，3.5 7. 如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是________ 12. 已知三边a，b，c满足，则一定是________三角形． 13. 为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足________________时，选择乙种消费卡更为划算． 14. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 15. 为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占，，计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为________分． 16. 如图，将正方形放置于平面直角坐标系中，若点，点，则点B的坐标为________． 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题． （1）如果，则________；（直接写出答案） （2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是点A，点B，点C． （1）作出关于x轴对称的； （2）再将以点O为中心，顺时针旋转，作出旋转后； （3）观察和的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 20. 为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是________人；________；________． （2）将条形统计图补充完整． （3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 21. 如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 22. 为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 23. 我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． （1）如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； （2）在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 24. 根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务． 【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？ 【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务． 素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为； 素材3：设该巡航船行驶的时间为x（），与B岛的距离为y（），y与x的函数关系的图象如图（2）所示． 【问题解决】 （1）A岛与C岛之间的距离为________，________． （2）求y与x之间的函数关系式； （3）试确定该巡航船接收信号的有效时长． 25. 我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． （1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（ ）；②矩形（ ）；③菱形（ ） （2）如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； （3）如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中八年二期期末质量监测试卷 数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个．根据平方与开平方互为逆运算，可得一个数的算术平方根． 【详解】解：， 故选：C 2. “心有阳光，一路芬芳”．下列与心理健康有关的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 转动抽奖转盘一次，中奖 C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可． 【详解】解：A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； B. 转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意； C. 在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意； D. 一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意， 故选：D． 4. 一次函数y＝2x的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式知k=2>0，b=-3<0，则一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x， ∴k=2>0, b=-3<0， ∴一次函数y＝2x的图象经过第一、第三，第四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数对于一次函数=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、第三，第四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、第二，第四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、第三，第四象限． 5. 如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：， ， ， 故选：D． 6. “志愿服务，青春担当”，长沙县某校的学生积极参与志愿服务，展现了志愿者精神．下表是对10名学生本学期参与志愿服务情况的统计： 参与次数 5 4 3 2 1 参与人数 2 3 2 2 1 则关于志愿服务参与次数的统计数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2，2 B. 2，3 C. 4，3 D. 4，3.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据4出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数为4， 第5、6个数据分别为4，3， 所以这组数据的中位数为， 故选：D． 7. 如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可解答． 【详解】解：，点P是的中点，点是的中点， ， 在滑动的过程中的长度不变． 故选：B． 8. 将函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数图象的解析式为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据“上加下减”，即可找出平移后的函数关系式，此题得解． 【详解】解：根据平移的性质可知：将函数的图象沿轴向上平移4个单位长度后的函数关系式为． 故选：A． 9. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识．根据旋转的性质得，则，再利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由题意知，， ， ， 旋转角的度数等于， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识．由作图可知垂直平分线段，推出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：四边形矩形， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则有， 解得， ， ． 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则字母x的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 12. 已知的三边a，b，c满足，则一定是________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，将变形可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 13. 为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足________________时，选择乙种消费卡更为划算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少， 故答案为：． 14. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和个白球， ∴由简单概率公式可得，解得， ∴白球有6个， 故答案为：6． 15. 为提升学生的综合素养，某校举行了“新时代好少年，爱党爱国，强国有我”的主题演讲活动．参赛学生最终得分按照“内容”“表达”“效果”分别占，，计算．若1号参赛学生的得分为：“内容”得分96分，“表达”得分95分，“效果”得分90分，则1号参赛学生的最终得分为________分． 【答案】94 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可得， （分）， 即1号参赛学生的最终得分为94分， 故答案为：94． 