精品解析：福建省莆田市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

莆田市2023－2024学年下学期期末质量监测 高一数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个班级学生的视力情况 B. 调查一批玉米种子的发芽率 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一批待售袋装牛奶的细菌数 2. 已知向量，，则在上投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 13 D. 26 4. 某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 8.5 D. 9.5 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 知向量，，在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 8. 已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（ ） A. B. C. 事件与相互独立 D. 事件与互斥 10. 在棱长为6的正方体中，点为棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面截该正方体外接球的截面面积为 11. 在中，，（为常数），的最大值为12，则（ ） A. 为锐角 B. 面积的最大值为8 C. D. 周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，，，则___________． 13. 写出满足的一个复数__________． 14. 已知是边长为3的等边三角形，空间中动点满足，且的面积是．当平面平面时，三棱锥的体积是____________；直线与平面所成角的正弦值的最大值是____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，，． （1）求的值； （2）求与的夹角． 16. 设的内角所对的边分别为． （1）证明：； （2）若，，，求． 17. 目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50 （1）估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； （3）根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求二面角的正切值． 19. 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用表示收到数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田市2023－2024学年下学期期末质量监测 高一数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个班级学生的视力情况 B. 调查一批玉米种子的发芽率 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一批待售袋装牛奶的细菌数 【答案】A 【解析】 【分析】根据适宜做全面调查对象特点易得. 【详解】适合用全面调查的应是调查对象比较少，调查所需时间和材料比较少的，故A项符合要求， 而B,C,D中的调查对象都比较大，工作量大，不适合做全面调查. 故选：A. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积及模长的坐标运算，再根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为，, 所以在上得投影向量为. 故选：B. 3. 已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 13 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台体积公式直接计算即可. 【详解】由题，正四棱台上下底面面积分别为， 故由棱台体积公式得. 故选：B. 4. 某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 8.5 D. 9.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据一组数据的百分位数的规定计算即得. 【详解】由可知这组数据第40百分位数为. 故选：D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出试验所含的样本点总数，再根据所求事件，统计其所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,统计两次的点数构成的总的样本点有个， 而事件 “两次的点数都是偶数”包含的样本点有共9个， 故由古典概型概率公式可得：. 故选：C. 6. 知向量，，在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方格纸建系，写出相关点的坐标，求得的坐标，利用向量坐标对各选项中的线性运算进行计算判断即得. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则,于是，. 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 7. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助于长方体这一模型，易于找到反例排除A,B,D；对于C项，可通过构造平面，利用线面平行的判定与性质，以及平行线的传递性证得结论. 【详解】 对于A，如图1，在长方体中， 分别取平面为，平面为，直线为，直线为， 显然满足，，，但此时，故A错误； 对于B，如图2，在长方体中， 取平面为，平面为，直线为，直线为， 显然满足，，，但此时，平面不垂直，故B错误； 对于C，如图3，因，经过直线作平面，使，则得， 又，经过直线作平面，使，则得，则有， 又，则得，因，，故得， 因，故有，即C正确； 对于D，如图4，在长方体中， 取平面为，平面为，直线为，直线为， 显然满足，，，但此时,故D错误. 故选：C. 8. 已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得以及三点共线，进一步即可得解. 【详解】设中点为，则三点共线， 因为，， 所以，所以， 结合三点共线，可知，所以，对比选项可知，一定成立的只有B. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（ ） A. B. C. 事件与相互独立 D. 事件与互斥 【答案】BC 【解析】 【分析】由图易求得，排除A，对于B，利用古典概型概率公式计算即得；对于C，分别求出事件的概率，利用进行判断；对于D，利用事件互斥的定义判断易得. 【详解】对于A，由图知，,故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，而, 显然，所以事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，由图知，，即， 所以事件A与B不互斥，故D错误. 故选：BC. 10. 在棱长为6的正方体中，点为棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面截该正方体外接球的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直，面面垂直的判定定理性质定理即可判定选项A，C；由面面平行的判定定理通过反证法即可判定B； 根据几何体截面面积即可判定选项D. 【详解】 在正方体中，且平面， 又因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得(正方形对角线垂直)， (由平面可得)， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确； 由A知平面，， 若平面平面，则平面，， 取的中点，连接， 因为点为棱的中点，所以， 又因为，所以不垂直，所以不垂直，矛盾， 所以平面,平面不平行，故B错误； 因为平面三个点都是正方体上的点，所以平面截该正方体外接球的截面即为等边的外接圆，等边的边长为， 设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以截面面积为，故D正确， 故选：ACD. 11. 在中，，（为常数），的最大值为12，则（ ） A. 