精品解析：山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末学业水平质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 2. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D 4. 如图，的顶点A，C分别在直线上，，若 则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周里平均每天的锻炼时间（单位：小时），统计结果如图，这些学生锻炼时间的众数、平均数分别是（ ） A. 9， B. 9， C. 1， D. 1， 6. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A B. C. 5 D. 6 7. 已知点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. “这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 原票价为400元/人 C. 方案二中y关于x的函数解析式为 D. 若方案一比方案二更优惠，则 10. 如图．正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，．则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 13. 若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为______． 14. 直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 __． 15. 如图，将边长为3的正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的横坐标为1，则点的坐标为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，B坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知：，，求的值． 18. 齐鲁宝地琅琊仙洲，八水绕城六河贯通，三千年的历史文化底蕴，沉醉其中．为探寻琅琊文化，传承沂蒙精神，某中学开展了“谁不说俺家乡好”活动，活动包含知识竞赛和文化宣讲两个项目．为了解学生历史知识的了解情况，从七、八两年级各随机抽取40名学生的知识竞赛成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析，下面给出了部分信息：收集数据：七年级成绩在这一组的数据是： ，，，，，，，，，，，，； 整理数据：七、八两年级名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 七 八 分析数据：七、八两年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级的样本容量为______；______． （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （3）根据活动要求，学校将知识竞赛成绩和文化宣讲成绩按2：3的比例确定本次活动的个人综合成绩．某班小明、小红两位同学的知识竞赛成绩和文化宣讲成绩（单位：分）如下： 知识竞赛 文化宣讲 小明 小红 通过计算，小明、小红哪位同学的综合成绩更高？ 19. “天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，既起到遮阳防雨的作用，又开放通风．图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． （1）求遮阳宽度长； （2）将拉绳固定在天幕杆上，若支杆与天幕杆的横向距离，求拉绳的长． 20. 某公司为进行“6·18年中盛典”表彰，拟购买，两种奖品，为员工提供福利．已知购买种奖品件和种奖品件，共需元；购买种奖品件和种奖品件，共需0元． （1）求种奖品和种奖品的单价各是多少元？ （2）若该公司要购买，两种奖品共件，其中种奖品数量不少于种奖品数量的，为使购买奖品的总费用最低，应购买种奖品和种奖品各多少件？购买奖品的总费用最低为多少元？ 21. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点．点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：四边形是菱形． 22. 如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的的值为时，此时输出的的值为______； （2）当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； （3）若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．和之间有怎样的关系．请说明理由． （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末学业水平质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解： 、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 故选：． 3. 下列不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的三种表示方法，结合图象理解函数概念根据函数的概念进行辨别即可． 【详解】解：∵选项A中的图象，描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有多个的y值与其对应， 则A选项不能表示是的函数的， ∴选项B，C，D能表示是的函数，不符合题意， 故选：A． 4. 如图，的顶点A，C分别在直线上，，若 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的外角，平行线的性质，延长交于点，平行线的性质得到，平行四边形的性质，得到，利用外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5. 某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周里平均每天的锻炼时间（单位：小时），统计结果如图，这些学生锻炼时间的众数、平均数分别是（ ） A. 9， B. 9， C. 1， D. 1， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，众数和平均数数，根据众数与平均数的定义，即可求解． 【详解】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为； 由图可知共调查学生数为人， 平均数为， 故答案为：D． 6. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，，，如图，连接，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，连接， ∵三角板的斜边与半圆相切于点， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：D． 7. 已知点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可． 【详解】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵BC＝12， ∴DE＝6， 在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8， ∴FE＝AC＝4， ∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9. “这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 原票价为400元/人 C. 方案二中y关于x的函数解析式为 D. 若方案一比方案二更优惠，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，求出两种方案的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：会员卡的费用为400元， ∴；故选项A正确； 方案二：2人花费480元， ∴单人票价为240元， ∴原票价为：元，方案二的解析式为：；故选项B，C正确； 由题意，得：方案一的解析式为：， 当，即：时，方案一比方案二更优惠；故选项D错误； 故选D． 10. 如图．正方形边长为2，为与点不重合的动点，以一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，．则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理；连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件：被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解： ∵有意义， ∴ x−2≥0 且x+1≠0， ∴自变量x的取值范围是 x≥2 ， 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 在直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 13. 若一组数据3，，x，，3的众数是3，则这组数据的方差为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据众数的定义得到，根据方差的定义，即可求解， 本题考查了众数，平均数，方差，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵数据3，，x，，3的众数是3 ∴， 则数据为3，，3，，3 ∴这组数据的平均数为：， ∴这组数据的方差为：， 故答案为：6． 14. 直线与在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组的解集为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识点，能根据图象得出正确的信息（两函数的交点坐标和直线与轴的交点坐标）是解此题的关键． 