16. 如图，将正方形放置于平面直角坐标系中，若点，点，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质．过点作轴，易证，可得，继而可求点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 点，点， ，， ∵ ∴ 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题． （1）如果，则________；（直接写出答案） （2）如果x满足，试求x的值，请写出必要的解答过程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义即可求得答案； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：如果，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原方程整理得：， 则， 解得：或． 19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点的坐标是点A，点B，点C． （1）作出关于x轴对称的； （2）再将以点O为中心，顺时针旋转，作出旋转后的； （3）观察和的位置，试判断它们是否关于某条直线对称？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）关于对称 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换、待定系数法求一次函数解析式． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接，作线段的垂直平分线，结合轴对称的性质可知△与△关于直线对称，再利用待定系数法求一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：如图，△即所求． 【小问2详解】 如图，△即为所求． 小问3详解】 解：连接，作线段的垂直平分线， 则△与△关于直线对称． 这直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为． 20. 为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为A组，及格为B组，良好为C组，优秀为D组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是________人；________；________． （2）将条形统计图补充完整． （3）A组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 【答案】（1）50；42；30 （2）见解析 （3）随机抽取的2人来自不同班级的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次抽取的学生人数再乘以可得，进而可得，即可得，的值． （2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数是（人， ， 组的人数为（人， ， ，． 故答案为：50；42；30； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 解：列表如下： 小振 小星 小张 小沙 小振 （小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙） 小星 （小星，小振） （小星，小张） （小星，小沙） 小张 （小张，小振） （小张，小星） （小张，小沙） 小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张） 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种， 随机抽取的2人来自不同班级的概率为． 21. 如图，四边形是平行四边形，，，点E是边的延长线上的动点．连接．过点C作于点F． （1）求证：四边形是正方形； （2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，在中由勾股定理得，据此可得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， 【小问2详解】 连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形的面积． 22. 为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 【答案】（1） （2）购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式和不等式关系式是解题的关键． （1）根据题意甲种奖品费用乙种奖品费用，即可列出函数关系式； （2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得，故，从而知的最小值为8，再由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 甲种奖品的数量不少于乙种奖品的， ， 解得， 为整数， 的最小值为8； 在中，， 随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为（元， 此时， 购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元． 23. 我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题． （1）如图，中，，，，请利用上述公式求的面积； （2）在（1）的条件下，作于点D，求，的长． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键． （1）根据公式先求出，再求出即可； （2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：， ， 面积是； 【小问2详解】 解：，即， ， ． 24. 根据以下活动项目提供的材料，完成相关任务． 【活动主题】怎样确定巡航船接收信号的有效时长？ 【活动过程】素材1：如图（1），A，B，C三个海岛在同一条直线上，巡航船从A岛出发沿直线行驶，航行速度一直保持不变，经过B岛驶向C岛，执行巡航任务． 素材2：B岛处有一个不间断发射信号的发射台，发射信号的覆盖半径为； 素材3：设该巡航船行驶的时间为x（），与B岛的距离为y（），y与x的函数关系的图象如图（2）所示． 【问题解决】 （1）A岛与C岛之间的距离为________，________． （2）求y与x之间的函数关系式； （3）试确定该巡航船接收信号的有效时长． 【答案】（1）120，1.5 （2）； （3）该巡航船接收信号的有效时长为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛，可知岛与岛之间的距离为，求出巡航船速度为，即知； （2）当时，；当时，； （3）在中，令得；在中，令得；故该巡航船接收信号的有效时长为． 【小问1详解】 解：由图象可知，海岛距海岛，海岛距海岛， 岛与岛之间的距离为， 巡航船速度为， ； 故答案为：120，1.5； 【小问2详解】 解：当时， 设解析式为 把代入 得出 ∴ ∴； 当时， ∵航行速度一直保持不变 ∴； ； 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得； 在中，令得， 解得； ， 该巡航船接收信号的有效时长为． 25. 我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． （1）试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（ ）；②矩形（ ）；③菱形（ ） （2）如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； （3）如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）四边形周长的最小值为． 【解析】 【分析】（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； （2）在上截取，连接，可证明，得，，而，则，所以，则，所以，即可证明四边形是“互补四边形”； （3）由是“互补四边形”，推导出，则四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则，，可证明，求得四边形周长的最小值为． 【小问1详解】 解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， 平行四边形不是“互补四边形”， 故答案为：． ②矩形的四个角都是直角， 矩形的对角互补， 矩形是“互补四边形”， 故答案为：． ③菱形的对角相等，但对角不一定互补， 菱形不是“互补四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图（1），在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“互补四边形”； 【小问3详解】 解：如图（2），四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， 是“互补四边形”， ，， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， 连接、交于点，连接、、、，则，，，， ， ，， ， ，， ，， ， ， 当点与点重合时，， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$