精品解析：山东省德州市禹城市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁， 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. ∠A+∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. a2＝c2﹣b2 D. a：b：c＝：： 3. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 7，7 B. 8，7.5 C. 7，7.5 D. 8，6.5 4. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时 D. 函数图象经过第一、二、四象限 5. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 6. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线，相交于点．过点作于点．连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 10. A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如图所示．以下有四个推断： ①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱； ②月上网时间超过35小时且不足80小时，选择方式B最省钱； ③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元； ④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，月收费都是120元． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，轴，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论： ①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形． 其中正确的是(　　) A ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 14. 某校规定学生数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、90分和95分，则他本学期数学学期综合成绩是______分． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 16. 一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是______. 17. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有______米． 18. 如图，已知在中，，点是延长线上一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则_________． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： （1）线段和的长度； （2）点和点的坐标． 22. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）求证：； （3）若∠ADB=30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 23. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． （1）当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线于点P． （1）求点A、B的坐标； （2）若，求k的值； （3）在（2）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线交于点D，若，求C点的坐标． （4）在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求M点的坐标． 25. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． （1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形； （3）如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接． ①在图2中，求证：平分； ②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁， 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. ∠A+∠B＝∠C B. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C. a2＝c2﹣b2 D. a：b：c＝：： 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算即可． 【详解】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C+∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∴x+2x+3x=180， 解得：x=30， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； C、∵a2=c2-b2， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵a：b：c=：：， ∴设a=x，b=x，c=x， ∵（x）2+（x）2≠（x）2， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 3. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 7，7 B. 8，7.5 C. 7，7.5 D. 8，6.5 【答案】C 【解析】 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出． 【详解】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）． 故选C． 【点睛】本题考查众数和中位数的定义．解题关键是，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位． 4. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】、∵，∴的值随着值的增大而减小，故原说法正确，不符合题意； 、函数图象与轴的交点坐标为，故原说法错，符合题意； 、当时，故原说法正确，不符合题意； 、∵，，函数图象经过第一、二、四象限，故原说法正确，不符合题意； 故选∶． 5. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案. 【详解】如图，根据题意得：， ∴ ∴ ∴这个风车的外围周长 故选：D. 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解. 6. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围． 【详解】解： ∵点P（-1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上， ∴当-1＜3时，由题意可知y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴2m-1＜0，解得m＜， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键． 7. 如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加，不能判断平行四边形为矩形，不符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 添加则，可判断平行四边形为矩形，符合题意； 添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； 故选：． 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数与不等式的关系得到的解集即为不等式的解集，利用一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴不等式即为， ∴的解集即为不等式的解集， ∵直线交坐标轴于、两点，且， ∴y随x的增大而增大，时， ∴当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一元一次不等式与一次函数的关系是解题的关键． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点．过点作于点．连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 先根据菱形的性质、面积公式可得的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ，， ∵，即 ∴， 又，， 是斜边上的中线， ， 故选：C． 10. A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间x（小时）的对应关系如图所示．以下有四个推断： ①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱； ②月上网时间超过35小时且不足80小时，选择方式B最省钱； ③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元； ④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，月收费都是120元． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，月上网时间相同时，最下方的图象对应的月收费金额最少，最省钱，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据图象， ①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，符合题意； ②月上网时间超过35小时且不足80小时，选择方式B最省钱，符合题意； ③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，符合题意； ④对于上网方式C，无论月上网时间是多久，月收费都是120元，符合题意． 综上，所有合理推断的序号是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的图象，理解题意，读懂图象，准确获取所需信息是解答的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，轴，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、对称轴以及线段的最短距离，作点关于轴的对称点，连接，此时的周长最小值为的长；点坐标即为直线与轴的交点． 【详解】如图，作点关于轴的对称点 ，连接，与轴交于点 根据轴对称性质可知， 当三点共线，即点与点重合时，，此时取得最小值 ，为定值 此时取得最小值 点的坐标为 点的坐标为 轴 点的坐标为 是的中点 点坐标为 设直线的函数解析式为 把点, 点代入， 得： 解得 直线的函数解析式为 当时， 当的周长最小时，点的坐标为 故选：D． 12. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，，、、分别是、、的中点，下列结论： ①；②；③；④平分；⑤四边形菱形． 其中正确的是(　　) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC， 又∵BD＝2AD， ∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点， ∴BE⊥AC，故①正确， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，EF＝CD， ∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， ∴GE＝AB＝AG＝BG ∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误， ∵BG＝EF，AB∥CD∥EF ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确 ∵EF∥CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴∠AEG＝∠AEF， ∴AE平分∠GEF，故④正确， 若四边形BEFG是菱形 ∴BE＝BG＝AB， ∴∠BAC＝30° 与题意不符合，故⑤错误 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且 【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，掌握分母不能为0和被开方数不能为负数是本题的解题关键． 14. 