为锐角 B. 面积的最大值为8 C. D. 周长的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用向量数量积的定义式结合条件可判断可以为钝角；对于B、C，借助于余弦定理和基本不等式可得，求得，，继而求得面积的最大值；对于D，利用正弦定理，将周长最大值转化成正弦型函数的值域问题. 【详解】对于A，由的最大值为12, （为常数）知点的轨迹为圆（去除BC两点），且BC不是直径，故可以为钝角，故A错误； 对于B，C,记由余弦定理，， 即，可得，当且仅当时取等号，于是， 即得，依题意，，解得，，此时，即， 面积，故其最大值为：，故B正确，C错误； 对于D，因的周长为， 由正弦定理，可得，， 于是，其中，， 故当时，的周长取得最大值为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查解三角形、三角恒等变换与平面向量的交汇问题，属于较难题. 解题时，要灵活运用正弦定理和余弦定理，以及基本不等式，如求三角形面积最大值时，因角A为常数，故要求最大，而这需要余弦定理和基本不等式得到，利用的最大值可求得，继而才能求出其它量. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，，，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】先利用两个向量的数量积的定义求出，根据模的计算公式：，即可计算出结果. 【详解】因为向量、的夹角为，，，则， 则， 所以． 故答案为：7. 13. 写出满足一个复数__________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】设，根据题设条件和复数的相等列出方程组，即可找到符合条件的复数. 【详解】设，由可得，， 化简得，，故有， 可取，即. 故答案为：. 14. 已知是边长为3的等边三角形，空间中动点满足，且的面积是．当平面平面时，三棱锥的体积是____________；直线与平面所成角的正弦值的最大值是____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用面面垂直时，作出并证明为棱锥的高，即可求得其体积；在平面中，作,交于点，证明平面，即得即直线与平面所成的角，通过设，计算得到，通过换元，利用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】 如图1，过点作于，当平面平面时， 因平面,且平面平面,故得平面. 由,解得， 于是此时，三棱锥的体积是. 如图2，连接,过点作,交于点.因，，则得, 又是等边三角形，故,因,则得平面, 又平面,故,因,故得，平面, 则即直线与平面所成的角. 设，则，，，， 于是，（*），设，则，， 代入（*）可得，， 因，，当且仅当时取等号， 此时，，因，故的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题解题思路是先利用平面的垂线找到线面所成角，通过选设未知数，将线面所成角的正弦值表示成关于未知数的函数式，利用换元思想,借助于基本不等式，或函数的单调性求出其范围即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，，． （1）求的值； （2）求与的夹角． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算得到相关向量，再根据向量模的平方公式计算即可； （2）根据向量夹角的计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 故， 所以， ， 故，， ，， 所以. 【小问2详解】 由(1)可知，， ， 所以， 又因为，所以. 所以与的夹角为. 16. 设的内角所对的边分别为． （1）证明：； （2）若，，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【小问1详解】 由余弦定理即得. 【小问2详解】 由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 17. 目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50 （1）估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； （3）根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 【答案】（1）21.06 （2）15.2 （3）平均数大于中位数 【解析】 【分析】（1）利用平均数计算公式计算即得； （2）先利用加权平均数公式计算出，再将，，；，，分别代入方差公式计算即得； （3）根据直方图中右侧“拖尾”情况，即可判断平均数大于中位数. 小问1详解】 样本中女员工BMI值的平均数为： . 【小问2详解】 依题意，， 则得，， . 【小问3详解】 因男员工频率分布直方图中，右侧“拖尾”，说明数据向右偏斜，平均数受到右侧“拖尾”的影响， 而中位数则位于数据的中央，不受极端值的影响，故平均数会大于中位数. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作，垂足为.过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根据正切定义即可得到答案. 【小问1详解】 连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，. 又平面平面， 平面 【小问2详解】 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得. ，即，从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而. 又平面平面， 平面. 【小问3详解】 过点作，垂足为. 过作，垂足为，连接. 由（2）平面，又平面， 平面平面. 又平面平面平面，平面. 平面平面，. 平面平面，平面. 平面，， 二面角的平面角是， 在Rt中，. ， 二面角的正切值是2 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找出二面角的平面角，再根据三角函数定义即可得到答案. 19. 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且． （1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率； （2）用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则． （ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用事件独立性即可求解； （2）（ⅰ）分别把概率表示出来，理解事件表示1传输错误，且两个0传输都正确，理解包含以下两种情况，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值； （ⅱ）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围． 【小问1详解】 记事件：“收到的所有数字都正确”， 由已知且可知， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由发送的数据为“100”可知，事件表示1传输错误，且两个0传输都正确， 所以， 事件包含以下两种情况； ①1传输正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②1传输错误，且只有一个0传输都正确，其概率为， 所以； 又， 所以， 即， 整理得， 把代入上式，化简得， 解得：或， 因为，且，， 所以，， 所以； （ⅱ）当发送的数据为“1100”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为； ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为， 所以， 令，则，从而， 所以， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递增， 所以得最大值为， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查古典概型，随件事件独立性等知识，需要充分理解事件的独立性求概率，需要理解问题中的事件是哪些事件的和事件，需要不重不漏的表示出来，把问题利用函数的思想来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$