根据图象得出两函数的交点坐标是，直线与轴的交点坐标是，再根据图象求出不等式组的解集即可． 【详解】解：从图象可知：两函数的交点坐标是， 直线与轴的交点坐标是， 所以不等式组的解集是． 故答案为：． 15. 如图，将边长为3的正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的横坐标为1，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．首先过点作轴于点，过点作轴于点，证得，则可得，，继而求得答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为：． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k取值范围为， 故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知：，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式变形，计算的值，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ 18. 齐鲁宝地琅琊仙洲，八水绕城六河贯通，三千年的历史文化底蕴，沉醉其中．为探寻琅琊文化，传承沂蒙精神，某中学开展了“谁不说俺家乡好”活动，活动包含知识竞赛和文化宣讲两个项目．为了解学生历史知识的了解情况，从七、八两年级各随机抽取40名学生的知识竞赛成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析，下面给出了部分信息：收集数据：七年级成绩在这一组的数据是： ，，，，，，，，，，，，； 整理数据：七、八两年级名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 七 八 分析数据：七、八两年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级的样本容量为______；______． （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （3）根据活动要求，学校将知识竞赛成绩和文化宣讲成绩按2：3的比例确定本次活动的个人综合成绩．某班小明、小红两位同学的知识竞赛成绩和文化宣讲成绩（单位：分）如下： 知识竞赛 文化宣讲 小明 小红 通过计算，小明、小红哪位同学的综合成绩更高？ 【答案】（1）； （2）；八 （3）小红同学的综合成绩更高 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、求中位数、求扇形圆心角及求加权平均数， （1）由题可得样本容量，根据频数分布表以及中位数的定义即可得到的值； （2）根据八校成绩在这一组的频数所占比例即可求解；根据方差的意义即可求解； （3）根据加权平均数进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从七、八两个年级各随机抽取名学生的成绩， ∴七年级的样本容量为 把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数． 故答案为：，； 【小问2详解】 八年级成绩在这一组的扇形的圆心角是． 由于七年级的成绩的方差八年级的成绩的方差， 所以本次测试成绩更整齐的是八年级． 故答案为：；八． 小问3详解】 小明的得分为分， 小红的得分为分， ∴小红同学的综合成绩更高． 19. “天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，既起到遮阳防雨的作用，又开放通风．图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． （1）求遮阳宽度的长； （2）将拉绳固定在天幕杆上，若支杆与天幕杆的横向距离，求拉绳的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的 边角关系进行计算即可； （2）利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作，垂足为G， 则， ∴， 答：拉绳的长为； 20. 某公司为进行“6·18年中盛典”表彰，拟购买，两种奖品，为员工提供福利．已知购买种奖品件和种奖品件，共需元；购买种奖品件和种奖品件，共需0元． （1）求种奖品和种奖品的单价各是多少元？ （2）若该公司要购买，两种奖品共件，其中种奖品数量不少于种奖品数量的，为使购买奖品的总费用最低，应购买种奖品和种奖品各多少件？购买奖品的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）元，元 （2）购买种型号奖品件，购买种型号奖品件，总费用最低，最低总费用为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用； （1）设A种奖品的单价是元，种奖品的单价是元，根据购买种奖品件和种奖品件，共需元；购买种奖品件和种奖品件，共需元得：，即可解得种奖品的单价是元，种奖品的单价是元； （2）设购买种奖品件，购买奖品的总费用为元，由种奖品数量不少于种奖品数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价是元，种奖品的单价是元， 根据题意得：， 解得， 种奖品的单价是元，种奖品的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买种奖品件，购买奖品的总费用为元，则购买种奖品件， 种奖品数量不少于种奖品数量的， ，解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值为， 此时， 购买种奖品件，购买种奖品件，总费用最低为元． 21. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点．点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，等角对等边： （1）先由平行四边形的性质得到，，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质推出，得到，即可证明四边形为菱形，得到，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，则 ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 22. 如图是一个“函数求值机”的示意图．其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 输出 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的的值为时，此时输出的的值为______； （2）当输出的的值满足时，求输入的的值的取值范围； （3）若输入的值分别为，，对应输出的值分别为，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）0； （2），； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）因为，所以将其代入，即可解得的值； （2）当时观察表格可得答案，当时解不等式即可； （3）先求出时，与的关系式，然后分，且，时三种情况进行讨论，分析的取值范围． 【小问1详解】 ， 将代入，得：， 故答案：0； 【小问2详解】 观察表格得，当时，当输出的的值满足时，； 当时，，当输出的的值满足时，得 ， 故答案为：或 ； 【小问3详解】 ，， 将，代入，得： 解得：，， ， 当时，和在上， 此时，随的增大而减小，，所以恒成立， 当，时，在上，在上， 所以当恒成立时， 即， 解得：， 又， ； 当时，和在上， 此时，随的增大而增大，，所以． 综上所述，当时，恒成立． 23. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．和之间有怎样的关系．请说明理由． （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF； （2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求． （3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE． 【详解】解：（1）CE=CF且CE⊥CF， 证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°， 又∵BE=DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）， ∴CE=CF，∠BCE=∠DCF， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°， ∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF； （2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM， ∵∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°， ∵△BEC≌△DFC， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°， ∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF， ∴△GCE≌△GCF（SAS）， ∴GE=GF， ∴GE=GD+DF=BE+GD； （3）如图：过点C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴∠A=90°， ∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD， ∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AF=12， 由（2）可得DE=DF+BE， ∴DE=4+DF， 在△ADE中，AE2+DA2=DE2． ∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2． ∴DF=6， ∴DE=4+6=10． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$