某校规定学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按的比计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是80分、90分和95分，则他本学期数学学期综合成绩是______分． 【答案】89 【解析】 【分析】按的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：本学期数学学期综合成绩（分） 故答案为：89 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 16. 一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是______. 【答案】 【解析】 【分析】把代入，得，得出两直线的交点坐标为（1，2），从而得到方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 则函数和的图象交于点，即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是 故答案为 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 17. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有______米． 【答案】360 【解析】 【分析】设甲的速度为v1米/分钟，乙的速度为v2米/分钟，根据图象的信息科求出甲乙两人的速度，以及相遇所需要的时间，从而可求出答案． 【详解】解：设甲的速度为v1米/分钟，乙的速度为v2米/分钟， ∴v1＝＝60米/分钟， 由图象可知：乙追上甲需要12分钟， ∴12v2＝240+12×60， ∴v2＝80米/分钟， ∴此时乙共走了12×80＝960米， ∴乙离终点还有2400﹣960＝1440米， ∴乙到达终点时需要的时间为：＝18分钟， ∴甲离终点还有1440﹣18×60＝360米， 故答案为：360． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 18. 如图，已知在中，，点是延长线上的一点，，点是上一点，，连接，、分别是、的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，证明、分别是、的中位线，由三角形中位线定理得出，，，，证出，在中，由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，如图所示： 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算，平方差公式进行计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 原式 ． 20. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85；80；85；（2）初中部成绩好些；（3）初中代表队选手成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可． 【详解】解：（1）初中部5名选手的成绩分别为：75，80，85，85，100， 初中部的平均数为：（分）， 85出现的次数最多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85， 高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100， 所以高中部5名选手的成绩的中位数为80； 填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部 85 80 100 （2）初中部成绩好些． ∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵ ， ∴＜， 因此，初中代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题考查了众数，中位数和平均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法． 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： （1）线段和的长度； （2）点和点的坐标． 【答案】（1）， （2）点坐标为，点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得 ，进而利用勾股定理即可得解； （2）由，，得，即可求得．设，则，中，由．得，求解即可得解． 【小问1详解】 解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，， ， ． 【小问2详解】 解： ，， ， ． 又， 设，则， 在中，． ， ，即， ． 综上，点坐标为，点坐标为． 22. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）求证：； （3）若∠ADB=30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易证四边形AEBO是平行四边形．由矩形的性质可知AO=BO，即可判定四边形AEBO是菱形； （2）由菱形的性质可知BE=AO，，即得出∠BEF=∠OCF，∠EBF=∠COF．再结合BE=CO，即易证△BEF≌△OCF(ASA)； （3）由全等的性质可知BF=OF．再根据矩形的性质可知∠BAD=90°，从而可求出∠ABD=60°，进而可判定△ABO为等边三角形，根据“三线合一”可判断AF平分∠BAO． 【小问1详解】 ∵， ∴四边形AEBO是平行四边形． ∵矩形ABCD的对角线相交于点O， ∴AC=BD，AO=CO=AC，BO=BD． ∴AO=BO， ∴四边形AEBO是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形AEBO是菱形， ∴BE=AO，， ∴∠BEF=∠OCF，∠EBF=∠COF． ∵AO=CO， ∴BE=CO． ∴△BEF≌△OCF(ASA)； 【小问3详解】 ∵△BEF≌△OCF， ∴BF=OF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°． ∵∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°． ∵AO=BO， ∴△ABO为等边三角形． ∵BF=OF， ∴AF平分∠BAO． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识．掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 23. “琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进A，B两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进A种图书的总费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． （1）当和时，求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A，B两种图书共300本，已知B种图书每本22元．若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买A，B两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 【答案】（1） （2）购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【解析】 【分析】（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）购进A种图书x本，则购进B种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ， 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； 【小问2详解】 ∵购进A种图书x本，则购进B种图书本， 根据题意得，， ∴解得， ∴购进两种图书的总费用， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值， ∴， ∴当购进A种图书200本，购进B种图书100本时，总费用最少为6450元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线于点P． （1）求点A、B的坐标； （2）若，求k的值； （3）在（2）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线交于点D，若，求C点的坐标． （4）在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求M点的坐标． 【答案】（1）A点坐标为，B点坐标为 （2） （3） （4）或 【解析】 分析】（1）分别把，代入解析式求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，根据等腰三角形的性质可得，求得，再代入解析式求解即可； （3）设C点坐标为，则点D坐标为，点E坐标为，可得，，从而可得，再求解即可； （4）由，，求得，再由可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴B点坐标为， 令，则， ∴A点坐标为； 【小问2详解】 解：过点P作x轴的垂线，交x轴于点M， ∵A点坐标为， ， ∵ ， ， 把代入中，得， ∴P点坐标为， 把代入中，可得， 解得：； 【小问3详解】 解：∵C是直线上一点， ∴设C点坐标为， 则点D坐标为，点E坐标为， ，， ， ， 解得， 点坐标为； 【小问4详解】 解：∵B点坐标为，A点坐标为， ，， ， ， ， ， ， ， ∴或． 【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与坐标轴的交点问题、解一元一次方程、等腰三角形的性质、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相关知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 25. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． （1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形； （3）如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接． ①在图2中，求证：平分； ②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）④ （2）见解析 （3）①见解析，②BC+CD=AC 【解析】 【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断； （2）连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD，结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证； （3）①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证； ②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS“可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定埋可求CE=AC，即可求解． 【小问1详解】 解：根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形； 故答案为：④； 【小问2详解】 证明：如图，连接BD， ∵菱形ABCD， ∴AB=AD，AD∥BC ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=60°=∠A， ∵AE=BF， ∴△ADE≌△BDF（SAS）， ∴DE=DF，∠AED=∠BFD， ∵∠AED+∠DEB=180°， ∴∠BFD+∠DEB=180°， ∴四边形DEBF完美四边形． 【小问3详解】 ①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠D， 又∵AB=AD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴∠ACD=∠E，AC=AE， ∴∠ACE=∠E， ∴∠ACD=∠ACE， ∴CA平分∠DCB； ②BC+CD=AC，理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE， ∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AD=AB，BE=CD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE， ∴∠CAE=∠DAB=90°， ∴， ∴CD+BC=AC． 【点睛】本题考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，是四边形综合题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $