精品解析：山东省济宁市金乡县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末学情监测 七年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、 是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、开方开不尽，是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，确定出点P在直线是解本题的关键．先确定出点P在直线上，即可判断出结论． 【详解】解：∵点， ∵点在直线的图象上， ∵直线经过第一、二、四象限， 即：点不在第三象限， 故选：C． 3. 为了了解某校1000名七年级学生的体重情况，从中抽取了100名学生的体重，就这个问题，下面说法正确的是（　　） A. 1000名学生的体重是总体 B. 1000名学生是总体 C. 每个学生是个体 D. 100名学生是所抽取的一个样本 【答案】A 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本的定义依次分析． 【详解】解：A. 1000名学生的体重是总体，故正确； B. 1000名学生的体重是总体，故错误； C. 每名学生的体重是个体，故错误； D. 100名学生的体重是所抽取的一个样本，故错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了总体，个体，样本的定义，考查的全体对象是总体，每个考查对象是个体，抽取的一部分考查对象是样本，熟记定义是解题的关键． 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 36的算术平方根是6 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 0没有立方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根，掌握相关概念是解题关键．根据算术平方根、平方根以及立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、36的算术平方根是6，原说法正确，不符合题意； B、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； C、的立方根是，的立方根是 D、0的立方根是0，原说法错误，符合题意， 故选：D． 5. 如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与 是内错角 C. 与是同旁内角 D. ，， 互为邻补角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A． 与是同位角，选项正确，不符合题意； B． 与 是内错角，选项正确，不符合题意； C． 与是同旁内角，选项正确，不符合题意； D． ，， 不互为邻补角，选项错误，符合题意． 故选：D． 6. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组解集的取法是解题的关键． 根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组无解， 故选A． 7. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池．”可得，根据琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”得，据此得出二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意得 故选：A． 8. 若是关于 的二元一次方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件根据方程的解的定义可将代入方程，得到含、的式子，再将其代入整理之后的所求代数式即可得解． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程的一组解 ∴ ∴ ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了方程的解的定义、整体代入求值法，能将所求代数式通过因式分解整理化简是解决问题的关键． 9. 如图， 的周长为，若将 沿射线方向平移后得到 ，与相交点G，连结，则 与的周长和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平移后， ， 与的周长相加即可转换为 的周长，即可解题． 【详解】解： 沿方向平移得到 ， ，， ， 与的周长和为（）， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，…，则的坐标为是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究．根据点坐标计算长方形的周长为，设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 根据题意得， 解得：， ∴当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当 时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当 时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为， ∴五次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为a， 故， 解得． ∴点M表示的数是． 故答案为：． 12. 已知方程，用含的式子表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程．根据等式的性质进行移项即可求解． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为： 13. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解： 将线段平移至，且，，， ， 故答案为：． 14. 八年级（1）班共有40名学生，其中22名男同学．本学期经班委讨论决定向希望工程捐款，已知男同学平均每人捐款2.5元，如果要使班级平均每人捐款达到2.8元、那么女同学平均每人至少捐款（精确到0.01元）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用一元一次不等式解决实际问题．设女同学平均每人至少捐款x元， 根据题意列出关于x的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：设女同学平均每人至少捐款x元， 根据题意有：， 整理得：， 解得： 女同学平均每人至少捐款． 故答案为：． 15. 如图，直线 上有两点A、C，分别引两条射线、， ，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 【答案】5秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在 的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在 的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在 的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：， ， ，． 分三种情况： 如图①，与在 的两侧时， ，， 要使，则 ， 即． 解得 ； 旋转到与都在 的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在 的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，二元一次方程组的解法． （1）先算算术平方根，立方根，绝对值，再算加法即可； （2）用加减消元法，将① ②消去即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ① ②得 解得 把代入①得 ∴原二元一次方程组的解为． 17. 解不等式组 （1）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． （2）写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组并在数轴上表示不等式组的解集． （1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”的口诀确定不等式组的解集，再确定在解集范围内的整数解，最后在数轴上表示出不等式的解集即可 （2）根据不等组的解集写出所有整数解即可． 【小问1详解】 解：解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为： 【小问2详解】 这个不等式组的整数解为，． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1． （1）直接写出点B1的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1； （3）若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标． 【答案】（1）； （2）作图见解析； （3）P(5．5，0)或P(-11．5，0)； 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合点的平移即可得到； （2）根据点的平移，分别得到的坐标，在平面直角坐标系中标出，连接即可得到△A1B1C1； （3）利用平移不改变图形形状与大小可知，再结合的面积是矩形面积减去三个直角三角形面积，间接表示即可得出结果． 【小问1详解】 解：△ABC的顶点的坐标分别是B（－6，－2）， 当将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1时，，即； 【小问2详解】 解：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－3，0），B（－6，－2），C（－2，－5）， 根据点的平移得到，将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，从而， 在平面直角坐标系中标出并连接可得△A1B1C1，如图所示： 【小问3详解】 解：设点P(x0，0)，则PA=， ∵，且△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴， ∴x0=5.5或x0=-11.5， ∴P(5.5，0)或P(-11.5，0)， 【点睛】本题考查平移变换，涉及到点的平移求坐标、利用平移作图、网格中三角形面积求解等知识点，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键． 19. 在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的学生有____人，补全统计图①； （2）图②中扇形C的圆心角为_____º； （3）已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数． 【答案】（1）120， 补全统计图①如图所示． （2）54 （3）约300人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次抽样调查的学生人数．求出C项目的人数，补全统计图①即可． （2）用乘以C项目的人数所占的百分比可得答案． （3）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中C项目的人数所占的百分比可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，此次抽样调查的学生有 （人． 故答案为：120． C项目的人数为 （人． 【小问2详解】 解：图②中扇形C的圆心角为 ． 故答案为：54． 【小问3详解】 解： （人． 估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数约300人． 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 （2）共有5种购买方案，最低费用是8440元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； 【小问2详解】 解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 21. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． （1）填空：______； （2）若则的取值范围为______； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据公式直接解答； （2）结合公式可得，求解即可； （3）分两种情况：①，②，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 由题意可知分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得 综上，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是解题的关键，尤其需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 22. 【感知】如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：（1）如图①，过点P作PM∥AB， ∴∠1＝∠AEP＝40°（ 　 　）， ∵AB∥CD， ∴PM∥　 　（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴　 　（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠PFD＝130°， ∴∠2＝180°﹣130°＝50°， ∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°． 【探究】如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数； 【应用】（1）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． （2）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，作BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】【感知】两直线平行，内错角相等；CD；∠2+∠PFD＝180°；【探究】70°；【应用】（1）35°；（2）图见解析，∠BED的度数为或 【解析】 【分析】【感知】根据平行线的性质与判定可求解； 【探究】过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数； 【应用】（1）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数； （2）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解． 【详解】解：【感知】如图①，过点P作PM∥AB， ∴∠1=∠AEP=40°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴∠2+∠PFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠PFD=130°， ∴∠2=180°-130°=50°， ∴∠1+∠2=40°+50°=90°，即∠EPF=90°， 故答案为：两直线平行，内错角相等；CD；∠2+∠PFD=180°； 【探究】如图②，过点P作PM∥AB， ∴∠MPE=∠AEP=50°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知）， ∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠PFC=∠MPF=120°（两直线平行，内错角相等）． ∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°（等式的性质）． 【应用】（1）如图③所示， ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴∠AEG=∠AEP=25°，∠GFC=∠PFC=60°， 过点G作GM∥AB， ∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知）， ∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）， G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°； （2）当点A在B左侧时， 过点E作EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β， ∴∠ABE=∠BEF=α，∠CDE=∠DEF=β， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=， 当点A在B右侧时， 过点E作EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠DEF=∠CDE，∠ABG=∠BEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β， ∴∠DEF=∠CDE=β，∠ABG=∠BEF=α， ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=， 综上，∠BED的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第二学期期末学情监测 七年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为了了解某校1000名七年级学生的体重情况，从中抽取了100名学生的体重，就这个问题，下面说法正确的是（　　） A. 1000名学生的体重是总体 B. 1000名学生是总体 C. 每个学生是个体 D. 100名学生是所抽取的一个样本 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 36的算术平方根是6 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 0没有立方根 5. 如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与 是内错角 C. 与是同旁内角 D. ，， 互为邻补角 6. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若是关于 的二元一次方程的一组解，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到 ，与相交点G，连结，则 与的周长和为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，…，则的坐标为是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的数是______． 12. 已知方程，用含的式子表示为______． 13. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为______． 14. 八年级（1）班共有40名学生，其中22名男同学．本学期经班委讨论决定向希望工程捐款，已知男同学平均每人捐款2.5元，如果要使班级平均每人捐款达到2.8元、那么女同学平均每人至少捐款（精确到0.01元）________． 15. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、， ，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 17. 解不等式组 （1）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． （2）写出满足这个不等式组的所有整数解． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1． （1）直接写出点B1的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1； （3）若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标． 19. 在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的学生有____人，补全统计图①； （2）图②中扇形C的圆心角为_____º； （3）已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数． 20. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 21. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． （1）填空：______； （2）若则的取值范围为______； （3）已知，求的取值范围． 22. 【感知】如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：（1）如图①，过点P作PM∥AB， ∴∠1＝∠AEP＝40°（ 　 　）， ∵AB∥CD， ∴PM∥　 　（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴　 　（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠PFD＝130°， ∴∠2＝180°﹣130°＝50°， ∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°． 【探究】如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数； 【应用】（1）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． （2）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，作BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $