精品解析：山东省泰安市东平县2023--2024学年七年级数学期末考试题

2023−2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4. 若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（     ） A. B. C. D. 5. 如图，一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　） A. 18个 B. 28个 C. 36个 D. 42个 8. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上） 13. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它周长为______． 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 15. 如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________． 16. 不等式组的解集为，则m的取值范围为_______． 17. 若方程组的解和满足，则的值为______． 18. 如图，已知，，，若平分，平分，且，则______． 三、解答题（本大题共7个题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 解下列方程组、不等式组（并把解集在数轴上表示出来） （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 今年五一假期期间，因粹超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有一次转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时，指针指向8中一等奖，指向2或5中二等奖，指向其余数字不中奖． （1）转动圆盘中奖的概率是多少？ （2）“五一”这天有2000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 21. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求度数； （2）若周长为，，求长． 22. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打几折？ 23. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，直线交y轴于点B，直线交x轴于点C． （1）求直线的表达式； （2）请直接写出使得不等式成立的x的取值范围． （3）在直线上找点M，使得，求点M坐标． 24. 我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的总资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？哪种购买方案最省钱？ 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐个判定． 【详解】解：∵， A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是看不等号开口方向的变化． 2. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 3. 下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,故错误,是假命题； ②两直线平行,内错角相等,故错误,是假命题； ③两点之间线段最短,正确,真命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,错误,是假命题； ⑤在同一平面内,若两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行,正确,是真命题. 所以真命题有2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识. 4. 若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握其运算方法是解题的关键． 分别把两组解代入二元一次方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：根据题意，把方程的两组解代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， 故选：． 5. 如图，一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角板的角度计算，三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键．由三角板可知，，，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图，标记各点， 由三角板可知，，， 是的外角， ， ，即， 故选：D 6. 如图，在中，，，平分，，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，如图，先证明，再利用是的角平分线得到，接着根据线段垂直平分线的性质得到，则，于是可判断为等腰直角三角形，所以．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ，是斜边上的高线， ，， ， ， ， 是的角平分线， ，即， 是边的垂直平分线， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 7. 在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（　　） A. 18个 B. 28个 C. 36个 D. 42个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去黑球个数，即可得到白球的个数． 由题意可得， 白球的个数大约为：8÷﹣8≈28， 故选B． 考点：用样本估计总体． 8. 如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 11. 已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算． 【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB） ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） ∴∠P=90°+∠A； 故（1）的结论正确； （2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC） ∠P=∠PCE-∠PBC ∴2∠P=∠A 故（2）的结论是错误． （3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（∠FBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） =180°-（∠A+180°） =90°-∠A． 故（3）的结论正确． 正确的为：（1）（3）． 故选C 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 12. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上） 13. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为7进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形， ∴腰长为， ∴三角形的周长为； 故答案为：17． 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键． 15. 如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴∠A+∠ABC=， ∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E， ∴AD=BD， ∴∠ABD=， ∴， ∵， ∴AD=BD=2CD=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16. 不等式组的解集为，则m的取值范围为_______． 【答案】m≤2 【解析】 【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可． 【详解】解：， 解①得：， 又因为不等式组的解集为x>2 ∵x>m， ∴m≤2， 故答案为：m≤2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键． 17. 若方程组的解和满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据题意解方程组求出x、y，再把x、y的值代入，求出k即可． 【详解】∵方程组的解x和y满足， ∴解方程组得， 把代入得 ， 解得． 故答案：5 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．解题的关键是正确理解方程（组）的解得定义． 18. 如图，已知，，，若平分，平分，且，则______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用平行线的性质、补角的性质，可得出，利用平行线的判定得出，再利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，最后利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 解下列方程组、不等式组（并把解集在数轴上表示出来） （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3），数轴表示见解析； （4），数轴表示见解析． 【解析】 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组 的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 【小问4详解】 解：不等式组可化为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 20. 今年五一假期期间，因粹超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有一次转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时，指针指向8中一等奖，指向2或5中二等奖，指向其余数字不中奖． （1）转动圆盘中奖的概率是多少？ （2）“五一”这天有2000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 【答案】（1）转动圆盘中奖的概率为 （2）估计获得一等奖的人数为人 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）求出8，2， 5 份数之和即可得到顾客中奖概率； （2）求出获一等奖的概率，进而可求出获得一等奖的人数． 【小问1详解】 解∶ ∵8，2，5份数之和为3， ∴转动圆盘中奖的概率为； 【小问2详解】 解∶ 获得一等奖的概率是， ∴“五一”这天有2000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为（人） 21. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 【答案】（1） （2）4cm 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：周长，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． 22. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打几折？ 【答案】至多可以打7折 【解析】 【分析】设打x折，由题意：某种商品进价为700元，标价1100元，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设打x折， 根据题意得：， 解得：， 即至多可以打7折． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键． 23. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，直线交y轴于点B，直线交x轴于点C． （1）求直线的表达式； （2）请直接写出使得不等式成立的x的取值范围． （3）在直线上找点M，使得，求点M的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为 （2） （3）M点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先把代入可求出，则P点坐标为，然后把A、P两点坐标代入可求出k、b的值，得到直线的表达式； （2）观察函数图象，写出直线在直线上方所对的自变量的取值范围即可； （3）先利用确定B点坐标，再利用确定C点坐标，则根据可计算出，设M点坐标为，根据三角形面积公式得到所以，然后解绝对值方程求出t的值即可得到M点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， 所以P点坐标为， 把代入， 得，解得， 所以直线l1的表达式为； 【小问2详解】 根据图象可知，使得不等式成立的x的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，，则， ∵， ∴当时，，解得，则， ∴， 设M点坐标为， ∵， 所以，解得或， 所以M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，三角形的面积． 24. 我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的总资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？哪种购买方案最省钱？ 【答案】（1）购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元 （2）共有3种购买方案，方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱 【解析】 【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元． 【小问2详解】 设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 依题意得：， 解得：50<m≤53， 又∵m为正整数， ∴m可以为51，52，53， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；51×100+49×50=7550元， 方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；52×100+48×50=7600元， 方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．53×100+47×50=7650元， ∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱 ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 25. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，在中，，，直线经过点A，作直线，直线，垂足分别为点D，E．请说明． （2）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么（1）中的结论是否会成立呢?如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题．如图3，D，E是直线上的两动点（D，A，E三点均在直线上且互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接BD，CE．若，请说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，等量代换可得； （2）根据可证，再根据证明，得出，，等量代换可得； （3）同（2）可得，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 直线，直线， ，， ， 和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，理由如下： ，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）证明：同（2）可得， ， 和均为等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$