精品解析：山东省济南市平阴县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末学习诊断检测 七年级数学试题 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，把一个图形沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线对称．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽0.6米、厚0.000015米（0.015毫米），广泛应用于航空航天、新能源、通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．0.000015用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，确定和的值是解题的关键．根据科学记数法是指把一个绝对值大于等于(或者小于)的数记为的形式(其中)即可解答． 【详解】解：∵， 故选A． 3. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件，随机事件，不可能事件的概念．根据各诗句的意义，分析其发生的可能性，一定发生的是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【详解】A.黄河入海流，这是必然事件； B.手可摘星辰，这是不可能事件； C.锄禾日当午，这是随机事件； D.大漠孤烟直 ，这是随机事件． 故选：A． 4. 下列算式正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等知识，分别进行单项式乘以单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等运算，然后选出正确选项即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选D． 5. 小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为，．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；三角形两边之和大于第三边． 根据构成三角形的条件，确定出第三边长，再由概率求解． 【详解】解：小明随手拿了一根，有五种情况，由于三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只有这根是或， 小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率． 故选：A． 6. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ A．若添加，根据可判定； B．若添加，根据可判定； C．若添加，不能判定； D．若添加，则，根据可判定； 故选C． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点， ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出，根据线段的垂直平分线性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：平分， ， 直线l是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，能求出是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 9. 如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键． 由完全平方公式，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：∵正方形和的面积之和为17， ∴， ∵长方形的周长是10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴长方形的面积是4． 故选：B． 10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键． 对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果． 【详解】和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 所以①错误， 为等腰直角三角形，平分， ， 所以②正确， ，， ， ， ， ， 所以③正确， 点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以④正确， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出结论即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 即， 故答案为：或． 12. 若，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据进行计算即可．本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 13. 等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度． 【详解】解：如图：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC=BC=8， Rt△ABD中，AB=17，BD=8， 由勾股定理，得：AD==15， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键． 14. 如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线运动，到点B停止，过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】##6平方厘米 【解析】 【分析】根据的长y（）与点P的运动时间x（秒）的图象，可判断AC＝3cm，BC＝4cm，根据三角形为直角三角形，即可求出三角形的面积． 【详解】解：的长y（）与点P的运动时间x（秒）的图象可知，点P在AC上运动了3s，在BC上运动了4s， ∵点P以每秒1cm的速度运动， ∴AC＝3cm，BC＝4cm， ∵∠ACB＝90°， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、三角形面积的计算，解答本题的关键是函数图象得到AC、BC的长度，此题难度一般． 16. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，）．“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是________． 【答案】2701 【解析】 【分析】本题考查了探索规律的问题，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．根据题意观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1．归纳可得第n组的第二个数为，又因为，所以第2024个智慧数是第675组中的第2个数，从而得到． 【详解】解：观察探索规律，知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，第二个数比第一个数大1． 归纳可得第n组的第二个数为， ∵， ∴第2024个智慧数是第675组中的第2个数， 即为． 故答案为：2701． 三、解答题：（共10小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂和零次幂，再计算加减； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘除运算； （3）将该算式变形后，运用平方差公式进行求解． 此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 【小问1详解】 解：（1） ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键． 19. 已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，∠1＝∠2． 求证：EF∥CD． 小明给出了如下不完整的证明过程，请你帮助小明完成． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（___________） ∴DG∥AC（___________） ∴∠2＝______（___________） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝______（等量代换） ∴EF∥CD（___________） 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠ACD；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据垂直的定义推出DG∥AC，根据平行线性质得出∠2=∠ACD，等量代换得出∠1=∠DCA，根据平行线判定推出即可． 【详解】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知） ∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）， ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠DCA（等量代换）， ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）， 【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定定理． 20. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． （1）画出关于直线对称的； （2）直线上存在一点P，之和最短，请画出P点的位置（保留作图痕迹）． （3）请说明的形状． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求； （3）解：∵，，， ∴； ∴， ∴为直角三角形； 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）分别确定关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）如图，连接交于，则即为所求； （3）先利用勾股定理分别求解三角形的三边的平方，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于对称， ∴， ∴，此时最短； 【小问3详解】 略 21. 太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 【答案】（1）风筝的高度为21.7米 （2）的长度为9米 【解析】 【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可； （2）利用等积法求出DH的长，再在中由勾股定理即可求得BH的长． 【小问1详解】 在中，由勾股定理，得： （米）， 所以（米）， 答：风筝的高度为21.7米． 【小问2详解】 由等积法知：， 解得：（米）． 在中，（米）， 答：的长度为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确． 22. 已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？ （2）若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是，求需放入多少个黑球． 【答案】（1） （2）需放入20个黑球 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）设需要放入x个黑球，根据概率计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵袋子中有3个白球，4个黑球，且每个球被取出的概率相同， ∴从中随机取出1个球是黑球的概率是； 【小问2详解】 解：设需要放入x个黑球， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：需放入20个黑球． 23. 已知：在如图所示的“风筝”图案中，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理，即可得到答案． 【详解】略 24. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______，小明在书店停留了______； （2）本次上学途中，小明一共行驶了______，一共用了______； （3）我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度，在整个上学途中哪个时间段小明的速度最快？其速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）1500，4 （2）2700，14 （3）时间段小明的速度最快，其速度不在安全限度内 【解析】 【分析】（1）根据函数图象解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）分四部分：内、内、内、内，根据速度等于路程除以时间解答即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小明家到学校的路程是， 小明在书店停留了． 【小问2详解】 解： ， 所以本次上学途中，小明一共行驶了， 由函数图象可知，一共用了． 【小问3详解】 解：内：小明的速度为， 内：小明的速度为， 内：小明停留在书店买书，此时小明的速度为， 内：小明的速度为， ∵， ∴在整个上学途中，时间段小明的速度最快，其速度不在安全限度内． 25. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）40；（3）15 【解析】 【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1，用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2，据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可； （3）先计算S3＝（a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算，属于常见题型，熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键． 26. （1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得，，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°； （2）延长交于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解； （3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线和的夹角． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，∠CDE=45° ∴∠CDA=135° ∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90° 故答案为：90°，AD＝BE （2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下， 同理可得△ACD≌△BCE， 则AD=BE， 延长交于点F， 设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α ∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α ∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90° ∴AD⊥BE （3）如图，延长BE交AD于点G， ∵和均为等腰三角形， ∴，， ∵∠ACB=∠DCE=α， ∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CAD ∵ ∴∠CBA=∠CAB = ∴∠GAB+∠GBA=， ， ∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ， 即直线和的夹角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末学习诊断检测 七年级数学试题 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽0.6米、厚0.000015米（0.015毫米），广泛应用于航空航天、新能源、通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录．0.000015用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰 C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直 4. 下列算式正确的是 ( ) A. B. C. D. 5. 小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为，．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若是一个完全平方式，则的值是 ______ ． 12. 若，，则的值为________． 13. 等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________． 14. 如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为____________． 15. 在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线运动，到点B停止，过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的图象如图所示，则的面积为________． 16. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，）．“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是________． 三、解答题：（共10小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） （3） 18. 先化简，再求值：，其中， 19. 已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，∠1＝∠2． 求证：EF∥CD． 小明给出了如下不完整的证明过程，请你帮助小明完成． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（___________） ∴DG∥AC（___________） ∴∠2＝______（___________） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝______（等量代换） ∴EF∥CD（___________） 20. 如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． （1）画出关于直线对称的； （2）直线上存在一点P，之和最短，请画出P点的位置（保留作图痕迹）． （3）请说明的形状． 21. 太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 22. 已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？ （2）若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是，求需放入多少个黑球． 23. 已知：在如图所示的“风筝”图案中，．求证：． 24. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______，小明在书店停留了______； （2）本次上学途中，小明一共行驶了______，一共用了______； （3）我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度，在整个上学途中哪个时间段小明的速度最快？其速度在安全限度内吗？ 25. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 26. （1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $