精品解析：山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

章丘区2023-2024学年第二学期期末考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，以B为圆心，以的长为半径画弧，交于D，连接，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，作射线交于N，交于E，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11 分解因式：______． 12. 在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为________． 13. 将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则______°． 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__． 15. 如图，在中，，以为边作，点D与点A在两侧，则的最大值为__________． 三．解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解不等式（组）： ，并求出它的所有整数解的和． 18. 如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF． 19. 先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 20. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接， （1）求的长； （2）求的长． 21. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）先将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，画出，点坐标是______； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，点的坐标是______； （3）我们发现点关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 22. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； （2）分解因式： （3）已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； （4）已知，试比较P，Q的大小． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 24. 等边三角形中，点D为中点，点P为射线上一个动点，连接，在的右侧作等边三角形，连接． （1）如图1，当点Q落在射线上时，与数量关系是 ，与的夹角中锐角的度数为 ； （2）如图2，当点P在射线上任意一点时，(1)中的结论是否还成立？若成立；请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）在(2)的条件下，连接，若 请直接写出线段的长． 25. 已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2023-2024学年第二学期期末考试 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，将一个图形沿着某条直线对折，则直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将一个图形围绕某一点旋转之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、该式子的右边分母含有字母，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，A选项错误，不符合题意； B、∵，∴，B选项错误，不符合题意； C、∵，∴，C选项正确，符合题意； D、∵，∴，D选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 若分式的值为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】化解分式方程，即可求解，最后检验． 【详解】， ， ， 解得：x=2， 经检验，x=2是原方程的解， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，特别注意最后需检验． 5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减．根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可． 【详解】解：， 故选：B． 7. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， ∵原方程无解， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上，m的值为0或2； 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 9. 如图，中，，，以B为圆心，以的长为半径画弧，交于D，连接，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，作射线交于N，交于E，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查基本作图，全等三角形的判断与性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理应用等知识，根据尺规作图可得，是的平分线，可证明得，根据直角三角形的性质可得，可推出，进而求出结论． 【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 12. 在直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平行2个单位长度后的坐标为，即， 故答案为：． 13. 将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．先分别求出正五边形和正八边形的每个内角，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：正五边形的每个内角为：， 正八边形的每个内角为：， ， 故答案为：． 14. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线中随的增大而减小， 关于的不等式的解集是， 故答案为： 15. 如图，在中，，以为边作，点D与点A在的两侧，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 三．解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，在因式分解时，有公因式的首先提公因式，然后用公式法进行因式分解，注意分解要彻底． （1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式（组）： ，并求出它的所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为：，所有数解的和： 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 所有数解的和：． 18. 如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD ，    ∴∠ACD=∠CAB． ∵CF=AE， ∴△CFD≌△AEB(SAS)， ∴∠F=∠E， ∴BE∥DF．           【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证得△CFD≌△AEB，即可得证结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，熟练掌握平行四边形的有关性质和全等三角形的证明是解题的关键． 19. 先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算，进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线等知识． （1）利用勾股定理求出，根据，即可求解； （2）根据等腰三角形的三线合一得到，得到点E是中点，又由F是边的中点得到为的中位线，即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，， 则， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 21. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）先将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，画出，点的坐标是______； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，点的坐标是______； （3）我们发现点关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用平移的性质与旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别是作出点A、B、C平移后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）根据中心对称的性质，求出的中点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点坐标为 故答案为： 【小问3详解】 解：∵， ， ∴，， ∴对称中心坐标是， 故答案为：． 22. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； （2）分解因式： （3）已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； （4）已知，试比较P，Q的大小． 【答案】（1）9 （2） （3）4，5，2 （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可； （3）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （4）根据配方法即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：9 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； 【小问4详解】 解： ， ∴． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 24. 等边三角形中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，在的右侧作等边三角形，连接． （1）如图1，当点Q落在射线上时，与的数量关系是 ，与的夹角中锐角的度数为 ； （2）如图2，当点P在射线上任意一点时，(1)中的结论是否还成立？若成立；请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）在(2)的条件下，连接，若 请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 仍成立， ∵等边三角形中， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设与交于点O， 在，， ∴，即与的夹角中锐角的度数为． （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，，，，有等腰三角形三线合一的性质可得出，，，由等角对等边得出，等量代换可得出． （2）由等边三角形的性质可得出，，，，再证明，由全等三角形的性质可得出，，有角平分线的性质可得出，设与交于点O，进一步即可得出答案． （3）先利用勾股定理求出，分2中情况讨论，画出图形结合（2）的过程即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∵点D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴，，即与的夹角中锐角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点D为中点， 则 ∴， ①当点P在射线上点D左侧时，如图1， ∵， ∴． 由(2)可知，，， ∴ ②当点P在射线上点D右侧时，如图2． ∵， ∴， 由(2)可知，，， ∴ 综上所述，线段的长为或 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 25. 已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案； （3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解； （4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标． 【小问1详解】 解：对于直线，令，则， 令，则， ∴； 由勾股定理得，， ∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接， ∵为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 点； 如图，当为直角边时， 同理可得：点； 综上，或； 【小问4详解】 解：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，， 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $