精品解析：山东省临沂市蒙阴县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023−2024学年度下学期期末教学质量调研 八年级数学试题 2024.7 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0即可得解． 【详解】解：根据题意得，x＋3≥0， 解得． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数． 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理结合三角形三边关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，能构成直角三角形，故C符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形，是解题的关键． 3. 下列计算正确是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 4. 已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数y＝kx（k≠0），当k>0，y随x增大而增大，图象经过原点与一、三象限，则y＝kx+k的图象向上平移，与y轴正半轴有交点，图象过一、二、三象限． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵b＝k＞0， ∴一次函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的基本性质，关键在于判断k值与b值得符号，然后确定图象所在的象限． 5. 如图，在中，AD= 10，点M、N分别是BD、CD的中点，则MN等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=10， ∵点M、N分别是BD，CD的中点， ∴MN=BC=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 6. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可． 详解】解：∵经过， ∴， ∴， ∴直线与直线相交于点， 方程组的解是， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系． 7. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为（　　） A. 16 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选：A． 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，李老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B. 由段是线段可知，铁块是匀速向下移动的 C. 铁块的高度为 D. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象.关键是得到图象中关键点表示的意义.用到的知识点为：浮力重力拉力. 【详解】∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为， 故A正确，不符合题意； ∵ 段是线段， ∴拉力与移动的距离成一次函数关系， ∴铁块是匀速向下移动的， 故B正确，不符合题意； ∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变. ∴铁块的高度为段铁块移动的距离为 故C正确，不符合题意； ∵当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中， ∴拉力的大小为 ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为 故D错误，符合题意. 故选:D. 10. 如图，在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点的坐标． 【详解】解：把x=0代入得，y=1， ∴A1的纵坐标是：1＝20，A1的横坐标是：0＝20﹣1， 把x=1代入得，y=2， ∴A2的纵坐标是：1+1＝21，A2的横坐标是：1＝21﹣1， 同理，A3的纵坐标是：2+2＝4＝22，A3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1， ∴A4的纵坐标是：4+4＝8＝23，A4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1， 据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1． 即点的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一组数据2，3，3，5，7的众数是_________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵数据2，3，3，5，7中出现次数最多是3 ∴众数是3 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，熟练地掌握众数的概念是解决本题的关键. 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，且， 一次函数的图像y随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k的正负性与一次函数的增减性之间的关系是解题的关键． 13. 如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得和，中由勾股定理求得，然后由面积代入求值即可； 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴中：， ∵面积， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积计算；掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键． 14. 将一张长为，宽为的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的个长方形沿、剪开，再将这个直角三角形拼成如下的大正方形，则此大正方形的面积是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】计算得出中间小正方形的面积再加上原长方形的面积即可. 【详解】根据对折后剪开再拼图如下图： () ， () ， ∴小正方形的边长为：() ， ∴() ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了组合图形的面积及有理数的加减，关键是求得中间小正方形的面积． 15. 如图1，在矩形中，动点E从点B出发，沿方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，矩形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据函数图象可得，当时，点E运动到点A，x的值在之间时，点E从点A运动到点D，可得，，即可求解． 【详解】解：由图可得，当时，点E运动到点A， ∴， ∵x的值在之间时，点E从点A运动到点D， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：12． 16. 如图，在正方形中，点是对角线交点，过点作射线分别交于点，且交于点．有下列结论： （1）； （2）； （3）四边形的面积为正方形面积的； （4）．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出. 利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案. 【详解】①在正方形中, , ∵, ∴， ∴, 在和中, ， ∴, 故①正确; ②∵, ∴, ∵四边形为正方形， ∴, ∴, 故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的 故③正确； ④在中, 根据勾股定理, 得:故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式． ． 18. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，求底部边缘处与之间的距离的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．利用勾股定理先求出，再求出，即可解答． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， 答：底部边缘处与之间的距离的长为． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】（1），点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把代入所求解析式即可得出点的坐标； （2）求出直线过点、时的值，结合图像即可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为， ∵一次函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 如图所示： 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， ∵时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于， ∴的取值范围为． 20. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 n 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______（填“”“”或“”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1） （2）甲公司，理由见解析（答案不唯一） （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． （1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10,一共个数据，其中第个与第个数据分别为， 所以中位数， 乙组的平均数为, ， 故答案为:,，； 【小问2详解】 选择甲公司，理由如下： 配送速度得分，甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 小丽应选择甲公司； 【小问3详解】 还应收集甲、乙两家公司的收费情况． 21. 如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 22. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示． （1）甲的速度为________米/秒，乙的速度为________米/秒； （2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点________米； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有________米． 【答案】（1）4，5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用．熟练掌握函数图象，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键． （1）由题意知，乙开始运动时，甲、乙距离米，则甲的速度为（米/秒），当时，乙到达终点，则乙的速度为（米/秒）； （2）当甲、乙两人第一次相遇时，，可求，则甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米，计算求解即可； （3）由题意知，乙到达终点时，甲距离终点还有米，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，乙开始运动时，甲、乙距离米， ∴甲的速度为（米/秒）， 当时，乙到达终点， ∴乙的速度为（米/秒）， 故答案为：4，5； 【小问2详解】 解：当甲、乙两人第一次相遇时，， 解得，， ∴甲、乙两人第一次相遇时，距离起点（米）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，乙到达终点时，甲距离终点还有（米）， 故答案为：． 23. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②36， 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∵EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝10， 在Rt△CDE中，DE＝＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝2； 在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE， ∴，解得：， ∴菱形BFEP的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，， ， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6， ， ∴菱形的面积范围：． 菱形PBFE面积最大值是36，最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年度下学期期末教学质量调研 八年级数学试题 2024.7 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数y＝kx（k≠0），y随x增大而增大，那么函数y＝kx+k的图象是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，AD= 10，点M、N分别是BD、CD的中点，则MN等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不能确定 6. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（　　） A B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为（　　） A 16 B. 8 C. 12 D. 10 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，李老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B. 由段是线段可知，铁块是匀速向下移动的 C. 铁块的高度为 D. 当铁块下降高度为时，该铁块所受到的浮力为 10. 如图，在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一组数据2，3，3，5，7的众数是_________． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，如果，那么的取值范围是______． 13. 如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为______． 14. 将一张长为，宽为的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的个长方形沿、剪开，再将这个直角三角形拼成如下的大正方形，则此大正方形的面积是___________________. 15. 如图1，在矩形中，动点E从点B出发，沿方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，矩形的面积为______． 16. 如图，在正方形中，点是对角线交点，过点作射线分别交于点，且交于点．有下列结论： （1）； （2）； （3）四边形的面积为正方形面积的； （4）．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）计算： 18. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，求底部边缘处与之间的距离的长． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 20. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 78 m 7 乙 n 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______（填“”“”或“”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 21. 如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 22. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示． （1）甲的速度为________米/秒，乙的速度为________米/秒； （2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点________米； （3）乙到达终点时，甲距离终点还有________米． 23. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$