2024年湖北省襄阳市保康县中考数学适应性试卷

2024年湖北省襄阳市保康县中考数学适应性试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1．（3分）横冲国际滑雪场某一天的最高气温为1℃，最低气温为﹣9℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣10℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃ 2．（3分）我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．4a2﹣2a2＝2 B．a7÷a3＝a4 C．5a2•a4＝5a8 D．（a2b3）2＝a4b5 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件 C．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 D．“任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 6．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（　　） A．26° B．30° C．36° D．56° 7．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　） A．45° B．60° C．110° D．135° 8．（3分）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系xOy，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“炮”位于点（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣2） D．（﹣1，1） 9．（3分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（　　） ①a＞0； ②点B的坐标为（6，0）； ③c＝3b； ④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11．（3分）计算：＝　 　． 12．（3分）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 　 　． 13．（3分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 　 　． 14．（3分）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，则公鸡买 　 　只，小鸡买 　 　只． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 　 　． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16．（6分）． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．过点D分别作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 18．（6分）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球A离地面的高度，已知水平面MN，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABN为37°，∠ACN为45°，已知BC＝20m，求气球A离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 19．（8分）“惜餐为荣，敛物为耻．”为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量，并作出如下统计分析． 【收集数据】七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：kg）． 【整理数据】进行整理和分析（厨余垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1；B.1≤x＜1.5；C.1.5≤x＜2；D．x≥2）． 【描述数据】下面给出了部分信息，绘制如下统计图： 七年级10个班厨余垃圾质量：0.6，0.7，0.7，0.7，1.3，1.3，1.6，1.7，2，2.4． 八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.1，1.1，1.1，1.3． 【分析数据】七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 1.3 1.3 a 0.352 40% 八年级 1.3 b 1.1 0.24 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； （2）该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数； （3）根据以上信息，请你任选一个统计量，分析在此次“光盘行动”中，该校七、八年级的哪个年级落实得更好？并说明理由． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． （1）求直线AB的表达式； （2）将直线AB沿y轴方向向上平移n个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若S△ABC≤18，请求出n的取值范围． 21．（8分）如图，在△OAE中，OA＝OE，B是AE中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别交AO及其延长线、OE于C，D，F点，连接BD交OE于点G． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若C是OA的中点，，求阴影部分的面积． 22．（10分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围． 23．（11分）某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在点F处，折痕为AE． （1）如图1，当点F恰好在BC边上时，证明：△ABF∽△FCE． （2）将矩形的边AB折叠，使点B落在AF边上的点M处，折痕为AN． ①如图2，当点F恰好在BC边上时，若AB＝1，，连接EN，试判断△AEN的形状，并说明理由． ②如图3，当点F在矩形内部时，若AB＝8，BC＝12．点E是CD的中点，求FN的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为直线 　 　； （2）当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b，求a和b的值； （3）当a＝1时，解决下列问题． ①抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； ②将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t下方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，直接写出t的取值范围． 2024年湖北省襄阳市保康县中考数学适应性试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1．（3分）横冲国际滑雪场某一天的最高气温为1℃，最低气温为﹣9℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　） A．﹣10℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃ 【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意这天的最高气温比最低气温高1﹣（﹣9）＝1+9＝10（℃）， 故选：D． 2．（3分）我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形． 【解答】解：由题意可知D选项符合题意． 故选：D． 3．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x﹣1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可． 【解答】解：移项，可得：x≤m+1， 根据图示，不等式的解集是x≤3， ∴m+1＝3， 解得m＝2． 故选：B． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．4a2﹣2a2＝2 B．a7÷a3＝a4 C．5a2•a4＝5a8 D．（a2b3）2＝a4b5 【分析】根据同类项、同底数幂的除法、单项式的乘法和积的乘方计算即可． 【解答】解：A、4a2﹣2a2＝2a2，错误； B、a7÷a3＝a4，正确； C、5a2•a4＝5a6，错误； D、（a2b3）2＝a4b6，错误； 故选：B． 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件 C．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 D．“任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 【分析】根据随机事件，概率的意义以及全面调查与抽样调查的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故此选项不合题意； B、任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故此选项符合题意； C、某奖券的中奖率为，则买100张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意； D、“任意两个等腰三角形是相似三角形”是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（　　） A．26° B．30° C．36° D．56° 【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：如图， 由题意得：AB∥CD， ∴∠ACD＝∠1＝56°， ∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°， ∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°． 故选：A． 7．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　） A．45° B．60° C．110° D．135° 【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【解答】解：∵正八边形的外角和为360°， ∴每一个外角为360°÷8＝45°． 故选：A． 8．（3分）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系xOy，使“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“炮”位于点（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣2） D．（﹣1，1） 【分析】根据“帅”的位置向右平移1个单位，上移两个单位，可得答案． 【解答】解：“帅”的位置向右平移1个单位，上移两个单位（0，0）， 故选：B． 9．（3分）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°． 【解答】解：连接OB， ∵AB切⊙O于B， ∴半径OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∵BD∥OA， ∴∠D＝∠OCD＝25°， ∴∠O＝2∠D＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠O＝40°． 故选：C． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（　　） ①a＞0； ②点B的坐标为（6，0）； ③c＝3b； ④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【分析】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x＝2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，①错误， ∵A、B关于对称轴x＝2对称， ∴B点的横坐标为6，②正确， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴， 把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得： 4a﹣2b+c＝0， ∴﹣2b+c＝0，整理得： c＝3b，③正确， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，抛物线取得最大值为y＝4a+2b+c， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴4a+2b+c≥am2+bm+c， 即4a+2b≥am2+bm，④正确． ∴所有正确结论的序号为②③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11．（3分）计算：＝　a﹣b　． 【分析】运用分式加减运算法则进行计算、化简． 【解答】解： ＝ ＝ ＝a﹣b， 故答案为：a﹣b． 12．（3分）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 　y＝x+2（答案不唯一）　． 【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b＝3，利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）． ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）， ∴3＝k+b， 又∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0， ∴k＝1，b＝2符合题意， ∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2． 故答案为：y＝x+2（答案不唯一）． 13．（3分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是 　　． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为＝， 故答案为：． 14．（3分）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，则公鸡买 　4　只，小鸡买 　78　只． 【分析】设公鸡买x只，小鸡买y只，根据买100只鸡共花费100钱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设公鸡买x只，小鸡买y只， 依题意得：， 解得：， ∴公鸡买4只，小鸡买78只． 故答案为：4；78． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 　　． 【分析】由旋转的性质可得AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°，由勾股定理可求BF的长，由“SAS”可证△DEH＝≌△ACF，可得AF＝DH，∠AFC＝∠DHE，可证AF＝DF，由等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接BF，过点B作BH⊥CE于H，连接DH， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE， ∴AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°， 又∵BH⊥CE， ∴BH＝CH＝HE＝1＝FC， ∴FH＝2，∠BCE＝∠BEC＝45°， ∴FB＝＝＝，∠ACF＝45°＝∠DEH， 又∵DE＝AC，EH＝FC＝1， ∴△DEH＝≌△ACF（SAS）， ∴AF＝DH，∠AFC＝∠DHE， ∴∠DFH＝∠DHF， ∴DH＝DF， ∴AF＝DF， 又∵AB＝BD，∠ABD＝90°， ∴BF＝AF＝， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16．（6分）． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ＝3﹣2﹣（2﹣）+2× ＝3﹣2﹣2++ ＝2﹣1． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．过点D分别作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】连接BD，由AB∥CD，AB＝CD，证明四边形ABCD是平行四边形，再证明Rt△BED≌Rt△BFD，得∠EBD＝∠FBD，而∠FBD＝∠CDB，所以∠EBD＝∠CDB，则CB＝CD，即可证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：连接BD， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， 在Rt△BED和Rt△BFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL）， ∴∠EBD＝∠FBD， ∵∠FBD＝∠CDB， ∴∠EBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 18．（6分）某综合实践研究小组为了测量广场上空气球A离地面的高度，已知水平面MN，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABN为37°，∠ACN为45°，已知BC＝20m，求气球A离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】过A作AD⊥MN于D，然后设CD＝x m，则BD＝（x+20）m，分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【解答】解：过A作AD⊥MN于D， 设CD＝x m， ∵BC＝20m， ∴BD＝BC+CD＝（x+20）m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝45°， ∴AD＝CD•tan45°＝x（m）， 在Rt△ABD中，∠ABD＝37°， ∴AD＝BD•tan37°≈0.75（x+20）m， ∴x＝0.75（x+20）， 解得：x＝60， ∴AD＝60m， ∴气球A离地面的高度AD约为60m． 19．（8分）“惜餐为荣，敛物为耻．”为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量，并作出如下统计分析． 【收集数据】七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：kg）． 【整理数据】进行整理和分析（厨余垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x＜1；B.1≤x＜1.5；C.1.5≤x＜2；D．x≥2）． 【描述数据】下面给出了部分信息，绘制如下统计图： 七年级10个班厨余垃圾质量：0.6，0.7，0.7，0.7，1.3，1.3，1.6，1.7，2，2.4． 八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.1，1.1，1.1，1.3． 【分析数据】七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 1.3 1.3 a 0.352 40% 八年级 1.3 b 1.1 0.24 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　0.7　，b＝　1.1　，m＝　30　； （2）该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数； （3）根据以上信息，请你任选一个统计量，分析在此次“光盘行动”中，该校七、八年级的哪个年级落实得更好？并说明理由． 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解． （2）用A等级的百分比乘八年级总班级数即可求解． （3）从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可． 【解答】解：（1）七年级10个数据中0.7最多，所以众数a＝0.7， 八年级B等级有4个，C、D等级为10×20%＝2个，10×10%＝1个， 所以A等级有10﹣4﹣2﹣1＝3个， 所以m%＝×100%＝30%， 所以中位数为b＝＝1.1； 故答案为：0.7，1.1，30； （2）30×30%＝9（个）， 答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合A等级的班级数为9个； （3）八年级落实更好， 理由：①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.2．②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.24低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.352，更稳定，（答案不唯一）． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． （1）求直线AB的表达式； （2）将直线AB沿y轴方向向上平移n个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若S△ABC≤18，请求出n的取值范围． 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后把B的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线AB的解析式； （2）记平移后的直线与y轴的交点为D，则AD＝n，根据CD∥AB可得S△ABD＝S△ABC≤18，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）∵点B（m，2）在反比例函数的图象上， ∴2m＝8， ∴m＝4． ∴点B（4，2）． 把点B（4，2）代入y＝kx﹣2， 得：4k﹣2＝2， ∴k＝1． ∴直线AB的表达式为：y＝x﹣2． （2）记平移后的直线与y轴的交点为D，则AD＝n， 联结BD． ∵CD∥AB． ∴S△ABD＝S△ABC． 即：n×4≤18． ∴n≤9． 21．（8分）如图，在△OAE中，OA＝OE，B是AE中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别交AO及其延长线、OE于C，D，F点，连接BD交OE于点G． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若C是OA的中点，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OB，由OA＝OE，B是AE中点，得AE⊥OB，即可证明AE是⊙O的切线； （2）由C是OA的中点，得OB＝OC＝AC＝OA，由cos∠AOB＝＝，求得∠AOB＝∠EOB＝60°，则∠OBD＝∠D＝∠AOB＝30°，所以∠OGB＝90°，则BG＝DG＝BD＝2，由＝tan30°＝，求得GO＝BG＝2，则OB＝2GO＝4，即可由S阴影＝S扇形OBF﹣S△OBG求得S阴影＝﹣4． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵OA＝OE，B是AE中点， ∴AE⊥OB， ∵OB是⊙O的半径，且AE⊥OB， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵C是OA的中点， ∴OB＝OC＝AC＝OA， ∴cos∠AOB＝＝， ∴∠AOB＝∠EOB＝60°， ∵OD＝OB，BD＝4， ∴∠OBD＝∠D＝∠AOB＝30°， ∴∠OGB＝180°﹣∠OBD﹣∠EOB＝90°， ∴OG⊥BD， ∴BG＝DG＝BD＝2， ∵＝tan30°＝， ∴GO＝BG＝×2＝2， ∴OB＝2GO＝4， ∴S阴影＝S扇形OBF﹣S△OBG＝﹣×4×2＝﹣4， ∴阴影部分的面积是﹣4． 22．（10分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围． 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）把（0，0），B（28，6）和（0，0），C（30，0）分别代入y＝a（x﹣20）2+k求出a即可． 【解答】解：（1）①设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10， 把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0， 解得：a＝﹣， ∴解析式为：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）； ②石块能飞越防御墙AB，理由如下： 把x＝30代入y＝﹣x2+x得： y＝﹣×900+30＝7.5， ∵7.5＞6， ∴石块能飞越防御墙AB； （3）由题可知B（28，6），抛物线y＝a（x﹣20）2+k， ∴把（0，0），（28，6）代入得：， 解得a＝﹣； 把C（30，6），（0，0）代入解析式， 解得a＝﹣， ∴a的取值范围为﹣≤a≤﹣． 23．（11分）某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在点F处，折痕为AE． （1）如图1，当点F恰好在BC边上时，证明：△ABF∽△FCE． （2）将矩形的边AB折叠，使点B落在AF边上的点M处，折痕为AN． ①如图2，当点F恰好在BC边上时，若AB＝1，，连接EN，试判断△AEN的形状，并说明理由． ②如图3，当点F在矩形内部时，若AB＝8，BC＝12．点E是CD的中点，求FN的长． 【分析】（1）由折叠可知，△AFE≌△ADE，证明∠BAF＝∠CFE，即可求证． （2）①由折叠可知，△AMN≌△ABN，△ABF为等腰直角三角形，△ABF∽△FCE．△FCE为等腰直角三角形，证明△ABN≌△NCE（SAS），即可求证． ②延长AF交BC于点H，连接EH，AM＝AB＝DC＝8，点E为DC中点，证明Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），设FH＝x，则CH＝x，BH＝12﹣x，AH＝12+x，设MN＝y，则BN＝y，MH＝，利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：由折叠可知， △AFE≌△ADE， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠CFE＝90°， ∵∠AFB+∠BAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CFE， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABF∽△FCE． （2）解：①由折叠可知， △AMN≌△ABN， ∴AM＝AB＝1， ∵AF＝AD＝BC＝， ∵∠B＝90°， ∴BF＝＝1＝AB， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∵△ABF∽△FCE． ∴△FCE为等腰直角三角形， ∴CE＝CF＝﹣1， ∵∠AFE＝90°， ∴∠MFN+∠CFE＝90°， ∵∠CFE＝45°， ∴∠MFN＝45°， ∠FMN＝∠AMN＝90°， △FMN为等腰直角三角形， ∴MN＝FM＝﹣1， ∴BN＝﹣1＝CE， ∴CN＝＝1＝AB， ∴△ABN≌△NCE（SAS）， ∴AN＝EN， ∵∠NAM+∠EAF＝∠BAD＝45°， ∴△AEN为等腰直角三角形， ②延长AF交BC于点H，连接EH， ∵AM＝AB＝DC＝8，点E为DC中点， ∴CE＝DE＝4，EF＝DE＝4，AF＝AD＝BC＝12， ∴FM＝12﹣8＝4， ∵∠EFH﹣∠AFE＝∠D＝90°，∠C＝90°， ∴∠EFH＝∠C， 在Rt△EFH和Rt△ECH中， EH＝EH，EF＝EC， ∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL）， 设FH＝x，则CH＝x， ∴BH＝12﹣x，AH＝12+x， 在Rt△ABH中，AB2＝BH2+AH2， 即82+（12﹣x）2＝（12+x）2， 解得x＝， ∴MH＝， 设MN＝y，则BN＝y， ∴MH＝， ∵∠NMH＝90°， ∴在Rt△NMH中，y2+（）2＝（）2， ∴y＝4， ∴FN＝＝4． 故FN的长为4． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）． （1）抛物线的对称轴为直线 　x＝1　； （2）当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b，求a和b的值； （3）当a＝1时，解决下列问题． ①抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； ②将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为G，将G在直线y＝t下方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为Q．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为y1，y2，若y1﹣y2＜6，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，即可求解； （2）函数对称轴为x＝1，当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b，故y＝﹣4是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，﹣4），即可求解； （3）①抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，﹣4），故x2﹣2x﹣3＝6，即可求解；②分M′在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1， ∴x＝1； 故答案为：x＝1； （2）函数对称轴为x＝1，当﹣2≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y≤b． 故y＝﹣4 是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，﹣4）． 将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：a＝1． 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 则b＝（﹣2）2﹣2（﹣2）﹣3＝5； （3）①∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，﹣4）， x2﹣2x﹣3＝6， 解得 故点P的坐标为 ，6）或 ，6）； ②﹣1＜t≤2． 设图象折叠后顶点M的对应点为M，点H是x＝4函数所处的位置，图象Q为C′M′NH区域， 点M（1，﹣4），点H（4，5），则点M′（1，2t+4） 当点M′在点H下方时，2t+4＜5，t＜， 函数Q的最高点为H，最低点为N． 则5﹣t＜6．解得t＞﹣1． 故﹣1＜t＜， 当点M′在点H上方时，同理可得： 故﹣1＜t＜2． 学科网（北京）股份有限公司 $$