精品解析：山东省德州市宁津县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末八年级教学质量检测 数 学 试 题 试卷说明： 本试卷共25题，满分150分，考试时间120分钟.请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. ，， 3. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 4. 如图，在一正方形草坪上开辟出一块三角形花圃，若， ，，则剩余草坪的面积是（ ） A. 30 B. 49 C. 139 D. 169 5. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四边形中：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，对角线一定相等的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 7. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 位于意大利蒙泰格罗托的“深悦”游泳池是世界上最深的泳池，它深达 米，相当于 层楼高的建筑沉在其中，该游泳池装满水的横截面示意图如图所示，匀速把水全部放出，能大致表示水的深度与放水时间之间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为 ，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 10. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，为上一点，，过点作 于，交于为的中点，若．则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 12. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 14. 如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，且，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______ ． 15. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员___________. 甲 乙 丙 丁 x(环) 8 9 9 8 S² (环²) 1 4 1 4 16. 在平面直角坐标系中，已知，，若把直线 向上平移k个单位长度后与线段有交点，则k的取值范围是___________. 17. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧， ，，，连接．设 ， ，，给出下面三个结论：①，②，③．上述结论中，所有正确结论的序号是___________．(只填序号) 18. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕 ； 第二步：将和分别沿 ， 翻折， ， 重合于折痕 上； 第三步∶ 将和分别沿 ， 翻折， ， 重合于折痕 上． 已知 ，，则的长是___________． 三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算: （1） （2） 20. 把垃圾资源化，化腐朽为神奇，既是科学，也是艺术.由生活垃圾堆积起来的“城市矿山”也是一个宝藏.为了让孩子们更好地树立节能减排、从源头分类和终端资源化利用的意识，某校开展了“关于垃圾分类知识竞赛”活动，并从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩(百分制，单位：分)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A． ；B． ；C． ；D． )．下面给出了部分信息.七年级10名学生的成绩：82，84，87，89，90，92，94，94，95，100． 八年级10名学生的成绩在 C组中的数据：91，92，93，94． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 90.7 91 c 八年级 90.7 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ，扇形统计图中的 ； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生掌握知识较好?请说明理由. （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有600人，请你估计该校七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的总人数. 21. 如图，矩形的对角线、相交于点O，， cm． （1）求的度数； （2）求矩形对角线的长． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为 米； ③牵线放风筝的小明的身高为 米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降 米，则他应该往回收线多少米？ 23. 某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． 进价（元/个） 售价（元/个） A 160 220 B 120 160 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 24. 问题情境：如图1，在中， ，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿 折叠后均与点D重合，折痕分别交 于点E，G，F，H． 猜想证明： （1）如图2，试判断四边形 的形状，并说明理由． 问题解决； （2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交 于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形 的面积． 25. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若 的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接 ，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末八年级教学质量检测 数 学 试 题 试卷说明： 本试卷共25题，满分150分，考试时间120分钟.请将题目的答案答在答题纸上，答在本试卷上的一律无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义， 熟练掌握定义是解题的关键．根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不能合并，符合题意； C. ，与是同类二次根式，能合并，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数的定义，根据众数，中位数，平均数的定义，即可得到答案． 【详解】∵众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，根据题意应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数， ∴此问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数． 故选：A． 4. 如图，在一正方形草坪上开辟出一块三角形花圃，若， ，，则剩余草坪的面积是（ ） A. 30 B. 49 C. 139 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】在 中，已知与的长，根据勾股定理可求出；依据的长可求出正方形的面积，然后求出 的面积，即可由求解． 【详解】解：在 中，， ，， 由勾股定理得： ， 正方形的面积是， 的面积是； ∴． 故选：C． 5. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数值，一次函数与不等式之间的关系，先求出点A的坐标，再根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 观察函数图象可知，当 时，正比例函数的图象在一次函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集为 ， 故选：C． 6. 下列四边形中：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，对角线一定相等的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、平行四边形、菱形、矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质分析判断即可． 【详解】解：①平行四边形的对角线不一定相等； ②矩形的对角线一定相等； ③菱形的对角线不一定相等； ④正方形的对角线一定相等． 所以，对角线一定相等的是②④． 故选：C． 7. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查算术平方根，二次根式的性质．根据算术平方根的定义和二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 位于意大利蒙泰格罗托的“深悦”游泳池是世界上最深的泳池，它深达 米，相当于 层楼高的建筑沉在其中，该游泳池装满水的横截面示意图如图所示，匀速把水全部放出，能大致表示水的深度与放水时间之间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键，根据蓄水池不规则，最上面部分宽，最下面部分窄，因此在相同时间内最上部分下降缓慢，图象比较平稳；最下部分下降快，图象比较陡，即可解答． 【详解】∵蓄水池的最上面部分最宽，中间部分比较宽，下面部分最窄， ∴在相同时间内最上半部分下降缓慢，图象比较平稳；最下半部分下降快，图象比较陡，中间部分处于最上部分下和最下部分之间 故选：B． 9. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为 ，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案． 【详解】解，设与相交于点O，与相交于点． ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长需要缩短． 故选：D． 10. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查分式的运算及二次根式的计算求值．先求得 和 的值，再通分将原式变形，进而整体代入计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 11. 如图，在正方形中，为上一点，，过点作 于，交于为的中点，若．则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据正方形的性质可证，可得 ，根据题意可算出的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴，则， 在直角 中，， 在直角中，， ∵ ， ∴， 在直角中，点 是 的中点， ∴，   故选：B ． 12. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上．若点的坐标为，且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、直角三角形的性质和勾股定理等知识点．过点作轴，交直线于点，过点作 轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用直角三角形的性质和勾股定理可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点，，的纵坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作 轴于点，取的中点，连接， ， ， 当时，，即，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，且，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质．过点A作，过点O作 ，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作，过点O作 ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：80． 15. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员___________. 甲 乙 丙 丁 x(环) 8 9 9 8 S² (环²) 1 4 1 4 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了方差，先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【详解】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 由于，故丙的方差小，波动小． 故答案为：丙． 16. 在平面直角坐标系中，已知，，若把直线 向上平移k个单位长度后与线段有交点，则k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．求得平移后的解析式为，根据题意得到，解得即可． 【详解】解：直线 向上平移k个单位后得到， 若直线 向上平移k个单位后与线段有交点且，， 则， 解得， 故答案为：． 17. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧， ，，，连接 ．设 ， ，，给出下面三个结论：①，②，③．上述结论中，所有正确结论的序号是___________．(只填序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系．①过点D作 于点F，证明四边形为矩形，得出，根据中， 为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，可判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，可判断③． 【详解】解：①过点D作 于点F，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中， 为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； 综上分析可知，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 18. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕 ； 第二步：将和分别沿 ， 翻折， ， 重合于折痕 上； 第三步∶ 将和分别沿 ， 翻折， ， 重合于折痕 上． 已知 ，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， 由第一步折叠可得，，，，， ， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为正方形， ， ， 在 中，， 根据第三步折叠可得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算: （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确求解是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则计算，再合并，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法运算法则计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 把垃圾资源化，化腐朽为神奇，既是科学，也是艺术.由生活垃圾堆积起来的“城市矿山”也是一个宝藏.为了让孩子们更好地树立节能减排、从源头分类和终端资源化利用的意识，某校开展了“关于垃圾分类知识竞赛”活动，并从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩(百分制，单位：分)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A． ；B． ；C． ；D． )．下面给出了部分信息.七年级10名学生的成绩：82，84，87，89，90，92，94，94，95，100． 八年级10名学生的成绩在 C组中的数据：91，92，93，94． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 90.7 91 c 八年级 90.7 b 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ，扇形统计图中的 ； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生掌握知识较好?请说明理由. （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有600人，请你估计该校七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的总人数. 【答案】（1）92.5；94；108 （2）八年级对垃圾分类知识掌握得更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的总人数约为720人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数，样本估计总体： （1）根据众数的定义、中位数的定义即可找到b、c的值，求出D组的百分比，即可得的值； （2）根据众数、中位数的意义进行判断即可； （3）样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴； 七年级10名学生的成绩中，94分最多，有2个， 所以，众数（分）； 八年级10名学生的成绩在A组的人数为（人）， 在B组的人数为 （人）， 在C组的人数为4人， 所以八年级10名学生的成绩的中位数是C组的92分和93分的平均数， 即（分）； 故答案为：92.5；94；108； 【小问2详解】 解：我认为八年级对垃圾分类知识掌握得更好，理由如下： 因为八年级竞赛成绩的中位数和众数均比七年级的大，所以八年级对垃圾分类知识掌握得更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生中竞赛成绩不低于90分的总人数约为720人． 21. 如图，矩形的对角线、相交于点O，， cm． （1）求的度数； （2）求矩形对角线的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、含 角直角三角形的性质等知识点，掌握含 角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据矩形性质得出 ，根据等腰三角形的性质即可求出； （2）先根据含 角直角三角形的性质求出的长，再根据矩形的对角线相等即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴ , ∵ ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为 米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降 米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 23. 某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． 进价（元/个） 售价（元/个） A 160 220 B 120 160 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ 【答案】（1）； （2）最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，等知识点，根据题意建立函数关系式是解答本题的关键． （1）设购进种礼盒x个，则购进种礼盒个，然后根据进价、售价和利润之间的关系列出函数关系式即可； （2）根据不等关系“购进100个礼盒的总费用不超过15000元”和“种礼盒不少于60个”列不等式组求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：设购进种礼盒x个，则购进种礼盒个， 由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y最大（元）． 24. 问题情境：如图1，在中， ，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿 折叠后均与点D重合，折痕分别交 于点E，G，F，H． 猜想证明： （1）如图2，试判断四边形 的形状，并说明理由． 问题解决； （2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交 于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形 的面积． 【答案】（1） 四边形 是菱形，理由如下： ∵在中，，是边上的中线， ∴ ， ∵将的两个顶点B，C分别沿 折叠后均与点D重合， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同法可得： ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）30 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到 ，即可得出结论． （2）先证明四边形 为平行四边形，过点 作 于点，等积法得到 的积，推出四边形 的面积 ，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， 由（1）知：，， ∴ ， 过点 作 于点， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 的面积 ， ， ∴四边形 的面积 ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 25. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若 的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接 ，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）直线的解析式为； （2）①点M的坐标为或；②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出 ，根据题意列式计算即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出 ，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：对于 ， 当时， ， 当时，， 解得： ， ∴点，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设，则点，， 则， ∵ 的长为4， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $